Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 37
Текст из файла (страница 37)
К„(т) =Х(т). Матрица К(1) связана с фундаментальной матрицей Х(г) следующим соотношением, вытекающим из равенства (47): и 4-! г К (1) = ] Х (л + 1 — т) ВЗ (т — л) г(т = ~ Х (1 — Л) ВВ (Л) Ю. (63) и о Итак, получены разностные уравнения (59), (62) разомкнутой многомерной импульсной системы. Решения разностных уравнений (59) и (62) при нулевых начальных условиях совпадают с выражениями (49) и (41), полученными выше.
Составим разностное уравнение многомерной импульсной системы с обратной связью (см. рис. 167). Зта система описывается уравнением х[п, е]=К„(п+е, л)х[гг]+К(п+е, п)е[л] (64) и уравнением замыкания (51). Подставляя функцию е[гг] из уравнения (51) в уравнение (64), получим х[п, е]=К(п+и, л)х[п]+К(л+е, гг)г[п] — К(п+е, п) х х С[п]х[л]=Н(п+и, п)х[п]+К(п+и, п)у[п], (65) Н(п+и, л)=К„(п+е, л) — К(гг+е, гг) С[л]. (66) Предполагая, что х (г) — непрерывная функция, определим разностное уравнение замкнутой импульсной системы из уравнения (66) при е= 1: х[п+Ц=Н(п+1, л)х[п]+К(л+1, п)г[п].
(67) Решение уравнения (67) может быть последовательно вычислено для любого значения и. Подставляя это решение в формулу (65), найдем процесс в импульсной системе в любой момент времени. Если матрицы А, В и С вЂ” постоянны, то уравнение (65) принимает вид х[л, е]= Н(е) х[п]+К(е)$[п]. (68) и мр. чел|оданоца в. к., т.
г зз5 В частности, при е=1 будем иметь х~п+ Ц=П(1)х(п(+К(1) Яп~, (69) где Н(1) = К„(1) -К(1) С = Х (1) — ~ Х (1 — Л) ИУ(Л) Ю С, (70) 0 Х(г) †фундаментальн матрица однородного дифференциального уравнения (34), описывающего непрерывную часть разомкнутой системы. Решение векторного ревностного уравнения (69) может быть представлено в виде (см. $ 50) л — ! х И= О(п|х(0)+,У; а( — й1 К(1) У(п1 (71) где 01п1 — фундаментальная матрица решений однородного разностного уравнения х(о+11=77(!) х[п1. (72) Для того чтобы найти функцию х(п, е1, описывающую процесс в импульсной системе в любой момент времени, нужно подставить решение (?1) разностного уравнения (69) в правую часть уравнения (68): л ! «!, .!-и!.)л! !«!о!-;-(л! ! т. а! — «!к!!!«к!.!)г! !.
э=о (73) Перейдем теперь к рассмотрению более простого класса импульсных систем, а именно к системам с одним импульсным элементом, непрерывная часть которых имеет один входной канал и одну выходную величину. Разностные уравнения этих систем можно найти точно так же, как и уравнения многомерных систем. Рассмотрим разомкнутую импульсную систему с одним импульсным элементом (см.
рис. 153). Пусть непрерывная часть этой системы описывается дифференциальным уравнением порядка4г ~ 1 хм+а!(г)х!э !>+...+па,(!)х'+а«(!)я=у(г). (74) Импульсный элемент описывается уравнением Введем обозначения: 0 х= х„ х =х,„ в= хм-и х 0 " 1 0 0 0 1 0 0 А ())=- 0 0 0 ... 1 — а,(1) — аь т(г) — п — Р) ". — а,(г) —. = А (г) х+ Вау(г). (75) Обозначим через Х(1) фундаментальную матрицу однородной системы дифференциальных уравнений, соответствующей неоднородной системе (75). Будем предполагать, что эта матрица удовлетворяет условию Х(0) = Е. Введем матрицу Коши для рассматриваемой системы К„(г, е) = Х(г) Х ' (т). Задавая начальные условия при 1 =и, получаем решение системы (75) в виде (53). Подставляя в уравнение (53) значение функции у(г) из уравнения импульсного элемента, получим уравнение вида (58). Полагая е 1, мы приходим к разностному уравнению импульсной системы, записанному в векторных обозначениях х[п+11=К„(п+1, п)х[п'!+Ка(о+1, п)д[п], (76) где и+1 К,(п+1, и)= ~ К,(п+1, е) Вр(т-п)бе.
(77) В отличие от уравнения (59) матрица Ка(п+1, п) имеет размер йх1, т. е. представляет собой вектор-функцию. Итак, мы нашли систему я разностных уравнений первого порядка (76), описывающих разомкнутую импульсную систему автоматического регулирования. тогда дифференциальное уравнение, описывающее непрерывную часть системы, можно записать в виде линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений нормального вида: Глава ХРП ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ! й 52.
ОЛРеделеиие дискРетнОГО пРеОБРАВОВАния лАплАсА И ЕГО ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА 1. Определение дискретного преобразования Лапласа. Для исследования импульсных систем автоматического регулирования, а также 'в других прикладных задачахвсвязанных с решетчатыми функциями и разностными уравнениями, используется преобразование, определяемое формулой г'*(4г)= У, 'е ел[[и), (1) л= в где д = и+ )ог — комплексная переменная. Оно называется диснрепгным преобразованием Лапласа, а также М-преобразованием и сокращенно обозначается У' ([ [п1), т.
е. г в (г)) = 'Ю [г [пг).' Функция )О*(О), определяемая формулой (1), называется изображением. Дискретное преобразование Лапласа может быть определено й для смещенных решетчатых функций в соответствии с формулой Р*(г), е)=Ю [[[гг, е))= '~ е-О".1[п, е1 (2) л=в где параметр е принимает значения на отрезке [О, 11. Наряду с Ю-преобразованием в теории автоматического регулирования применяется так называемое Блпуеобразование, определяемое формулой (1), в которой вводится новая переменная г =евг рв (г) = ~ ' — "[ [и); л =- О Б-преобразование принято обозначать так: Я ([[п)) =Р,*(г).
Если известно изображение Г*(д) некоторой решетчатой функции, то ссютветствующее изображение Г,*(г) может быть найдено с помощью замены комплексной переменной г) по формуле гг = ).п г: г; (г) = г в (1.п г). Аналогично можно определить изображение г" л (гг) по заданной функции г;(г): г*(д) =г;(ев). Таким образом, принципиальной разницы между Ы-преобразованием и Я-преобразованием не существует. Все основные свойства Б-преобразования могут быть получены из соответствующих свойств 'Р'-преобразования, Следует заметить, что Ю-преобразование решетчатой функции 1[п) можно рассматривать как обычное преобразование Лапласа функции, состоящей из последовательности смещенных дельта- функций: д(() = ~ г[П16[г — П), (4) О~О Применяя к этой функции преобразование Лапласа, на основа- нии фильтрующего свойства дельта-функции (см.
Э 37) формально можно получить выражение (1). Действительно, оо со оэ Х)у(1)) =~ д(1)е'отй( = ~ У', 1[п']Ь(1 — п)е-от йг = о О л=о со со со = ~', [[П'1~ 6(1 — П)ЕО(й1 = ~Ч, 'Г[П']Е-Ол=М(1[П][. (5) л=О О ,=о Определим теперь область сходимости ряда (1). Для этого вы- полним замену переменной д по формуле ь=е-о. Тогда ряд (1) примет вид степенного ряда р'()1 =р[а = Х ~"[[ ), (6) ~о=-!Ос л=о область сходимости которого определяется теоремой Коши — Ада- мара (см. Э 29). Согласно этой теореме ряд (6) сходится абсо- лютно в каждой точке круга ! ь ~ ( Я, сходится равномерно в каждом круге ~ь" [~Кт К и расходится в области ]ь[)К, — лл где — = 1]гп у [][и']!. Переходя к переменной д, получим, что л со ряд (1) сходится абсолютно в области [е-о [(К что эквивалентно 1 условию Кед)!п —.
Таким образом, внутренность круга сходи- мости ряда (6) в плоскости комплексного переменного ь перехо! дит в полуплоскость Кес])!п — плоскости комплексного пере- )1 менного а. С учетол! этого обстоятельства сформулируем для ряда (1) теорему, аналогичную теореме Коши — Адамара. Теорема 1. Ряд (1) сходится абсолютно в каждой тачке полу. плоскости Ке а ) со„сходится равномерно в каждой полуплсскости Ке!у~а!) а, и расходится в полупласкости Кео) «о„где о, = = !п 1пп рт [1[п1[. л со Величина о, называется абсциссой абсолютной сходимссти Ю- преобразования (1). Таким образом, область сходимости преобразования есть полуплоскость, расположенная справа от пря- мой Кед=о,.
Если, в частности а,= — со, то ряд (1) сходится всюду, если же и, =со, то ~ю-преобразование не существует. Известно, что сумма степенного ряда (6) Рл!(ь) в круге схо- димости является аналитической функцией (см. й 28). Поскольку функция ь=е-о также является аналитической, то н функция Р' (Р) является аналитической в полуплоскости Кед)о,. Пример И Найти абсциссу абуолкнной скодимости !йт-иреобрааоаанин решет- чатой функции 1[и]= ! [н]. По формуле (!) имеем г"л (!1) =нт [! [лц = ~ е ол! [н[. о-Р При условии Ке4> 0 зтот рнд сходится, что следует из оценни Х "- ап е Оп ( Ь() е пп= —, ГдЕ о=Кее>0.
еп — 1' п=о и О Сумма ряда, т. е. изображение функции ! (и), равна ее рп (4) е-е» еч — 1' (7) »=О В точках Ке 4»кО рассматриваемый ряд расходится. Таким образам, о,=О. Пример 2. Найти абсциссу абсолютной сходимости йй-преобразования функ- ции ) (п]=е"", где м — любое вещественное число. Имеем „ !Вп(епп) .— ~~~~~ ~,-Ч»епп ~~) е — юд-и ~ пе ее — еп л О л=е Рвд сходится ири условии Ке(4 — о) О, т.
е. при Ке4>м. В области )(ео( ~ м ряд расходится. Итак, абсцисса абсолютной сходииости а =а. Пример 3. Определить абсциссу абсолютной схадимостн ~-преобразования решетчатом функции 0 при п=О. )(и)=- 1 — при п=!, 2, п Па формуле Ю-преобразования имеич !У ! — ) = р е еп —. Ряд сходится (и) ? п л ! в области Ке 4> О, поскольку выполнено условие ! Ъ! ! е еп — ~ у е пп — (О=Кебы>0). п»~! и и=! л=-! В точке 4=0 ряд расходится.
Тем более он расходится при Ке 4 ( О. Следовательно, абсцисса абсолютной схадимости о,=О. Заметим, что ва всех точках мнимой оси Бед=О, за исключением точек )в=2)йп (А=О, .»- 1, -!. 2... ), %т — 1 рнд 7 е 1мп — сходится. п л=! Призир 4. Определить абсписсу абсолютной сходимости ел-преобразования для решетчатой 'функции 0 при п=О, )(л)= ! — прн п=!, 2, пд 1 По формуле (!) получим о!у! — е)= ~ е еп .
При условии Кед>0 рнд л=! сходится. что следует нз оценки е — гл и ~~ е ап (и — 1(ей>0), »йе Пз пе и 1 и ! / «Ь 1 поскольку ряд, стоящий в правой части неравенства, сходится Ряд у е е"— л' - л=-! сходится и при условии кед=о, так иак при атом выполнено неравенство Х;- "~=л.-' —,- е гм" ~ у - . При йеч(вряд,определяющий.9т-преобразование, л=! л ! расходится. Например, в точках д=о+2лпг (я=о, «- 1, ч 2, ...), о (О, полу'кт 1 ! чим ряд ~ — е лп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
