Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Применяя рааенстао(19), определим =О л — 1 л 2,~[[)-л[[-л,ап[11-[„„. ОО 1 еч 244 Таким образом, условие (9) $ 52 выполнено и для суммы~Ч~ 1[т]. лг =О Следовательно, эта сумма является оригиналом. ® Из теоремы 5 следует, что й-кратному суммированию функции 1[п], являющейся оригиналом, соответствует деление изображения Ре (д)=Ю [([и]) на (еч — 1)а, т. е. При 4=2 спрвведливЪ равенство п †! а — 1 ~ ашг ~ Игп ! Пг гпг) лг я!=а а! =О и — ! с другой стороны, ~ ((лг+1)г — шг)= ~ (2гл+ 1). ы О гг =О По формулам (19), (21) получим ч †! (2 .~. 1 )~ — < Ю ! ! .> Ю ! ) 2 ы=е 2еч еч еч (еч+ 1) ( Π— 1)г (еч — !)' (еч — 1'г итак, еч (ее+ 1) (еч — 1)г Повторяя подобные рассуждення, можно найти изображение степенной функции л", которое имеет вид яК (ла) )та ! (Оч), (23) я — ! 2еч (еч — 1)г ы=п (24) Для фуннции л'г'=л (и — !) (и — 2) аналогично найдем ~ Ьлг!г!=п<г!! Ьш'г!= я!=о = ат~г Используя зги соотношения, определим изображение функции л'гц я — ! а !" |-г ~ г п~- И!г" !- 1 еч — 1 ю=а = — ЯГ «3п(г1) = 1 беч ю" — ! (ге — 1)г ' Для произвольного й) 1 получим й!Оч яр (л'а!» = (26) (26) 4.
Умножение иаооражений и оригиналов. Определим свертку ([ и] Решетчатых ФУнкЦий )г(п] и (а(л] по фоРмУле 1(л]= Д,' (г(л — т](г(т]. (27) ягма С учетом этого определения сформулируем следуюшую теорему. 245 где Йа г(еч) — полипом относительно еч степени й — 1, Пршчер 7. Найти изображение факториальной функции л'"'. Рассмотрим сначала функцию л'г' =и (и — 1) Учитывая соотношение е †! л †! Лю"'= ~ ((т+1)'г' — ш'г') =л!г' и формулу для разности факторнальной т=а яг=е функции Ьт'г' = 2т, получаем Теорема 6. Если решетчатые функции [) [п] и Ып] являются оригиналами, та свертка этих фрнкций также является оригиналам, причем изображение свертки равно произведеншо изображений Е[(д) и Рзл())), т.
е. ) и(Х)) — ))*) )]=г))л)г)Ю. )ла) 1м=о где Е) (д) = Ы [[) [и]), Ез ())) = й' []т [и]]. Д о к а з а т е л ь г т в о. Замечая, что верхний предел суммы (27) можетбыть заменен бесконечно болыпим, поскольку 7) [п — т]— = О при т) п, получим с учетом формулы (6) Ы~~', Яп — т]Ят~~~=,) ', Ел)(д)с «"'[з[т]=г): (()) Гол(г)), (м= о ) м=о что совпадает с равенством (28). Остается доказать, что свертка Функций, являющихся оригиналами, также является оригиналом. Пусть выполнены условия ~[х[п])<М)е""ш,,)т[п]) <Мзе ", тогда можно получить следующую оценку для свертки функций [) [п] и [т[п]: ! л л [и т][ [и)] .< ~ М М ел,[л-е)голл м=о ~=о Выберем а,— наибольшее из чисел о, и о„тогда полученное неравенство можно продолжить следующим образом: М М ~ ео )л — м)еллл М М ~~ ели)л — О3)+л м — М Мфъл (и+ 1) гл=е Для любого сколь угодно малого числа е~О найдутся такие положительные числа М„)о', что при и) )))' выполняется неравенство а+1 <Мве' .
Следовательно, е'"л(п+1) <М,е)'" ) ')"; ! л ~Ч„[) [и — т] [з [т] < М)МтМзе)" +')". гл=е Из этого неравенства следует, что свертка Функций ))[и] и гз [п] является оригиналом. И Пример 8. Найти Я'-преобразование свертки решетчатых функций / (л! = = ! (л) и )а )л) =е ~". По формуле (28) с учетом выраисений (7) и (8) й 82 получим л Я ~~~~~ ! (ш] е о'л е«е) е«! е« вЂ” ел' м=о Пример 9. Найти оригинал, соответствующий изображению ет« (е« вЂ” е-ар Представим зту фунипию в виде произведения: сяч св (сч — е '")а (ет — е сс) (ет — е ") Определяя оригиналы, ссответствующие сомножителям по формуле (В) З 52, найдем оригинал, соответствующий их произведению по формуле (28): и ,зг тс' [= 7 е ассе-осл-мс=е ои(п+1).
]((ет е- ).] — 2, и =О Рассмотрим теперь теорему об умножении оригиналов. Теорема 7. Если решетчатые функции )т [и] и (в[и] являются оригиналами, то их произведение )' [и] = )т [п] [а [и] также является оригиналом и выполняется равенство с+/и 2п) с — сл где г((Ч)=му (~т[пИ, гав(у)=Ю ((а[п]). При ятом Кед — а, »с)о„ где о, и оя — показатели поста функций (т[и] и (в[п] соответственно. Доказательство. Поскольку решетчатые функции [,[и] н )я [и] являются оригиналами, выполняются неравенства )[,[и]',(М,е "; ([а[п]!(Мве"и; тогда ф[п])а[п](=~Цп]~( ( М М ею + ос> и — Мел'и, где М = М М.,; о = от + ое.
Отсюда следует, что функция [[и] является оригиналом с показателем роста о,. Соотношение (29) можно получить непосредственным применением Ы-преобразования к функции у [п]. Используя формулу прямого вд-преобразования (1) 2 52, а также формулу обрап(ения (13) 2 52, получаем й [[~[п][ [п]) = '~ е-О"[ [п][ [п]ОО л=е СО с+(и = ~~~~ Е-Ои — „. ~ Е((В)г'"СЬ(,[П]»и 2п) л=- О с — )и с+ с'л СО с+ /и 2 ) Е[ (в) ~~~ ( с [и] дв 2 ~ Ет ( ) яс (и ) дв с — )и л=о с — )и что совпадает с формулой (29). Использованная здесь формула обратного Ы-преобразования справедлива при условии с) о,.
Изменение порядка суммирования и интегрирования, которое мы применили в процессе вывода формулы (29), — законно„если СО сходитсЯ РавномеРно РЯЛ ~, 'е"'-У)(а[п]. ДлЯ этого должно сои=в блюдаться условие Ке(а — в)) о,„или Кев( Ке а — ов. Учитывая неравенство Рсе з ) с ) о„получим условие Йе д — и, ) с) а„ содержащееся в формулировке теоремы. Заметим, что в выражении (29) можно выбрать величину с сколь угодно близкой к а,.
ПазтОМу ИЗОбражЕНИЕ Ел (д) =йт ([,[ПЦО[П]) ОПрЕдЕЛЕНО В Обпасти Кед)ал И Выражение, стоящее в правой части равенства (29), является сверткой в комплексной области. Таким образом, произведению оригиналов соответствует свертка изображений. 5. Дифференцирование и интегрирование изображений. Рассмотрим теорему о дифференцировании изображения Ел(д) по аргументу о.
Теорема 8. Если решетчатая функция [[п] является оригиналом и Ел (д) — ее изображение, то справедливо равенство (30) Доказательство. Дифференцируя почленно ряд (1) $52 по аргументу д, получаем л=О л=в ~~~~~ ( — и) Яп]е-О" =.У ( — п[[п]), л / что совпадает с равенством (30). При выводе равенства (30) мы, однако, изменили порядок операций дифференцирования и суммирования, что должно быть обосновано. Почленное дифференцирование ряда 4, 'е-Ол1[п] возможно, если ряд, составленный из л=в производных, сходится равномерно. Для того чтобы убедиться в этом, определим абсциссу абсолютной сходимости вл1-преобразования (30).
В соответствии с теоремой 1 З 52 имеем и, = = 1п1(гп ~/п)[[п]~. Рассмотрим предел, стоящий под знаком логал со рифма: 1 1ип ~/п ([ [п]( = 111п и" ус) Щ) = (нп р~ )1[и] !' Следовательно, абсцисса абсолютной сходимости ряда ~ , 'е-Ол~ [и] п совпадает с абсциссой абсолютной сходимости л О ряда У, е Ол( [п], поэтому ряд ~ е-О"1 [п] п сходится равнол О л О 248 Учитывая теорему 2, ее можно переписать следующим образом.' У' (п'аг! [п]] = е чь г((е ч)ь ' (34) пример !2.
Определить изображение факторнальной функции ! [о[= л|аь Имеем Ю (л' >) ЯР (ллп 1 [л))'=е ча — г( — ь — ) = ~а г1а Г ач л (е ч)ь [ач — ! гн ч г((е ч)а [! — е е[ (! — е ч)а'! (еч — 1)аг" что совпадает с формулой (2б). Пример 13. Определить изображение функции ! [л1=л'"'е" . По формуле (34) получим Вь г ач ! й!ее+па Ю (л'ь'елл) =е чь —. [ ] = ° (35) гг(е-ч)ь [еч — '] ( ч-е )ь+ ' Перейдем к теореме об интегрировании в области изображений.
Рассмотрим функцию непрерывного аргумента у[() и соответствующую ей решетчатую функцию )[и, е]. Будем предполагать, что ЦО]=((О) =О и существует предел 1пп —.. =!пп — ' )()) . Ло а) (36) г а а а у \ который примем за значение решетчатой функции — при п=О ) [л! и условно обозначим — ~ Справедлива следуюнгая теорема. ![л)! л (л-а Теорема 10. Если функция Цл] является оригиналом, обращаепюя в ноль ггри п=О и предел (Зб) существует, то деление ! [п] на п соотвепгствуепг интегрирован!но изображения г"* (г)) по контуру, соединяющему точку г) с бесконечно удаленной точкой и принадлежащему области аналитичности г"а (г))г др Я) = ')3Р*(у) до+[[„".[(,.
(3Т) Док аз а тел ь с та о. Интегрируя равенство г"ь (г))= = ~ е члу[тг] по контуру, соединяющему точку г) с бесконечно ь=! удаленной точкой и принадлежащему области Ке () ) о„где о, — абсцисса абсолютной сходимости, получаем Еа(г))г(г[ ~ '~~ вел~[а]г(у '()' ~ е-ел~[а]г[у ~~ е-ч '["! ч ч а ! л=! ч л=! (38) Перестановка операций суммирования и интегрирования законна, поскольку при п- 1 выполняются неравенства [ — ]<[Цп][~ (((л[ ! 250 (Ме"с" и.
следовательно, ряд 1) в-'" — „сходится равномерно „! [я] а=! в любой обдасти Кед»па~о,. Прибавляя величину 7[и[1 к обеим частям равенства (38), получаем ~.- ![[п]~ Г ,и ! + г[п] ~ а что совпадает с формулой (37). И Если, в частности, предел (36) равен нулю, то формула (37) приобретает следующий вид: Ю ~ — '"'~ = ~ ра (о) Ид. а (39) Рассмотрим два примера применения этой теоремы.
1Б!и е!и ! пример 14. задана фуннция 7[п] йпмп. Определить ла ( — [, 1 и Б данном случае существует предел 1!щ =в, поэтому справедлива мп ма а о е формула (37), в соответствии с которой [яп мп) !" еа мпм!й) а]п м +в= асс]В + о!. ааа — 2аасси ю+ 1 аа — сомо а Пример 15. Пусть [ [п1 = 1 [и — Ц. Найти 1вт ( — 1. !7[п]! ( ° 1. Функция 7[п, в[=1 [и — 1, е] тождественно равна нулю прн п=о; О~ ( а (1. По формуле 139) получим 251 Формулу (38) можно обобщить иа случай деления оригинала 7[п1 на степенную функцию п" для произвольного целого числа А» 1. Если функция 7'[и] удовлетворяет условию теоремы 10, то справедлива формула ~ ...
~Р*(!7)(с[О)а= 1)„в.а" —. ' (41) а а л=! Здесь интегрирование происходит по контуру, принадлежащему области аналитичности изображения Ра (о). 6. Теоремы о предельных значениях изображений и оригиналов. Рассмотрим вначале теорему о предельном значении оригинала. Теорема !! . Если реисвтчата функция 7" [л] является оригиналом, причем изображение вв первой разнося!а является анали- тической грункцией в правой полуялоскости и на мнииой оси, то справедливо равенство Вш Еь (д) (ег — 1) 1пп 1 [и], д О Ю СО гдв Г*(у) =~ [1[а]]. Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
