Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Предварительно введем понятие линейной зависимости решетчатых функций. решетчатые функции х! [п], х, [и],..., хв [и] называются линейно зависимыми, если существуют такие постоянные числа с„с, ..., с„, среди которых по крайней мере одно отличается от нуля, что для всех значений аргумента и, при которых определены эти функции, справедливо соотношение сгх! [и] + свхг [и] +... + Свхв [и] = О. (22) Если же соотношение (22) может быть выполнено лишь при условии с!=с,=...=се=0, то решетчатые функции называются линейно независимыми. Справедлива следующая теорема о линейной зависимости решетчатых функций: Теорема 2.
Если реигетчатые функг(ии х,(п], ..., хь(п] линейно заеисймы, гпо при всех значениях аргумента и, при которых они определены, обращается в ноль определитель Яг[хг[п], хя(п], ..., хь[пД= х,[п) х,[п+Ц...,, х,[п+А — Ц х,(п) х,(п+ Ц, ..., х,[п+lг — Ц (23) хь[п) хе(а+ Ц, ..., хь[п+7г — Ц Доказательство. Пусть функции х,[п], ..., хь[п) линейно зависимы и в соотношении (22) постоянная с, Ф О. Умножим первую строку определителя на сг и прибавим к ней все остальные строки определителя, умноженные на с,(г = 2, 3, ..., й): ~, 'сгх,[п) )~ сгхг[п+ Ц... ~ сх,[п+й — Ц с-г г =г г ! х,(п] х,(п+ Ц... хг[п+А — Ц «ь (и) хь (и+ Ц... хе (и+А Ц Все элементы первой строки этого определителя нулевые, вследствие чего определитель равен нулю. Замечая, что полученный определитель равен с,рг(х,[п), ..., хь[пД, запишем следующее равенство с,(Р'[хг[п), ..., хь[пД=О; поскольку сгчьО, то УР[хг(п], ..., хь[п]]=0.
И Пусть К,[п), $,[п), ..., 5,(п) — решения однородного разностного уравнения (20), определенные при п)пв. Составим из этих решетчатых функций определитель (23). Определитель йГ[$,[п), $г[п), ..., $„[пД играет в теории разностных уравнений ту же роль, что и определитель Вронского в теории линейных дифференциальных уравнений (см. З 11).
Найдем рекуррентное соотношение, по которому можно вычислить значение определителя (угу,[п), $,[п), ..., 5ь[пД при любом значении аргумента и ~а,. Подставляя решения $г(п), зг(п), ..., $ь[п] в уравнение (20), получим систему й уравнений Ьь (п) ~г [п)+Ьь г (п] зг (п+ Ц+... + Ь, [пИг (и+й — Ц = — $, [п+Ь], Ьь(п]5г[п]+Ь~ г(пД,[п+Ц+...+Ь,[пЦ,(п+)г — Ц= — $,[п+гг), Ьь [пДДп)+Ьь т [п] сь (п+ Ц+...
+ Ьг (и] $ь [и+юг — 1] = — К~(и+й]. (24) 179 Из,системы уравнений (24) можно определи'гь функцию Ь»[п]: Ь И г~»[л'[п[ $»["1 ".' $» ["11 (25) аг [1» [»1, 1» [»1, ..., 1» [ай ' где [р»[Ып], в»И, "., в»И1= Ь[п+й] $,[и+ Ц... 5,[п+А — Ц йа [и+й] $»[и+ Ц... ~»[п+А — Ц [26] $» [п+ й] й» [п + Ц ... $» [п + й — Ц Заметим, что справедливо равенство [Р [Ь[и], ЬИ, ", ЬИ1= =( — 1)»[Р[$»[и+Ц, $а[и+Ц, ..., Ъ»[п+1]]. (27) Из формулы (25) с учетом последнего равенства получим уравнение Ь»[п] [Р[$»[п], йа[п], ..., ~»[пД= =( — 1)» [»[в,[п+ Ц$»[и+ Ц, .;., $»[п+1Д.
(28) Рассматривая зто уравнение как рекуррентное соотношение, можно последовательно вычислить значение определителя [г'[й»[и], $»[п], ..., $»[иД при значениях аргумента п ~ п;. [РД [па+ Ц, " . 5»[па+ Ц1= =Ь»[иа]( — 1)» [Р[а»[ио]~ "а я»[п»Дэ [Р Д» [ио+ 21, „$» [по+ 2Д = = Ь» [по+ Ц ( — 1) [Р й» [по+ 11, ° Е» [по+ 1Д = = ( — 1)'» Ь» [по] Ь»)по+ Ц [Р [Ыпо] " В» [п»Д, [р [Ь [па+ []...
„Иио+ [Д = а — ! =( — 1)'»П Ь»[по+[1 [РВ»[по] ° ", Ь[и»Д (29) »-о Формула (29) позволяет найти значение определителя [РЯ» [п],... ..., $»[пД при любом значении и=:п,. Эта формула является аналогом формулы Остроградского-Лиувилля в теории дифференциальных уравнений (см. $11). Из формулы (29) следует, что определитель [Р'[а, [п], ..., $»[пД равен нулю при всех п~и, + 1, если функция Ь»[п] обрашается в ноль при значении п=и»~па. Если функция Ь»[п] не обрашается в ноль ни при одном значении п)иа, то возможны два случая: а) [Р[в»[п], ..., $»[пД=О при всех значениях п- п„если 1РЫи.]..'ЫЪД= О; б) [[а[5»[п], ..., 5»[пДФО ни при одном значении п~п„если В'[Ь[иа], ..., ЬДпоДч~О, [во Докажем теперь теорему, которая позволяет установить линейную независимость решений разностного уравнения.
Теорема 3. Если решетчатые функции $»[п1, З»[п1, ..., $»[п1 являются линейно независимымирешениями однородного разностного уравнения (20) при п~п» и функция Ь»[п] не обращается в ноль ни при одном значении и - и», то определитель ЯГ[С, [и), ..., $» [пД не обращается в ноль ни при одном значении и) и».
Доказательство. Из условий теоремы и равенства (29) следует, что определитель В'[Яп), ..., $»[п)Д не обращается в ноль ни при одном значении п)п„если В'[з»[п»1." $»[п»ДчьО. Докажем, что определитель Ф'Щпь), ..., З»[п»Д не равен нУлю способом от противного. Пусть 1»' [$! [п»1, ..., 5» [п»Д=О. Рассмотрим однородную систему уравнений относительно постоянных с„с„..., с», определителем которой служит Ю'Д»[пь), ..., ~»[п»Д: сД! [п»1+сД»[п»[+...+с»З»[па[= О, сД,[пь+ Ц+сД»[п,+ Ц+...+с»й» [п,+ Ц= О, с!»ь! [и»+А 1)+с»»ь»[п»+й Ц+...+с»К» [пь+й — Ц вЂ” О* Поскольку определитель системы равен нулю, существует ненулевое решение этой системы с;, с,', ..., с».
Таким образом„справедливы равенства ~ с4[п1=0 (30) ! ! при п = п», п, + 1, ..., и,+Ь вЂ” 1. Воспользуемся теперь тем обстоятельством, что функции $! [п), ..., $» [п1 являются решениями разностного уравнения (20): й»[а+ я)+ Ь! [п)с»[я+й — Ц+... ...+Ь»[пД![п)=0 (1=1, 2, ..., Ь). Положим в этом уравнении п=п„умножим обе его части на с! и просуммируем по ! в пределах от 1 до я: ')~ ~г![и»+Цс!+Ь»[п) .'У, "з![пь+й — ЦС+ " с=! »=! ...+Ь»[п) 'У', $![п»)с! =О. Учитывая условие (30), получим, что ) ', Ь[пь+А)с»=0. Исполь! зуя таким же образом разностное уравнение (20) при п=п,+1, п»+2, ..., найдем, что равенство (30) справедливо также при п=п»+й+1, п=п»+й+2, .... 1И Итак, существуют такие постоянные с,', ..., с», не все равные нулю, что равенство (30) выполняется при всех значениях и- и,.
Следовательно, решения 5, [п], ..., 5» [п] линейно-зависимы, что противоречит предположению теоремы. Полученное противоречие доказывает теорему. ° Из теорем 2 и 3 следует признак линейной независимости решений разностных уравнений: Для того чтобы решения ~, [п], ..., $» [п] однородного разностного уравнения порядка А были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы определитель )Р [Д, [п], ..., 5д[пД был отличен от нуля при всех тех значениях и) п„, при которых определено решение уравнения (20). Этому признаку можно придать другой вид, более удобный для практического применения.
Пусть решения $, [п], ..., ~» [п] однородного разностного уравнения определены при п~ и,. Если функция Ь„[п] не обршцается в ноль ни при одном значении и ) и„, а определитель В'[с, [и»], ..., ~» [п,Д отличен от нуля, то решениями,[п], ..., 5~[и]линейно независивы. Действительно, в этом случае в соответствии с (28) \у[8,[п], ..., 5»[пД~О при всех и) и, и мы приходим к признаку линейной независимости в его первоначальной формулировке.
Если 1Р [э, [и],... ..., 5»[пД~О, но функция Ь»[п]обращается в ноль при некотором значении п=п,~п», то определитель Я7[5,[п], ..., $»[пД обращается в ноль при п~п,+1. Следовательно, любые А решений 'разностного уравнения (20) ~»[п], ..., 5»[п] являются линейно зависимыми во всей области определения п~ и,.
Если, однако, существует такое число У) п„ что функция Ь»[п] не обращается в ноль при п~ )у, то всегда можно построить систему линейно независимых решений, определенных при а~У, Для этого достаточно выбрать начальные значения из условия Яг [$, [У], ..., $»[УД~О и построить систему решений 5,[п], ..., $»[п] при п~У с выбранными начальными значениями. Совокупность А линейно независимых решений разностного однородного уравнения (20) порядка А называется фундаментальной системой решений.
Чтобы построить фундаментальную систему решений, следует выбрать начальные условия при п=п, таким образом, чтобы выполнялось неравенство (р Ц~ [и»]> " ° э» [п»Д Ф О. Выберем, например, следующие начальные условия: Ь~[п»]=1, $,[п»+ Ц=О, ..., $,[п»+А — Ц=О, $»[пв]=0, $»[п»+Ц=1. ~ Ь[по+А — Ц=О, В»[п ]=О, с»[п»+ Ц=О, ..., 8»[п»+А — Ц=1.
Тогда определитель 1Р [5, [и], ..., ~»[пД при п = п„отличен от нуля, %'Я, [п»], ..., $»[п»Д = 1. Предположим, кроме того, что Ь» [и] чь О при п~п»; тогда система решений $,[п], ..., 5»[п], построенная по заданным начальным условиям, является фундаментальной системой. Каждое из решений этой системы можно определить из уравнения (20), пользуясь им как рекуррентным соотношением. 182 ~[п]= Х сй[п] (лапь), (31) еде с, (ю = — 1, 2, ..., )г) — произвольные постоянные. Доказательство.
Из теоремы 1 следует, что функция (31) является решением уравнения (20). Надо показать, что любое решение уравнения (20), определенное при п)пь, можно представить в виде (31). Пусть ю))[п] — произвольное решение уравнения (20). Выберем постоянные сь с„..., сю из системы уравнений Ч)[п]= ~ с;Ь[п] (п=пы па+1, ..., по+й 1). (32) Это всегда можно сделать и притом однозначно, поскольку определитель системы уравнений (32) относительно неизвестных с„..., сь не равен нулю, ]1'[$ю[п,], ..., 5„[п,Ц эь0.
Подставляя начальные значения 5ю [и,], К[п,+11, ... Дю[пь+»г — 1] (ю'= 1, 2, ... ..., )г) в (32) из уравнения (20), найдем ю)) [пь+Ц = —,~, Ью [и] юр [пь+»г — ю'] = = — ~ Ь; [и] ~ с»с» [и,+»г — ю]= ю=! )=! — с) ~„Ь) [п] $» [пь+ )г — ю] = '~ с)с» [и, + )г]. !' 1 ю ! Поступая таким же образом при п=пь+»г+1, п=п,+)г+2, ..., получим, что ю)ю[п] = ~, с»э»[п] прн всех значениях и'= п„т. е. ) ! произвольное решение уравнения (20) представимо в виде (31).
° Из этой теоремы следует, что решение линейного однородного разностного уравнения (20) сводится к определению фундаментальной системы решений. В том случае когда коэффициенты Ь,[п] (ю=1, ..., й) уравнения (20) постоянны, фундаментальная система решений может быть легко определена, как показано ниже в п. 4. Если же коэффициенты Ь,[п] линейного разностного уравнения (20) являются решетчатыми функциями, то задача усложняется. Решение такого рода разносгных уравнений может быть определено по рекуррентной формуле, аналогичной формуле (10). Докажем теперь теорему, позволяющую определить общее решение уравнения (20) по его фундаментальной системе решений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
