Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 27
Текст из файла (страница 27)
165 Подставляя найденные значения коэффициентов в разложение Х (з) на сумму слагаемых, получаем 1 0,375 1,37з+ 11,49 — О.ООЬ+ 1,08 э +э+1,28 за+7,Ь+37,8 за+52,В+2055 ' Учитывая формулы (6) и (7) 4 42, получаем оригиналы, соответствующие слагаемые в праной части этого равенства: 1 (Г): — —, 0,37Ь 1 1 за! . 0,375 з ' ' ' з+1,28' Применяя второй способ, использованный в примере 1, также найдем 1 37е~'~ь~ соз 4 881+ 1 Ь з'тзг ап 4 881+'- за+ 7,Ь+37„8 — ОООЬ 'ьм соэ37131+ ООЗЬ за м яп 37,13(Л- ' + ' за+52,4з+2055 Следовательно, процесс изменения регулируемой величины определяется функцией к (1) = 1 (1) + О 37Ь 1 за~ — е ч тат (1,37 соз 4 881 + 1,3 мп 4 881) + +е за'зг ( — 0,005 соз 37,131+0,035 мп 37,131) (1 > 0). Другим способом этот же результат получен в примере 2 й 1б.
Часть шестая РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ИССЛЕДОВАНИЕ ИМПУЛЬСНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ Глава ХУ1 РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ $46, РешетчАтые Функции 1. Определение решетчатой функции. Наряду с функциями, определенными на всей вещественной прямой С можно рассматривать функции, которые определены только в некоторых точках (ь (в, .... Такие функции называют решетчатыми Мы будем рассматривать функции, определенные только в равноотстоящих точках 1=лТ, где п — любое целое число, а Т вЂ” постоянная, называемая периодом дискретности.
Эти функции принято обозначать ЦпТ1 (рис. 148). Любой непрерывной функции 1(1) можно поставить в соответствие некоторое множество решетчатых функций, если представить переменную 1 в виде 1=пТ+еТ (О (е(1). При каждом фиксированном значении переменной а функцию ((лТ+аТ) можно рассматривать как решетчатую функцию„определенную в точках еТ, (е+1)Т, (и+2) Т, ... (рнс. 149). Такие функции называются смещенными решетчатыми функциямш Для ннх принятообозначение 1(лТ+вТ)=ЦпТ, еТ1. Изменяя переменную а в пределах от нуля до единицы, можно получить множество смещенных решетчатых функций 1(пТ, вТ), соответствующих данной непрерывной функции 1(1). Благодаря непрерывности функции 1(1) функция ЦпТ, аТ1 является непрерывной по аргументу е и удовлетворяет условию Ц(и — 1) Т, Т~=Я~пТ, 01.
Если функция )(1) терпит разрыв непрерывности первого рода в точках г=лТ, то написанное равенство не выполняется, поскольку 1ип Ц(п — 1) Т, еТ'1~1ип ЦяТ, еТ1, в в е в 167 В этом случае под значением функции )'(пТ] будем понимать предел справа: ЯпТ]= Вт Д(пТ+еТ). в О называется конечной разностью первого порядка решетчатой функции т[п].
Ради краткости Л([п] называют просто первой разностью. Первая разность от решетчатой функции о[[я] называется разностью второго порядка решетчатбй функции [(и], или второй разностью, т. е. М~[п]=Ц[п+ Ц вЂ” А[[а]. (2) Разность а-го порядка решетчатой функции ][и] определяется формулой Л"[[и] = = А'-'Дп+ Ц вЂ” А [и. (З) Разность любого порядка можно выразить через значения решетчатой функции [[и]. В частности, для второй разности получим Ат[[п]=(ч[п+1]-Л[[п]=[(а+2]-2[(я+1]+[(и]. (4) "гт Рис.
149 В соответствии с этим значения переменной е рассматриваются иа полуинтервале О ( е с 1. Функции 1'(пТ, еТ) являются функциями двух аргументов и и е, поэтому целесообразно обозначать эти функции как [„[и, е] = =[[пТ, еТ]. В частности, при ~ят) е= О обозначают Яп] = [[пТ, О]. В тех случаях, когда это не может вызвать недоразумений, индекс-единицу будем опускать. Для решетчатых функций вводятся понятия конечных разностей и сумм„которые в некотором смысле соответствуют -ьт-гт -тт -т о т тт гт вт вт понятиям производной и интеграла для обычных функций. 2.
Конечные разности решетчатых функций. Выражение А[(п]=[[а+ Ц вЂ” 1" (и] (1) Аналогично найдем выражение для третьей разности: ЬЬ (п]=[[а+3] — З[[п+2]+З[(п+ Ц-[(п]. 168 (б) Для разности произвольного порядка А справедлива формула Ла]]п]= лг' ( — 1) ( ]]']п+й — ъ], ч=о (8) Из равенств (1) и (2) можно найти, что ЛеЦп] = Цп + 2] — Ц и+ 1] — Л~ (п] = ~ ~п+ 2] — Ц п] — 2ЛЦп]; таким образом, Цп+ 2]=Цп]+2Л] ]п]+ Л'7(п].
(8) Из равенства (3) Ври ]г=з и равенств (4), (7), (8) аналогично получим: ЛаЦп] =Лецп+ Ц вЂ” ЛзЦп] =Цп+3] — 2цп+2]+Цп+ Ц— — Ла] "]п] = Цп+ 3] — 2] [п] — 4Л7]п] — 2ла] ]п]+ Ц]п]+ Л] "]п]— — ЛаЯа]=цп+ 3] — 7(п] — ЗЛЦп] — ЗЛ'Цп], откуда цп+з]=ц ]+Злцп]+ЗЛ цп]+лзцп]. (0) Продолжая вычисления в том же порядке, можно получить сле- дующую формулу: (1О) или, в частности, ~ри п=0 пп-);('„)ь и!. ь=а (11) Формулы (10), (11) выражают значения решетчатой функции через ее конечные разности до порядка ] включительно.
Они являются дискретным аналогом ' формул Тейлора непрерывных функций. Пример !. Задана решетчатая функция ] ]п]=а, где а — постоянная величина. Найти первую разность данной функции. По формуле (!) имеем а) ]л] =] [и+ ]] — ] ]п]=а — а=о, т. е. первая разнесть от постоянной величины равна нулю. ]бз, ]й] й! где ~,~ = Са = , „ Формулы (1) — (6), определяющие разности решетчатых функций, позволяют выразить саму рен!етчатую функцию ] "]п] через ее разности различных порядков. Так, из равенства (1) можно получить, что Цп + 1] = Цп]+ Лцп]. (7) Пример 2.
Дана решетчатая функция ! [и]=аи+Ь, где а и Ь вЂ” постоянные величины. Определить первую разность этой функции. По формуле (1) получнм Л[[п]=а (и+1)+Ь вЂ” ви — Ь=а, т. с. первая разность от линейной решетчатой функции есть постоянная вели- чина.
Вторая разность от функции [ ]и]=аи+Ь равна нулю, действительно, Ла[ [и] = Ла = О. Пример 3. Определить разности решетчатой функции [[л]=из. Получим: А[ [и]=(и+1)з — лэ=2и+1, Ла[ [и]=Л/ [и+ Ц вЂ” Л[ [л]=2 (и-]- 1)+ 1 — 2л — 1 =2, Аз[И=О. Таким образом, вторая разность от степенной решетчатой функция лз постоянна. а разности более высокого порядка равны нулю.
Пример 4. Определить конечные разности экспоненцнальной фуакцнн [ [и]=е"" Аналогично предыдущему получим: Л) ]л]=пх!иьи — спи=спи (еп — 1), Л [[л]=(е — !)Л "=е ( — 1)а, Продолжая процесс вычисления разностей, найдем следующую формулу для разностн порядка й! Ла) [л]=е (е" — 1)ь, (12) Пример 5. Задана факторнальная решетчатая функция )]л]=ипю = =- и (и — 1) ... [и — (т — 1)], где т тв ! — некоторое целое число.
Вычислить разности факторнальной функции. Первая разность равна Ли пи = (л+ 1) и (и — 1) ... [и+ 1 — (т — 1)] — л (и — 1) ... [и — (т — 1)] = = и (л — 1) ... [и — (т — 2)] [и+ 1 — ! и — (ги — 1)]) — ти!т — и Далее получим Лзи!т>=Лтипа !'=тЛ ипи !'=т т — 1 ипи зь ( ) Вообще, прн всех значениях й, удовлетворяющих условню й(т — 1, найдем Ланит =т (т — 1) ... ]т — (й — 1)] и'т то =т!гии!и™.
(13) В частности, прн Ь=т — 1 имеем Лт"типы =т!и. Отсюда следует, что Лтлм=т], а рачносгн более высокого порядка равны нулю. Таким образом, формулы разностей для факторнальных функций имеют тот жс внд, что и формулы для производных обычных степенных функций. Отметим, что вычисление конечных разностей является линей- ной операцией, Это следует непосредственно нз определения конечной разности. Действительно, Л 'У', с!!р![и]= ';т, 'с!!р![и+]] — ~ с!гр![п]= 'У', сгй!р![п], г=! ! ! г=! ! ! где с! [!'= ], ..., й) — постоянные козффнцненты.
Рассмстрнм теперь разность от произведения двух решетчатых функций <р[п] и ф[п]. Имеем Л(гр[п]ф[п]) =!р[п+ ]]ф[п+ [] — !р[п]ф[п]. 170 Прибавляя и вычитая в правой части этого равенства выражение ~р[и]ф [п+ Ц, получаем Ь (о~ [п] ф [п)) = ~р [п + Ц ф [п+ Ц вЂ” д [п) ф [п) + +~р[а]ф[а+Ц-ор[а]ф[а+ Ц=ф[а+ ЦЬгр[и]+Ьф[п)~р[и]. Итак, Ь(<р[п)ф[п))=ф[и+Цйр[п)+Ьф[п]~р[п). (14) Если прибавить и вычесть выражение ф[а)ф[и+Ц вместо ~о[а]ф[п+ Ц, то получится Ь((р[п)ф[пэ=(р[п+ЦЬф[а]+Ь(р[п]ф[п), (15) Оба выражения (14) и (15) определяют разность произведения оо [и) ф [а). Аналогично можно получить формулу для второй разности: Ьо (<р [а] ф [аэ = ~р [п) Ьоф [п)+ 2Ь~р [а) Ьф [п+ Ц+ +Ьо<р[а]ф[п+2]=ф[п]Кап]+2Ьф[п]Ьр[п+ Ц+ +Ьоф[а) <р[п+2).
Для разности произвольного порядка й справедлива формула о 7й, Ьо~0р[а)ф[п))= ~) ~ )Ь ер[п)Ьо-ф[п-1-т). (16) о=о л-! Р[а]= ~ч', [[й) (и=1, 2, ...). (17) Действительно, ЬР[а)=)о[а+ Ц вЂ” к[а]= Е 1[й) — Х т=1[п) о-о о=о Функцию Р[а] называют переообразнои для решетчатой функции 7" [и). Если решетчатая функция 7[а) определена при всех целочисленных значениях аргумента п=О, +.1, +.2..., то для определения первообразной необходимо дополнительно потребовать, 171 3. Суммирование решетчатых функций. Рассмотрим теперь операцию, которая является обратной к вычислению конечной разности.
Пусть решетчатая функция )[п] определена при положительных значениях аргумента п=О, 1, 2, ... Требуется найти такую решетчатую функцию Г[п], для которой функция [[п] является первой разностью. Эта задача аналогична задаче о нахождении первообразной в анализе обычных функций. Искомая функция имеет вид и чтобы при каждом конечном и сходился ряд ~, 'ЦЦ. При этом условии первообразная определяется выражением и — ! Г[п]= ~ 1[Ц.
(18) Если функция Г[п] является первообразной для функции 1[а], то и функция Г[п]+с, где с — постоянная величина, также является первообразной для решетчатой функции Цп]. Действительно, о [Г[а]+с].=ЮГ[а]+ Ьс=][п]. Таким образом, общий вид первообразной для решетчатой функции Цп] определяется формулой и-! Г[п]= ~ )[Ц+с. (19) Значение постоянной с можно выразить через значение первообразной при некотором фиксированном значении аргумента и = 1а': и — ! с=Г[]- Х Лй] Подставляя полученное выражение в формулу (19), найдем и — 1 и — ! и — ! Г[п]= ~~', [[й]+Г[И] — ~~ ~ЦЦ= ~ [[й]+Г[)а'], откуда и†! Г[п]-Г[ ]= Х ЦЦ (20) И+1 — ! 1- ! Г[)У+1] — Г[)У] ~ [[Ц= ~ ~ЦФ+и] (1=1, 2, ...).
(21) а=и а=а Сумму, стоящую в правой части зтого выражения, иногда называют определенной суммой по аналогии с определенным интегралом. Учитывая условие Цп]= оГ[п], можно переписать равенство (21) следующим образом: И+1- ! ГР+1] — Г[Щ= ') ДГ[й], (22) или при У=О ГД= '): йГ[й]+Г[0]. (23) для любого и) 1а'.
Формула (20) является аналогом формулы Ньютона — Лейбница, связывающей интеграл с первообразной; ее можно записать в виде Для решетчатых Функций справедлива формула суммирования по частям, аналогичная формуле интегрирования по частям для обычных функций. Если в формуле [23) положить 'Р[п]=и[и]х хо[и], [=и+1, то л и[и+1]о[и+1]= ~, 'Л[и[й]о[я])+и[0]о[0] й=о и = ~Х , '[и[)г]Ло[п]+о[к+1]Ли[к][+ и[0]о[0]. Это равенство можно переписать следующим образом: и л и[я]Ло[й]=и[й]о[м][„,",+ — ~ о[й+1]Аи[й]; [24) й=з й=о получена формула суммирования по частям. Здесь е а — знаменатель прогрессии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
