Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 34
Текст из файла (страница 34)
+ — „и+с, са (а — а), са (а а) + ,й + , ,й (г -1)1 Л// (г/ — 2)1 Л// са/ — а ... + — и+с, Л/ / (35) 1 Лг/»,, [п] = Л- га», [п], / Л/ / Лга», [п]=О. / Из последнего уравнения этой системы следует, что га», =с„ '/ где с, — произвольная постоянная. Из предпоследнего уравнения ! системы найдем га»,, [п]. Имеем Лг;»,, [и] = — с,. Суммируя Л/ обе части этого равенства в пределах от О до и — 1, получим г/»., а [и] = — 'и+с„где с, — произвольная постоянная. ИспольЛ/ зуя полученное выражение, последовательно определим: /ю~ жг) Возвращаясь к функциям у,~п) и обозначая ~ ~ = —, получим Ц следующее решение системы разностных урав е~ий (33), соответствующих одной клетке Мордвин К~.
+ с„зла". ~ + с, ~Х", д;~ь,, (п)=с,х' — 'и+с,Х,"., Р~.ь,, [п1 = с,Х".. (36) )л г $и= О Путем подстановки можно проверить, что каждый из векторов $, (1=1, 2, ..., гт) является решением системы разностных уравнений (33). Покажем, что векторы Ц линейно независимы. Для этого составим определитель: = Л,'У" ( — Ц, (37) пх~' 1 1 О О О(Π— 1) ф где т — число инвеРсий в пеРестаповке инДексов Оэ гт — 1, ..., 1. Случаю )т —— О, как это следует из равенств (33), соответствует тривиальное решение унд(п]= — О (4=1, 2, ..., г~). Полагая А~~О, найдем, что определитель (37) отличен от нуля ног Это решение является общим для системы разностных уравнений (33).
Чтобы убедиться в этом, выделим следующие векторы: при любых значениях аргумента я~О. Следовательно, векторы йч линейно независимы и образуют фундаментальную систему решений системы разностных уравнений (33). Решение (36) является общим решением системы разностных уравнений (33), так как оно является линейной комбинацией решений $у, т. е. у~ = = ~„с, 1ву, где ут — — [уы, уы„..., у~+„,.1 . Используя г~ решений ~ьт (1=1, ..., г) системы разностных уравнений (33), можно построить г~ линейно независимых решений всей рассматриваемой системы (32), соответствующих элементарному делителю (Л вЂ” Л~)'Л В каждом из таких решений будем считать все компоненты, за исключением у,+„..., у;.~,, нуле/' вымн.
Проводя аналогичные рассуждения по поводу каждого элементарного делителя матрицы А, найдем фундаментальную систему решений системы разностных уравнений (32). Поскольку вектор- функции х[п] исходной системы разиостных уравнений (30) связаны с функциями у[п] линейным невырожденным преобразованием т [и] = Ву [а], мы можем теперь найти фундаментальную систему решений исходной системы разностных уравнений (30).
При этом получим, что каждому элементарному делителю (Л-Л )'т матрицы А — ЛЕ соответствует гт линейно независимых решений системы (30) вида х,[п]=Л~Ру[п] (1=1, 2, ..., й), (38) где Р4[п] — полиномы степени не выше гу — 1 относительно переменнои и. Рассмотрим частный случай, когда матрица А приводится к диагональному виду. В этом случае ,У=сИай[Ль Лз, ..., Л,], (39) а система разпостных уравнений (32) состоит из уравнений вида у~[я+1]=у,[п]Ль (40) Решение каждого из таких уравнений есть функция у,[п]=с,.Л,", Образуем,спекторы ~~ размерности я следующим образом: ф~ [и] = [О, О, ..., О, Л", О, ..., 0] (К = 1, 2, ..., й). Нетрудно видеть, что каждый из векторов $;[и] является решением системы разностных уравнений (40), причем векторы $~[п] линейно независимы, если Л;=~0.
Следовательно, они образуют Фундаментальную систему решений. Общее решение системы разностных уравнений (40) может быть представлено следующим образом: у[п]= ~~ сД~[п]. ю 1 (41) Переходя с помощью линей>юго невырожденного преобразования с матрицей В к функциям м(п], найдем общее решение исходной системы разностных уравнений (ЗО).
Каждому характеристическому корню )У будет при этом соответствовать решение х!(п1=су)т" (1=1, 2, ..., й). (42) Полученные выражения (38), (42) характеризуют структуру общего решения однородной системы разностных уравнений (ЗО). Для того чтобы практически найти это решение, нужно определить неизвестные коэффициенты, подставляя выражения (38), (42) в систему разностных уравнений (30). Решение неоднородной системы разностных уравнений (29) можно ° найти по формуле (28). Для решения линейных систем разностных уравнений с постоянными коэффициентами целесообразно использовать дискретное преобразование Лапласа (см. $ 56).
й а1. уРАВнения импульсных систем АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ 1. Некоторые сведения об импульсных системах. Системы автоматического регулирования, в которых применяется импульсная модуляция сигналов, называются импульсными системами автомапшческого регулирования. При импульсной модуляции непрерывный сигнал заменяется последовательностью импульсов, изменяющихся Рис. !50 Рис. !51 в зависимости от модулируемого сигнала. Существуют различные способы импульсной модуляции. )!1ы ограничимся рассмотрением одного из них, называемого амплитудно-импульсной модуляцией.
Зтот способ модуляции состоит в том, что непрерывный сигнал((() (рис. 150) заменяется последовательностью импульсов, которые следуют друг за другом с постоянным интервалом времени Т (рис. 151). Амплитуда этих импульсов пропорциональна значениям модулируемого сигнала Г(1) в дискретные моменты времени 1= пТ. Если в (1) — функция, описывающая форму одиночного импульса (рис. 152) и коэффициент пропорциональности равен единице, то сигнал у(1), получаемый в результате амплитудно209 импульсной модуляции сигнала 1(1), может быть описан выражением у(1)= Я з(1 — пТ) 1(пТ'1 (1) Устройство, в котором осуществляется импульсная модуляция, называется импульсным елементом. Импульсные системы автоматического регулирования можно пред(е) ставить как соединение импульсных элементов с элементами непрерывного 1 действия.
На рис. 153 и 154 приведены примеры структурных схем импульсных систем с одним импульсным элементом. Здесь обозначено: И. Э. — импульсный элемент, Н. Ч. — непрерывная часть системы. Импульсная система, изображенная на рис. 154, содержит отрицаРис. 1З2 тельную обратную связь, охватывающую импульсный элемент и непрерывную часть системы; такая система называется замкнутой импульсной системой.
Система, изображенная на рис. 153, не содержит обратной связи. Однако в теории автоматического регулирования такие системы рассматривают обычно как составную часть системы регулирования, которая может быть получена размыканием обратной связи. Г!оэтому импульсная система, структурная схема которой изображена на рис. 153, называется разомкнутой импульсной системой. На рис. 155 и 156 приведены структурные схемы импульсных систем с несколькими импульсными элементами. Импульсная Рис.
154 Рис. 153 система, изображенная на рис. 156, обладает одной непрерывной частью, имеющей несколько входных каналов и несколько выходов; такие системы называются многомерными импульсными системами. В системах с несколькими импульсными элементами в различных импульсных элементах могут вырабатываться импульсы различной Формы и с различными периодами повторения.
Кроме того, моменты возникновения импульсов в различных импульсных элементах могут не совпадать. Принята следующая классификация импульсных систем с несколькими импульсными элементами. Если периоды повторения во всех импульсных элементах совпадают, 210 то система называется синхронной. Если в синхронной импульсной системе совпадают также и моменты возникновения импульсов, то система называется сии(Ьаэ~ай. Более полные сведения об импульсных системах можно найти, например, в 141.
Для описания импульсных систем используют два эквивалентных способа. Первый способ состоит в описании системы с помощью разностного уравнения, связывающего входное воздействие д(п1 и выходную величину х(п) в дискретные моменты времени. Например, Ьсх~п+Ц+Ьгх~п+й — Ц+ ... +Ь„х(п) =у(п1.
(2) Многомерные импульсные системы описываются системами разностных уравнений. Второй способ — это описание импульсной системы с помощью соотношения, выражающего х 1п) через значения д 1т), у ) т=О, 1, ..., и — 1. Это соотношение Рис. 156 Рис. 155 является решением соответствующего разностного уравнения. Например, для уравнения (2) будем иметь (см. формулу (64) $ 49) « †! х х(п)= ~х , 'цп-т)ят)+ ~ сьЬ(п). (3) гл=с (4) 211 Однако соотношение (3) может быть получено независимо от разностиого уравнения (2). Оно определяется интегральными соотношениями, описывающими непрерывную часть системы.
В отличие от разностных уравнений будем называть соотношения вида (3) уравнениями импульсных систем, содержащими суммы решетчатых функций. 2. Уравнения импульсных систем, содержащие суммы решетчатых функций. Составим уравнение разомкнутой импульсной системы, с одним импульсным элементом (см. рис. 153).
Будем предполагать, что непрерывная часть системы описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Решение х(1) этого уравнения, соответствующее сигналу на выходе непрерывной части, может быть выражено через сигнал у (1), приложенный к ее входу по формуле (см. 5 16, п. 4) А ') х (1) = ~~ ', сД1 (1) + ~ У (т) А„(1 — т) дт, 1=1 а где Йн(1) — весовая функция непрерывной части, $!(Т)(1=1, 2, ..., й) — фундаментальная система решений однородного дифференциального уравнения, с,(! = 1, 2, ..., й) — постоянные, зависящие от начальных условий.
Импульсный элемент описывается уравнением (1) 'у(1) = ~ э(1 — пТ)й[п7 ~. Подставляя это выражение п=о в уравнение (4), получим о ! са х(1) = У', сД,(1)+~ ~~', э(т — пТ)й(пТ1Й„(1-т)дт= 1=! оп=о = )~~ сД! (1) + ~~'„й(пТ~ ~ Ан(1 — т) э (т — пТ) с(т. (5) Выполним в интеграле, стоящем под знаком суммы, замену переменной по формуле т-пТ=Ч: с ! — пт (1йн (1 — т) э (т, — пТ) Йт = ) А„(1 — Ч вЂ” пТ) з (Ч) пЧ = о — пТ $ й. (й — Ч) э (Ч) (Ч, (6) — пТ вЂ” пт Функция э(Ч) обращается в ноль также при Ч) уТ, где уТ— ширина импульса, причем 0(у«1, поэтому при 5~ 0 функция й(э) описывается двумя различными выражениями: Ан($ — Ч) э(Ч)дЧ при 0«~(уТ, о тт ~ Й„Я вЂ” Ч) э (11) !(Ч при $ ~ у Т. (8) Используя обозначение (7), уравнение разомкнутой импульсной системы (5) можно записать в окончательном виде: х(() = ~ сД! (У)+ '5", д(пТ) й(1 — пТ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
