Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 44
Текст из файла (страница 44)
)Р'н (О) = )г е чгйнд (1) о В соответствии с формулой (2) й 5( 1 (р'.(а)= — йг () ~, т получим 1 1 ! т (т,,) т о+р т А,р где 5= †, ((г(о)= з †. Теперь определим передаточную функцию импульсной системы по формуле (6) с учетом формулы (2) $ 55: йт'(а, е)=.у(йг (о))= — ' е рз Азб ез (26) т еч — ей Пример 2.
Определить передаточную функцию разомкнутой импульсной системы (см. рис. 158), имеющей ту ме непрерывную часть, что и в предыдущем примере. Импульсный элемент осуществляет амплитудно-импульсную модуляцию с помощью последовательности прямоугольных импульсов шириной ут (у ~ 1) (см. пример 2 $ 5!). 270 где весовая функция замкнутой импульсной системы Аз(п, е) определяется как обратное дискретное преобразование Лапласа передаточной функции замкнутой импульсной системы:— Аз(п, е),= У '(Фа(д, е)). (19) Рассмотрим примеры на определение передаточных функций импульсных систем. Весовая функция импульсного элемента (см.
рнс. 161) определяется формулой з (!) = ! (!) — ! (! — уТ). Преобразуя по Лапласу обе части равенства, получаем е — ттэ ! е — ттВ )р'ф (з) (21) По формуле (9) определим передаточную функцию приведенной непрерывной части: 1 ! 1 — е-тт 4)г (у) йгф (э) й в (з) ~ Т ~э — 4 Р+т т Теперь найдем передаточную функцию импульсной системы. По формуле (6) с учетом теоремы 1 й 55 имеем йг'(д, в)=Ы (йг (д)) =.'У ! — ! ! — е-т' Р Ч 5+ч Сначала найдем Ю-преобразование для функции . Испольауи формулы (2) и (9) й 55, получаем ~1~(Р+)1=~6 Р-)- 1=~6 ~1~+~1= еч ее г — е- Ре еч — 1 еч — е Р Чтобы определить второе слагаемое в выражении (22), воспользуемся теоремой 2 4 55. В соответствии с формулой (3) й 55 имеем — — е Р<а т1 при в)у, еа еч еч — 1 еч — е Р .( е тчР— е Р'т+е ~ю прн а~у.
1 еч — 1 еч — е Р Суммируя найденные иэображения в соответствии о выражением (2л2), полу- чаем передаточную функцию импульсной системы с прямоугольными импуль- сами Эта передаточная фуннция описывается двумя различными выражениями в зависимости от значений параметра в: — е Рв(ерт — 1) при у.(а(1, еч еч — е Р ач е-Р ~-т~ 1 — е Рэ при 0<ела р. еч — е-Р йг'(о, в)= (23) Прввгер 3. Найти передаточную функцию замкнутой импульсной системы с прямоугольными импульсами шириной уТ (2 ~ 1), если передаточная функция ягой системы в разомкнутом состоянии описывается равенствами (23).
27! В частности, если ширина импульсов совпадает с периодом квантования, т. е. у=!, то по второй из формул (23) найдем. что ее — 1 )Р*(я, е) 1 е-ре, (24) ет — е-Р )[ля определения искомой передаточной функции Фч(я, е) воспользуемся формулой (!6), связывающей передаточные функции заминутой и разомкнутой систем. Подставляя н зту формулу передаточную функцию разомкнутой импульсной системы (2З), будем иметь еее Ре(еат — 1) при у(е(1, ее †ей[1 †(еат †!ц е рз(е ам т' — еч)+Ет — е а при О~в(у. еч — е Р [1 — (еат — 1)1 (25) Фч (е, е)= Из рассмотренных примеров видно, что передаточная функция импульсной системы является дробно-рациональной функцией от переменного еч.
Числитель передаточной функции в общем случае зависит от параметра е. Таким образом, передаточная функция может быть записана в виде Рч (е, е) ) () (е) где Ре (!7, е) и (',)е (!7) многочлены относительно еч: Р*(д, е)=а,(в)е ч+а,(е)е1' '>ч+...+а,,(е) ее+а,(е); Яе (!7) = Ь е"ч+ Ье('-"ч+...+ Ь,,ее+ Ь„, (26) причем всегда соблюдается условие 1( А.
Передаточные функции импульсных систем удобно записывать с использованием И-преобразования. Для этого надо выполнить замену переменной в выражении передаточной функции по формуле г = еч. В результате такой замены передаточная функция импульсной системы становится дробно-рациональной функцией переменной г вида 1р,*(г, е)= ' „', где Р,"(г, е) и Щ(г) — мно- 1 гочлены относительно переменного г: Р7 (г, е) = а„(е) г'+ а, (е) г'-'+... + а! т (е) г+ ас (е), Я(г) =Ь,г" +Ь,г"-'-[-...+Ь,,г+Ье.
х [п, е] = ~ К [а — т, е] у(т], (27) ш=о Таким образом, вид передаточной функции упрощается, что в некоторых случаях облегчает ее использование при анализе и синтезе импульсных систем автоматического регулирования. Дискретное преобразование Лапласа применяется также для описания многомерных импульсных систем. Рассмотрим, например, синхронную и синфазную многомерную импульсную систему (см.
рис. 166), непрерывная часть которой описывается системой дифференциальных уравнений (ЗО) 2 6!. Импульсные элементы, осуществляющие модуляцию входных сигналов, описываются уравнениями (31) 2 51. Уравнение такой импульсной системы при нулевых начальных условиях (см. уравнение (41) $ 51) имеет вид где л'(п, е] и д[п] — векторы, характеризующие соответственно входные и выходные величины системы, а матрица К[п, е] определяется из соотношения (39) 9 51. В скалярных обозначениях уравнение (27) можно записать как систему уравнений следующего вида: х/[и, е]= '„!', У', А!/[л — т, з]п/[т] (/=1, ..., й/), (28) пса/=! где Ь//[и, е] — элементы матрицы К[а, е]. Применим !Р-преобразование к обеим частям каждого из уравнений этой системы, тогда получим систему уравнений относительно изображений Г Х/(//, е)= У, К;-/(//, а)б/(/7) (!=1, ..., й/), (29) /=! где К[/(д, е)=МУ [//!/[и, е]); Х/*(/7, е)=М (х, [и, е]]; б[(/7) = =~[й/[лИ (!'=1, ..., Ь/; /=1, ..., «).
Полученную систему уравнений удобно вновь записать в векторных обозначениях. Обозначим через Х* (д, з) вектор-столбец с координатами Х! (//, е) (!=1, 2, ..., Ь/); 0*(//) — вектор-столбец с координатами 0;.(/7) (/=1, 2, ..., «); К*(/7, е) — прямоугольную матрицу, образованную из элементов К//.(//, е) (!=1, 2, ..., й/; /=1, 2, ..., «). С учетом этих обозначений система уравнений (29) может быть записана как одно матричное уравнение Х* (//, е) = К* (//, з) О* (//).
(30) Матрица К*(!/, е) называется переда/почвой ма/при//ей системы. 2. Использование дискретного преобразования Лапласа для решения разностиых уравнений. Дискретное преобразование Лапласа применяется для решения линейных разиостных уравнений с постоянными коэффициентами. Применение бР-преобразования позволяет свести разностные уравнения к алгебраическим и разрешить их относительно изображения неизвестной функции. После этого решение разностного уравнения во временной области определяется с помощью обратного М'-преобразования Как было показано в 9 51„импульсные системы автоматического регулирования описыва!отея разностными уравнениями.
Решая эти уравнения с помощью дискретного преобразования Лапласа, можно определить процессы, протекающие в импульсных системах. Рассмотрим линейное разностное уравнение с постоянными коэффициентами порядка А вида Ьх[л+Ь]+Ьгх[л-~-Ь вЂ” Ц+...+Ь, !х[п+ Ц+Ььг[п]= =а//й'[и-(-1]+а,п[п+1 — Ц+...+а! !д[п+ Ц+а/д[п] (31) с начальными условиями к[0]=хм х[Ц=х!, ..., х[Ь вЂ” Ц=хь ь Применяя М-преобразование к обеим частям уравнения (31) и 273 полагая, что а[01=а[1]=...=а[[ — Ц=О, найдем с учетом формулы (5) $ 53 следующее уравнение относительно изображений: Ьо(Ха(д)еач — е"хо —...— веха,)+Ь,(Ха(д)е(' ')ч— — е'"-'Мх,—...— е'х, Д+...+Ьа с(Ха(д)еч — еохо)+ +ЬаХ'(д)= Х 6*(д)есоас-с» (32) о где Х* (д) =Я' [х[пЯ; 6*(д) = Ус [а[п1[. Введем обозначения;- с Р* (д) = ~ есчас „Я' (д) = Ь,е"ч + Ь,ега -"'+...
+ Ь,,е'+ Ь», с=о Яс (д)=Ьон(а-с)о+Ьсе(а с-с)о+...+Ьа с,ее (с =О, 1, 2, ..., А — 1), с учетом которых уравнение (32) примет вид а-с Х* (д) (;)а (д) — ~ч , 'хсзр (д) = 6* (д) Р' (д), (33) с=о откуда следует, что изображение решения равно а-! ре (а) Э (34) с=о Если разностное уравнение (31) опйсывает некоторую импульсную систему во временной области, то (34) является уравнением этой системы в области изображений для случая, когда начальные условия отличны от нуля. В частности, при нулевых начальных условиях и при в=О уравнение (34) совпадает с уравнением (2), причем выражение —, является передаточнон функР* (сС) цией систеь(ьс. Применяя обратное -'йс-преобразование к обеим частям равенства (34) и обозначая [с[п)=сУ х[ —,[, Ьс[п1 = , (Р*(о)) '(д'(д))" = -З х[~ [ ((=О, 1, ..., А — 1), получим с учетом теоремы 5 .
= (Ес(ч)) — '(д (д))' 2 53 решение разностного уравнения (31) при заданных начальных условиях: х[п)= ~ д[т1А[п-т1+ ~' хсйс[п1. (35) =о При определении .Ус-'-преобразования от дробно-рациональч Р' (О) Яо (о) к да — с(д) ных функций переменного еч д„(), —,(, ...,,( следует пользоваться формулами (24) или (21) $ 52. Пример 4. Репсвть раассостное уравнение к [н+ 2[+ х [н[ =ее" прн нулевых начальных условиях: к[01=к[(1 О.
Применяя й-преобразование к Обеим частям итого уравнения, будем иметь ;чХ (4)+Х (4)= »У еч — е« ' откуда найдем изображение решения Х (д)= еа (е»ч+ Ц (еч — еа) ' Переходя к переменной г=ет. по формуле (2Ц 4 52 найдем исхомое решение: 3 гл 1 »ал С.г (г — еа) (г'+ Ц 1!»=»„аш+1 т=! соз — л+ еа яп — л +Ке /(/ »а)»»а [ 1 ! 1 а»а Отметим, что применение йг -преобразования значительно упроспгло решение етого разностного уравнения по сравнению с методом вариации произвольной постоянной (см. пример 3 4 49). Прммер 4. Определить решение разностного уравнения х [л+ 2) + бх [ л+ Ц+ бх [л[ = 2а [л+ Ц+ я [л1 (36) Начальные условия — нулевые: х [0[=0. х [Ц=О.
Известно также, что и [0[=0. Применяя й»-преобразование к обеим частям уравненая (36), получим Х* (д) (е»я+бее+ 5) (2»ч+ Ц 6* (д), откуда следует, что Х*(4) =Ол (4),,т+Гмч+ . (37) Найдем Я '-преобразование функции по формуле (2Ц 4 52. 2»ч+ 1 »'ч+ 6»ч+ 5 Заменяя переменную по формуле а=ее, получаем [а +6»+5) [(г+5) (а+ Ц) (г+5) (г+ Ц [»= — г (2г+ Игл ' [ 1 — 9 ° 5«» (г+5) (г+ Ц [»= — в 4 Решение неоднородного разностного уравнения (36) определяется формулой (35).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
