Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Теорема 4. Если при и~п, суи(ествуе)п фундаментальная сисюпема решений $! [п], ..., $~ [и] однородного разностного уравнения (20), то общее решение этого уравнения выражается фор- мулой 3. Линейные неоднородные рвзностные уравнения. Перейдем к рассмотрению линейных неоднородных разностных уравнений. Докажем следующую теорему о решениях неоднородных уравнений. Теорема 5.
Оби(ее решение линейного неоднородного разнсстного уравнения х[п+я]+Ь,[п)х[п+]г — 1]+...+Ьа[п]х[п)=][п) (ЗЗ) равно сумме его частного решения «р[п) и общего решения соот- ветствующего однородного уравнения (20), т. е. х[п] =«]«[и)+ ~ч , 'сд«[п), (34) «=« где с, — произвольные поспюянные, Ра[п) — решения однородного уравнения (20), удовлетворяющие условию . ]РЬ[пе] ". $а[пОПФО.
Доказательство„Пусть «р[п) — частное решение неоднородного уравнения (33). Будем искать общее решение зтого уравнения в виде х [и] = «й [п)+ «р [п), (35) где «р[п) — решетчатая функция, подлежа«цая определению. подставляя функцию х[п) в уравнение (33), получим: «р [и+ Ч+ Ьт [и] ф [п+ Ь вЂ” 1')+... + Ьа [п] «р [и]+ + «р [и+ Ь]+ Ьт [и) «р [и+ «г — 1]+... + Ь„[п] «р [п] =] [и]. Функция «]«[п] является решением неоднородного уравнения, поэтому Ип+Ч+Ь«[п]«р[п+й-Ц+...+Ьа[п]«р[п]=йп] Прежде всего определим общее решение однородного уравнения ах [л]+о«[л] х [л]=0, которое запишем в фариа (Ю): х [л-]- Ц = (1- а«[л]) х [л], (38) 184 и, следовательно„ «р[п+Ц+Ьд[п]«р[п+Й вЂ” 1]+...+Ьа[п]ф[п]=0.
Таким образом, функция ф [и] является решением однородного уравнения (20). Выбирая в качестве «р[и] общее решение однородного уравнения (20), можно получить общее решение неоднородного уравнения (33) в виде (34). ° Пример 1. Найти общее решение неоднородного разностного уравнения первого порядка ох [а]+о«[л] х [я] 1[л] (Зб) рассматривая вто уравнение как рекуррентное соотношение, пес,яедователняо получим: х [Ц =(1 — а, [0]) х [0), х [2) = (1 — а, [1)) х [Ц = (1 — а| [Ц) (! — а, [0]) х [О), (39) и†! х [а) = И (! — а| [1]) х [0). |=о Таким образом, общее решение однородного уравнения (ЗУ) имеет вид: и-! $[п)= и (1 — а,[Ц)с|, (40) |=е где с,— произвольная постоянная.
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде ф [л) =3 [л] а [л], (4Ц где х [л] — неизвестная решетчатая функция. Подставляя ф [л) в исходное уравнение, получим Ь (еь [и) х [и]) + а, [л) 3 [л) г [и] =/ [и), откуда следует равенство / ь [л+ Ц Ьг [л) + Лс [л] з [л]+а, [л) 3 [и] з [л) =/ [л), или $ [л+ Ц бх [л) -[-х [и) (Ьеь [и] -]-а, [и) 3 [п)) =/ [и). Выражение, заключенное в скобках в левой часта последнего равенства, равно нулю. Танин образом, С[л+Цоз [и)=/[и], или ох [а)= / [и) Суммируя обе части уравнения (4х1 в пределах от 0 до л — 1, получим и-! и — ! С1 / [ш) чь! / [ш) х[л]= ~ 3[ш [ Ц+сз= +сз.
м о ' т,о И(! — а,[1))с! (43! По теореме 5 общее решение неоднородного уравнения (36) равно л — 1 х [л) = ф [и) +" [л] = с [л[ (! + х [л)) = И (1 — а| [1) ) Х |=о л — ! Х [,+,~)~ /[ ) ~, (44) |=о где с=(1+с!) с!. Итак, получено общее решение разностного уравнения первого порядка (Зб). Это решение зависит от одной произвольной постоянной с. Решение неоднородного разностного уравнения (ЗЗ) можно определить методом вариации произвольных постоянных. Пусть $х [и], ..., йь [и] — линейно независимые решения однородного разностного уравнения (20), определенные при п.
О. Будем искать решение неоднородного уравнения (33) в виде: х[п]= 'У, 'сг[п]$г[п], (45) г=! где сг[п] (!'=1, 2, ..., й) — неизвестные решетчатые функции. Подставляя функцию (45) в уравнение (33), получим: » » ~ с! [и+ й] $! [п+ 7г]+Ь, [п] ~ с! [п+/г — 1Щп+А — Ц+... г=! ! ...+Ь»[п] 'У', сг[п]$г[п]=Цп].
Вычтем из левой части зтого равенства следующие выражения, каждое из которых равно нулю, поскольку 4! [п] (! = 1, 2, ..., А)— решения уравнения (20), с, [п](4! [и+юг]+Ь, [п]5![п+А — Ц+...+Ь» [п]$! [и]), са [п] Кг [п+ гг]+ Ь! [п] Ып+ й — 1] +... + Ь» [и] $» [пЭ, с» [и] (гь» [и + А] + Ь! [ пД» [и + й — Ц +...
+ Ь» [и] еь» [пэ: 'У', (с! [и+й] — с! [п]) й! [и+ й]+ Ь! [и] ~ч„(с! [и+ й — Ц вЂ” с! [и]) х г=! г=! х ьг[п+ й — Ц+... + Ь»-! [п] „У, (с! [и+ Ц вЂ” с! [и]) ь! (п+ Ц = !' [п]. г=! Перепишем полученное уравнение, используя первые разности функций с,[п] (г=1, 2, ..., А) в соответствии с формулой (10) 8 45: (Лс! [и+й — Ц+Лс! [и+И вЂ” 2]+...+йсг[п]) $! [п+й]+ г=! + Ь, [п] ~ (Ьсг[п+Ь вЂ” 2]+Лс! [и+й — 3]+...+йс! [и]) х г=! х Ц и + И вЂ” Ц +... + Ь», [и] ~ Лс! [п] Ь [и + Ц = ) [и]. (46) г=-! Будем выбирать функции с![п] (! =1, 2, ..., 7г) таким образом, » чтобы выполнялось равенство ~, 'осг[п] "зг[п+Ц=О при всех ! =- 1 п~О.
Тог4!а, в частности, равны нулю все суммы » 'У,' Асг[п+1]8»[п+1'+Ц (1=0, 1, 2„..., й — 1), ! !86 и уравнение (46) можно переписать следующим образом: (Лс! [и+ А — 2]+... + Ас! [п]) и! [п+ й]+ !=! + Ь, [п] '~ , '(Ьс! [п+ й - 3]+... + Ьс! [п]) $, [и+ А — Ц+,. + ! ! +Ьь з[п] ~х', Лс![п]5![п+2]=Цп]. (47) Полагая далее .) „Лс![пД![п+2]=0, с=! з ;У', Лс![п]~,[п+3]=0, йс! [и] г! [и+ й — Ц = О, !=1 из уравнения (46) получим, что ~ч ', Ьс! [п] $дп+й]=~[в]. (46) Итак, построена система, состоящая нз А алгебраических уравнений, относительно неизвестных функций бс![п] (! =1, 2, ..., й): Ьс! [п] Ц! [п + Ц 0 !=! ~~ бсс[п]Ь[п+2]=0, (49) ~ йс! [пД! [п+ й — Ц = О, !=! 'У, 'Лс! [п] $! [и+ й] = [[и].
Составим определитель этой системы. В принятых нами обозначениях это есть определитель и!'[э! [и+ Ц, ..., в!,[п+ Ц]. По теореме 3 он не обращается в ноль ни нрн каком значении п)'О. Следовательно, существует единственное решение системы (49), которое равно Лс![п] = ( — 1)ь+' Цп] „„' " (! = 1„ 2, ..., й), (50) 187 где ~Чп+Ц=)ЧИп+Ц, ..., Ыл+Ц]= Яп+1Д»[п+ Ц... $»[п+ Ц Ь»[п+2]$»[п+2]... $»[п+2] »ь» [п + й]»ьа [и+ Ч " Ь [и+ й] К[п+Ц И»!+ Ц "а- [г»+ Ц Ь+ [ + Ц " И!»+ Ц $»[п+2]...й!»[п+2] $!+»[п+2] ...$»[п+2] Ь[п+А — Ц..4!,[п+й — Ц К;»»[п+й — Ц...~»[п+А — Ц Произвольно выбирая значения постоянных см= с![О] и суммируя по и обе части равенств (50) в пределах от нуля до т — 1, найдем неизвестные решетчатые функции с![п]: с»[т]= ~ ( — 1) + Цп] +см, »+! Яг! [и+!1 (51) где ! = 1, 2, ..., й; т = 1, 2 ....
Подставляя функции с![т] в выражение (45), находим решение неоднородного разностного уравнения в виде » » л — ! ! !- у»! !.! !-~ ! ! ! ~ !-!!"'!!-!,",'."„",,'!- .)- ! ! »=1 »!» а л — 1 » » !'[и] ~~' $»[п]( — 1)»+! ! + + ~1 $![п]с!» —— »!=0 !=1 »=! и — \ » ~' 1[т]„„~"*+, + ~~ 5![п]с!„(52) где В1[т+ Ц В»[т+ Ц... Ыт+ Ц Ь [т+ 2] Ит+ 2]...
$» [т+ 2] Цп, т]— (п~ 1). $,[т+А — Ц$»[т+А — !]...й»[т+И вЂ” Ц $~ [п] в» [п] $» [п] При п=О мы из (45) получаем х[0]= ~ с![0]Ц[0]= ~', 'с!»ИО]. (53) Вводя обозначение с (п, !!!] й[п, и]= (54) (57) ха,= ~5![Й вЂ” 1]с!,. Определитель системы алгебраических уравнений (57) отличен от нуля и, следовательно, постоянные см (!=1, 2, ..., л) однозначно выражаются через заданные начальные условия. Если, в частности„начальные условия нулевые х,=х,=...= = х„1=0, то единственным решением системы (57) является нулевое решение см —— 0 (! =1, 2, ..., Й). В этом случае получим следующее частное решение неоднородного уравнения (33): л — ! х[П]= Я ЦП, т]][в]. (58) Положим в этом выражении 1 при !я=1==0, 0 при тФ1; (59) тогда х[п]=й[и, 1].
Таким образом, функция А[и, 1] представляет собой частное решение неоднородного уравнения (ЗЗ), если начальные условия 1З9 можно записать решение уравнения (ЗЗ) в окончательном виде: и†! А х[п]=,'!.", й[п, шУИ+,'У, 'Ь[п]с!м (55) !!!=з !=! Итак, найдено общее решение неоднородного раз ности ого уравнения (ЗЗ) методом вариации произвольных постоянных. Функция Й[л, т] удовлетворяет равенствам: л[л!+!, т]=0 при !=1, 2, ..., я — 1, й[т+й, т]=1.
(56) Используя эти равенства, которые следуют непосредственно из рассмотрения !]!ормулы (54), можно выразить постоянные см (!=1, 2, ..., л) через начальные условия х[0]=х!!, х[1]=х„... ..., х[А — 1]=ха !. Полагая в выражении (55) п=1, 2, ..., А — 1, получим с учетом равенства (53) Ъ х, = ~ з! [0) сд>, !=! х = Х Ы1]с!м нулевые, а правая часть уравнения 1 [и] определяется условием (59). Вводя решетчатую функцию [ 1 при п=О. )[0 при пчьО. (60) 190 можно записать: Цп+И, т)+Ьд[п]Й[п+Й вЂ” 1, т]+...+ +Ье[п)И[п, т]=ба[и — т], (61) причем в соответствии с равенствами (56) Ь[1, т]=0 при 1=т+1, т+2, ..., т+Ь-1.
Если коэффициенты Ь! [и) разностного уравнения (33) постоянны, то функция Й[п, и] зависит только от разности 'своих аргументов. Действительно, пусть А[п) — частное решение уравнения с постоянными коэффициентами х[п+Ц+Ьдх[п+А — 1)+...+Ь,х[п)=бе[и]. (62) Тогда функция Ь[п — т] будет частным решением уравнения х[п+А)+Ьдх[п+Ь вЂ” 1)+...+Ьах[п)=бе[и — т]. (63) В этом можно убедиться непосредственной подстановкой функции А [и — т] в уравнение (63). Отсюда следует, что частное решение уравнения (62) зависит только от разности аргументов, т.
е. А[п, т)=Ь[п-т). Формула (55) в этом случае принимает вид и†! А х[п]= 'Я Цп — т]1[т]+ 'У',"зд[п)сдм (64) т=О д=! 4. Разностные уравнения с постоянньаии коэффициентами. Пусть дано однородное разностное уравнение порядка А: х[п+Ь]+Ьдх[п+Ь вЂ” 1]+...+Ьех[п)=0, (65) где Ь,„Ь„..., Ьа — постоянные коэффициенты, причем Ь„чь О. Будем искать решение уравнения (65) в виде Цп]=Х", где Х— некоторое число. ° Подставляя функцию 5[п] в уравнение (65), получим 7."+"+Ь,И'"-'+...+Ьах" =О. (66) Значение Х= 0 соответствует тривиальному решению однородного уравнения с[п]=0. Отбрасывая это значение, получим уравнение Хд+Ь,ЛЙ-'+...+Ь =О. (67) Уравнение (67) называется характеристическим уравнением для рассматриваемого разностного уравнения. Найдем корни характеристического уравнения Хд, Х„..., Х,.
Предположим вначале, что все корни являются простыми. Тогда они определяют следующие Й решений разностного уравнения: Хд", Хд", ..., ) д. Покажем, что эти решения линейно независимы. Для этого рас- смотрим определитель Лп Ли+1 Лп-!-»-1 1 > ''' ! ,„.] Л", Л", ' )п Лп+! )и+!> — 1 л — ! 1Л,...Л," =(Л>Л,... Ли)и (66) 1 Л, ... Л,' — ' Среди корней уравнения (67) нет нулевых, так как мы предполагали, что Ь, чь О, поэтому произведение Л,Л, ... Л> отлично от нуля.
Второй сомножитель в выражении (68) является определителем Вандермонда: Ц (Л! — Лг) (!'=1, 2, ..., Уг; 1=1, 2, ..., А). »! Этот определитель отличен от нуля, так как все корни характеристического уравнения простые. Следовательно, решетчатые функции Л"„Л,", ..., Лй образуют систему линейно независимых решений уравнения (65). Согласно теореме 4 общее решение однородного уравнения (65) имеет вид Дп]= 'У, с!Л>, (69) >=! где с,— произвольные постоянные, в том числе и комплексные. Если среди корней Л! естЬ комплексный корень, то найдется и сопряженный к нему корень Ль причем Л! и Л! входят в линейную комбинацию (69) с комплексно-сопряженными коэффициентами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
