Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Воспользуемся соотношением и-1 г[п] = ~ч , 'ц[т]+ця„ т (42) из которого следует, что 1нп 1[н]= ~ сг[[т]+[[О], т-О если ряд, стоящий в правой части равенства, сходится. Рассмотрим теперь изображение первой разности функции [[н]. По формуле (16) получим: У (гэ[[п]) = ~ч', в в" А|[я]=(вв — 1)Еь(д)— л=ь — евг[0].
По условию теоремы это изображение является аналитической функцией в правой полуплоскости н на мнимой оси. Следовательно, оно является непрерывной функцией в указанной области, и предел изображения при о- 0 равен сумме соответствующего ряда при 4=0, т. е. !1ш ((ев — 1) р*(д) — ввГ[0][=,У', Л1[т]=!!ш1[н] — Г[0], д О е=ь и со 1Вп (вг — 1) Рь (д) =1пп (ев — 1) "~ =О. д О в-О ем — 2зв сов в + 1 Однако предел !!ш з!пап не существует. Следовательно, доказана со ная теорема в этом случае не верна. Перейдем к теореме о предельном значении изображения.
Теорема 12. Если решетчатая грункция 1[н] является оригиналом и илгеет изображение Еь(д), то начальное значение ЦО] определяется по грорнулв 1!гп Е*(д) =1[0], (43) вдв предел при д-ъ-со берется по любой кривой, принадлежащей области оналитичиссти изображения Рь(д) и удовлвтворяюи(вй откуда следует равенство (42). И Заметим, что требование аналитичности изображения первой разности в правой полуплоскости и на мнимой оси являетея существенным.
Рассмотрим, например, функцию Цн]=з!пан, изображение первой разности которой имеет особые точки на мнимой оси. Имеем ! л условию — — + е«агяд« вЂ” — е, где е — сколь угодно ли!лов по- 2 2 ложительное число. Доказательство. Представим основное соотношение (1) 2 52 в виде " Р*(д) = ~, е-ел[[а)+[[01 (44) Поскольку функция ! [и] является оригиналом, то удовлетворяется условие !7[п)~ «Ме'"", где о,— показатель роста. Тогда сумма, стоящая в правой части равенства (44), допускает следующую оценку: ! ~ еал[[а~11«У,' Ме!' — !"=М ' (Реу=о= о!), (45) л —.-! и=! ! елс л Если теперь точка д стремится к бесконечности, оставаясь внутри угла — '-+ в «агЯо«-- — е, то действительная часть д 2 2 неограниченно возрастает: Кебы=о- со.
Правая часть неравенства (45) при этом стремится к нулю, а следовательно, и левая его часть также стремится к нулю. Из равенства (44) при этом получим, что 1пп Рс (д) = 7 [01. аа ч сс 7. Сумма квадратов значений решетчатых функций. Прн решении многих практических задач находит применение следующая теорема. Теорема ! 3. Если решетчатая функция '7[п1 является оригиналом, причем абсцисса абсолютной сходимости о, со-преобразования этой функции отрицательна, то сумма квадратовзначений функции [[и'! определяется равенством сс с+ сл ~ !'[п)= — „.
~ г*(в)Р*( — в)йв, (46) =о с — гл с+сл лЬ (! [п1) лл ~ . ) Р (в) Р (у — в) йв. (47) с — сл При этом Кед — оь)с) о„где о,— показатель роста функции 7[п1. Абсцисса абсолютной сходимости этого Ы-преобразования может быть оценена так же, как при доказательстве теоремы 7; где Рл(в) =Я Ц[пЯ, причел! с)о,. Доказательство.
Справедливость равенства (46) легко установить, используя доказанные выше теоремы. На основании формулы (29) получим она удовлетворяет условию вы <2о,. Выбирая о„<0, получим„ что о„<0. Следовательно, изображение (47) является аналитической функцией в правой полуплоскостн и на мнимой осн.
Из непрерывности изображения в точке с) 0 следует, что с+дс с+/л ОЭ о 2л/,) !)пт —. [ Е* (з) Р*(4 — з) с(э= —. ~~ ~* (з) ~*( — з) г(з= ~,Р[л), 2л/,) с — 1л с — 1л а что совпадает с равенством (46). ° Положим, в частности, с=О в формуле (46), что возможно благодаря условию о,<0. Будем иметь СО )л л ~, Р [и) = —. ~ Ре (!б)) Р~ ( — ХЮ)) Ю()гй = — ~ | Е«(У(й) !з юг. (46) «=Ю вЂ” )п — п Найденное выражение представляет собой аналог равенства Парсеваля, известного из теории преобразования Фурье (см.
2 36). Пример 1б. Определнть сумму ряда ~~ е.-е«", где а) О. а Ю В ссютветствнн с формулой (4В) получим Х- Г~.. Р- (' ссы (е а")з = — . с(м —— ) ~ еда в е « 1 2г' ) (е/ — е а) (е та †с') ' «= Ю л л Введем переменную г=е)а. Тогда отрезок интегрирования — л «= в ~ л перейдет в «крук<ность С единичного радиуса с центром в начале координат н мы будем иметь 1 с(ы 1 (' с(» 2'т 3 (е)" — е а) (е Кз — е а) 2гс ) . (г е-а 1с 1 «) '1 г 1 с(г сс/ г — лпа — з Этот нптеграл можно найти, используя теорему о вычетах (см.
4 32). Внутри единичной окружности подынтегральная функция имеет едннственный полюс з=е а. Используя формулу (6) 4 Э2, найдем сса ! 1 =2л( лез 2л)'— (и — а «) (е« вЂ” а) (а — е «) (е«-г) (,-а еа — е « Таким образом е заа 1 (' ба 1 2л!е а й) (з — е а)(еа — г) Г е м( а з Полученные в примерах этого параграфа соответствия между оригиналами 7[л~ и их изображениями Е'(17) =У [7'[л1) сведены в табл, 3, 224 таблица 3 таблица оригиналов и ии иэображений лли лисирегного преобразовании Лапласа Орвгнивл Оригинал Иэображении Иаибрвжвнне еч еч — 1 п~в~ 1 (и) (еч 1)ага ее+и а!и ва е ч — Ееч+и сгнго+еви е'ч — ечго сов ва евч — 2ечги савва ! еаи еч жп гн е'ч — 2ее сов гв -(-1 е'ч — еч сги гв еал соа гвл Ип вап ее+о (еч — е и)' М ече"а (еч еи)вга пп гв агс(о еч — сов гв сов вж 10 евч — 2еч оси и+ 1 еч (еч — 1р пса~вал Б1п оал и еч(еч ! В 12 (еч — 1)а $54.
СВЯЗЬ МЕЖДУ ед-ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ ЛАПЛАСА; йг-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ Р (Б)) = ~ 7 (!) е-ч'е)! ()) о связано с преобразованием Лапласа для функций ~, (!) следующим соотношением: Р ()=Е'У.(!)) =~ Л(!) "г)1=()1,(!Т)е-'гггтг)1: о о =Т) ( (!) е.чгг((= ТР(г)), о где ()=оТ, тг е. т~а(о) ~ ' ч в г 255 !. Связь мело(у бР-преобразованием и преобразованием Лапласа.
Установим связь между преобразованием по Лапласу обычных функций-и ж -преобразованием соответствующих им решетчатых функции. Введем независимую переменную 1= —, где Т— Т' период дискретности рассматриваемых решетчатых функций, и примем обозначение !' (!) = ), (!) ), —, .
Преобразование Лапласа для функций !(!) Оригинал )(г) определяется по формуле обращения преобразования Лапласа с+ !сс ) ()) =~— „- ~ Р(г)) емг[г) (а- 0.) (3) с — )сс Рс(!), е)= ~Х,, Р(()-[-2п)г)ес(сси !'! г = — сс ! Р (!)) = ) Рс (!), е) е-сс г[е. и с (4) (5) Преобразования, определяемые формулами (4) и (5), называют соответственно прямым и обратным Я-преобразованием: Р'(Ч, е)=У[Р(()И; Р(0) =У-'(Р*(4, и)) Таким образом, Ю-преобразование позволяет определить изображение Р*(д, е) решетчатой функции ) [и, е| по заданному изображению по Лапласу Р(!)) функции )(г).
В теории автоматического регулирования Я-преобразование позволяет установить связь между свойствами непрерывных и импульсных автоматических систем. ! ~ Если Г (О непрерывна при Р~ 0 и ) [0[ =/ (-[ 0), го Р* (д, 0) = - - ) [0[ -1- 2 Р (Ч+ 2и)г]. где и, — абсцисса абсолютной сходимости для функции [(г)., Значение оригинала, получаемое по формуле (3), в точках г! разрыва непрерывности функции [(г) равно ' ' (см. 2 42). Поставим в соответствие функции 1(г) множество смещенных решетчатых функций ~[п, е), значения которых в точках непрерывности функции Г (() совпадают со значениями 1 (!), а в точках г!=и!+е! разрыва непрерывности функции Г(г) определяются из условия Г[пь е!)=)('+ ) )(' ), в частности 1[01='(' ). 2 2 Функция 1[г!, е) является оригиналом (см.
4 52), если является оригиналом функции 1(г). Дейсгвительио, в этом случае выполняется условие !1(г) [ С Ме'"', где ос) о, — показатель роста. Полагая (= и+е, мы получим [1[п, е) ~ (Мес !"+'! при п.=О, О~е~ [; [[и, е1=0 при п(0, так как )'(г) =0 при г(0. Таким образом„решетчатая функция 1[п, е| является оригиналом. Обозначим Рд(!), е) = Ы([[п, е)). Тогда справедливы формулы" 2. Прямое Ы-преобразование. Докажем справедливость формулы прямого бУ-преобразования (4). Используя определение Й!-преобразования, а также фильтрующее свойство дельта-функции (см. $ 37), будем иметь г о (е), е) = ~ч , 'е-ол[ [и, е) = ~чс' е-ол ~ б (1 — (и+ е)) [ (1) ОЦ. л=о л — Π— са Записывая функцию [(1) по формуле обращения (3), получаем СО СО с+7аа Ро(с7, е)ОО ~ е-ол ~ б(1 — (л+е) — ~ Р(с)о)ео'дс)ООЮ.
и Π— са с — 1са Внутренний интеграл по переменному !)о сходится равномерно относительно параметра 1 (см. 2 42), поэтому порядок интегрирования можно изменить: +1 СО Р'(Ч, а)=~. '~', О-ол ~ р(е)о) ~б(1 — (и+О))ео" ейддоаа 2л) л О -1са са с+ 1са — у е-ол ~ Е(до)ео !л+'! е(!)оса — — л 2я) асс и=о с-1 с+ зса СО 1 Г Ееаатт (7 ) Е-Л!О-О,1 Е(! 2я) с — 1ас =О Переход от суммы интегралов к интегралу от суммы является СО законным, если РЯД )~ е-л<о — о > сходитсЯ РавномеРно пРи сое доаа л=о = с. Для того чтобы удовлетворялось это условие, надо положить Ке!7)с. Предполагая, что это неравенство выполнено, можно записать: с+!со Са с+/са ео'а — еосар(4О) 7, е-л!о-оп Щ= —.
! Г(е)о) е(с)олл 2я) 2сс/ ! е!о а — 1аа л О с — 1ас уо'ее о 2щ' — г (1)о) — е(9о (б) ео еос с — 1ОО Для вычислении интеграла в правой части последнего равенства можно использовать лемму Жордана (см. п. 3 5 32). Дояолним прямую Кеда=с, по которой производится интегрирование, полуокружностью бесконечно большого радиуса, лежащей в полу- плоскости Ке !)о ) с (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
