Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Выберем для этого начальные условия при и =и,+1 такие, чтобы выполнялось неравенство 11~[э! [и!+1], ..., 'ьь[п!+1]]ФО, и построить по этим начальным условиям решения $! [п] (! = 1, 2, ..., й), определенные при и ~ п, + 1. В соответствии с формулой (1 У) определитель ЯГ [й! [п],... ..., $~[а]] не равен нулю при всех повн!+1, откуда и следует линейная независимость построенных решений. Докажем теперь теорему об общем решении однородной системы разностных уравнений (14). Теорема 2. Пусть векторныс решетчатые функции Р![и], ...
..., вь [и] образуют фундаментальную систему решений однородной системы разностных уравнений (!4) порядка к, Тогда общее решение системы (14) имеет вид и обшего решения соответствуюи!ей системы однородных уравнений (14), т. е. х [п) = ф [п) + ~ч ', сд! [п), (21) где с,— произвольные постоянные, а ~Дп] — решения системы однородных уравнений, такие, чпю (Р'[$![п], ..., $ь[п))~О ни при одном значении п~О. До к а з а тел ь с тв о. Подставляя функцию х [и], определяемую выражением (21), в систему уравнений (11), можно непосредственно проверить, что эта функция является решением неоднородной системы уравнений (11).
Пусть теперь у[и) — произвольное решение системы (11); покажем, что его можно представить в виде (21). Решение у[и) всегда можно представить в виде у[п)=Ф[п]+!р[п], где !р[п] — решетчатая функция, которая однозначно определяется для заданных у[п) и зр[п).
Подставляя у[п) в уравнение (11), получим чр [п+ 1) + <р [и + 1) = А [п) ф [и) + А [и) ср [п) +Дп), откуда гр[п+ Ц=А[и)ар[и). Таким образом, функция !р[и] является решением однородного векторного уравнения (14). Из теоремы 2 следует, что эта функция может быть представлена в виде линейной комбинации линейно независимых решений ~„[п], ..., $ь [п) однородного уравнения (14), т. е. !р [п] = У', сД! [п).
Следовательно, произвольное решение у [п] Г=! неоднородного уравнения (11) всегда можно представить в виде в ! у[п)=ф[п]+ ~ сД![п). И ! 1 Заметим, что теоремы 3, 4, б $49, сформулированные для одного разностного уравнения, являются следствием соответствующих теорем 1, 2, 3 для систем разностных уравнений.
Разностное уравнение порядка й х [и+ и)+ ЬДп) х [п+ и — Ц+... + Ьь [п) х [п) = ! [п) эквивалентно следующей нормальной системе уравнений: х,[п+ Ц=хг[и), х![и+ 1) =ха[и), (22) хь.! [п+ Ц = — Ь1 [п) хь ! [п] — Ьв [п] х! в [п) —... ... — Ь„, [п) х, [п) — Ьь [и) х, [п) +) [и), где хв[п) =х[п), х,[п) = х[и + Ц, ..., хв-Дп] =х[и +й — Ц.
Вводя обозначения хо [п] х, [п] х«-1 [п] х[а]= у[п] = А[а]= 1~а] 0 0 0 0 0 ... 1 — Ьд[а] — Ьд,[п] — Ьд'д[л]...— Ь~[п] рассматриваемое разностное уравнение можно переписать в виде (11). При этом определитель (д'[хд[п], ..., хд[л]] для системы рззностных уравнений (22) равен х„[п] хм[а]... хдд, [п] хд,[а] хм [п]... хдд, [и] 1Р [хд [л], ..., х, [п Д = хдд[л] хы[п]... хдд,[а] х, [п] х,[а+ Ц ... х,[а+й — Ц хд [а] хд [а + Ц...
хд [а+ и — Ц хд[а]хд[л+1]...хд [и+юг — Ц что совпадает с определителем (23) 9 49, введенным при рассмотрении рззностных уравнений. Формула (28) 9 49, полученная для определител~( (23) 5 49, следует из формулы (!б), поскольку в рассмзтриваемом случае д!е! А[а]=( — !)дйд[п]. Рассмотрим теперь решение систем неоднородных разностных уравнений методом вариации произвольных постоянных. Будем предполагать, что мзтрииз А [л] невырождена при всех значе.
ниях а)0, т. е. де!А[а]чьО (а О). Пусть Х[п] — мзтрииз, столбцы которой образованы векторами фундаментальной системы решений однородной системы разностных уравнений (14). Этз матрица называется 4ундплюнтапьной мптрицсй системы (14). Будем искать решение неоднородного уравнения (11) в виде х[л]=Х[п]х[л], где х[п] — вектор-столбец, подлежащий опредед лению. Подставляя векторную функцию х[а] в уравнение (11), получим равенство Х[а+ Ц в[а+ Ц = А [а] Х[а]в[а]+у[а]. Добавим к обеим частям этого равенства вырзжение — Х[а+Цх мх[и]: Х[а+Цг[п+Ц-Х[а+Цг[л]= — А [а] Х [а] и [л]+Яп] — Х [а+ Ц х [п], воз Учитывая, что матрица Х[и) удовлетворяет однородному уравнению (14), найдем Х[п+ЦЛг[п)=Дп). В соответствии с теоремой 1 матрица Х[п] невырождена при всех п=-О, поэтому справедлшю равенство Ья[п]=Х '[п+ ЦЩп).
Суммируя обе части этого равенства в пределах от 0 до п — 1, получим П вЂ” 1 в[и)= ~ Х-г[/г+ЦЯЦ+с (п~1), а=о где с = а [0). Теперь решение неоднородного уравнения (11) можно представить в виде л-г х [и] = Х[п] г [п] = Х[и) с+ Х[п] У', Х ' [А+ ЦЩй]. (23) в=в Введем обозначение К[п, й]=Х[п]Х-'[й+Ц, (24) тогда решение (23) можно переписать следующим образом: х[и)=Х[п)с+.У, К[п, А]у[я) (и=-!).
(25) Итак, методом вариации произвольных постоянных найдено общее решение неоднородной системы разностных уравнений, зависящее от произвольных постоянных с„с„..., сы которые являются компонентами вектора с. Выбирая те или иные значения этих постоянных, можно получать различные частные решения. Если начальные условия нулевые, т. е. х[0)=0, то из условия х [0) = Х[0) с определяется с = О.
'Частное решение уравнения (11) при этом имеет вид и — 1 х[и)= ~~ К[п, А)~[й) (и ~ 1). (26) А=О Рассмотрим теперь случай, когда матрица А [п) в уравнении (11) постоянна. Если Х[и) — фундаментальная матрица соответствующей однородной системы разностных уравнений (!4), то нетрудно проверить, что и матрица Х[п — 1), где1 — целое число (0(1 п), является фундаментальной для системы уравнений (14). С другой стороны, матрица Х[п) Х '[1) также является фундаментальной при фиксированном значении 1. Но две фундаментальные матрицы связаны линейным невырожденным преобразованием, т. е. Х[п) Х ' [1) = ВХ[и — 1), (27) где  — невырожденная матрица, состоящая из постоянных элементов.
Положим п=1. Тогда ВХ[0)=Е. Таким образом, В= = Х '[0). Если Х[0)=Е, то В=Е. При.этом предположении К[п, 1) Х[и — 1-Ц, с=Х'[0)х[0)=х[0), 204 и формула (25) приобретает следующий внд: и — ! х [п) = Х[а) х [01+ Я Х[п — и — Ц у[й1. (28) э=о Из формул (25) и (28), определяющих решение системы разностных уравнений, могут быть получены формулы (55) и (64) 9 49, определяющие решение одного неоднородного разностного уравнения, поскольку разностное уравнение произвольного порядка всегда может быть представлено в виде системы разностных уравнений нормального вида (22). 4. Линейные системы разностных уравнений с постоянными коэффициентами. Рассмотрим линейную систему разностных уравнений (29) х[а+ Ц = Ах[а)+ЯпЬ, где А=[ач] (ю', 1=1, 2, ..., Й) — невырожденная квадратная матрица, составленная из постоянных элементов. Общее решение неоднородной системы разностных уравнений (29) можно определить по формуле (28), если известна фундаментальная матрица решеннй соответствующей однородной системы х [и+ 1) = Ах [и).
(30) Для того чтобы найти общее решение системы (30), применим невырожденное преобразование с матрицей В, приводящее матрицу А к жордановой форме (см. п. 4 $ б). Обозначим х[п) = = Ву[п). Тогда векторное уравнение (29) примет вид у[п+Ц= Ф[п1+а'[п1 (31) где у [и) = В-'Яп); ./= В-'А — жорда нова матрица, на главной диагонали которой расположены клеткиЖордана Кт () =1, 2,..., 1), Л, 1 0 ...
0 0 0 Л 1 ... 0 0 Кт —— 000,...Ц1 0 0 0 ... 0 Л Здесь Л,— корни характеристического уравнения де1(А — ЛЕ)=0. Порядок гт клетки Жордана Кх равен степени элементарного делителя (Л вЂ” Лт)0, соответствующего корню Лт. Заметим, что одному и тому же корню Лг может соответствовать несколько элементарных делителей. В этом случае матрица ./ может иметь несколько клеток Жордана с одним и тем же элементом на главной диагонали. Если, в частности, все корни характеристического уравнения различны, то все элементарные делители имеют первый порядок и матрица / является диагональной.
Найдем общее решение однородной системы разностных уравнений у [и + 1' = Ху [п|. (32) 20з Каждой клетке /Кордана с индексом 1 соответствует следуао/цая группа разностиых уравнений: у„,[п+1]=Л/у„,[п]+ у,,[п], ума [и + 1 ] — Л/ума [й] + у1+а [й] (33) у/+г — а [я+1] = Л/у~+О-а [й]+ уа+ г [й], В+а [й+ 1]=1/уа+ а [й] Введем новые Решетчатые фУнкции га[п]1 уьч[й]=гйа[п]Ла/ (1=1, 2, ..., //), тогда система разностных уравнений (33) примет вид 1 Лгма [п] = — гна [и], / 1 Лгйа [й] =,— гпа [и], / (34) г/», а[п]= — п(п — 1)+~-й+с„ га+,,[п]= —,' л(п — 1) (и — 2) +-', п (л — 1)+-'- и+с„ 21Л] ] 1 (г — 2)1 Л / (г — 3)1 Л// с а/-а ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
