Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Из этих компонент только одна остается ограниченной при бесконечном увеличении аргумента л: )ус+ [л](=~с Л'(=(с ~(оэ, где с, — постоянная величина. Остальные компоненты реше- ния у[я] неограниченно возрастают: 11гп (р,ы[п])= 1нп (Р,, с[п]Лл(= л са л сл 1нп (Рс — ю[л]()Лг)л= Вгп )Р с[а])= оо, л сл Теорема 6. Линейная однородная система разностных уравнений с постоянными коэффициентами (10) устойчива асимптотически тогда и только тогда, когда все характерис ические числа по модулю строго меньше единицы: ~Ц)(1 (1=1, 2, ..., Ь). Доказательство. Достаточность условий теоремы следует из рассмотрения обшего решения системы (13), которая является асимптотически устойчивой тогда и только тогда, когда асимптотически устойчива система разностных уравнений (10).
При выполнении дяя всех характеристических чисел Ц условия )Ц~ ~1 все компоненты (15) решения у[я] системы (13) стремятся к нулю. Следовательно, для любого решения выполняется равенство 1пп [у[п]]=0. Отсюда с учетом теоремы 4 н следует, что система (13) асимптотически устойчива. Докажем необходимость условий теоремы, Пусть снстема (13) асимптотическн устойчива.
Тогда она устойчива и, следовательно, по теореме 5 все характеристические числа удовлетворяют неравенству ~ Ц ! =. 1. Допустим, что найдется характеркстическое число А„модуль которого равен единице (~ А,(=1). Тогда среди компонент решения (15), соответствующих этому числу, найдется решение у~+, [и] = сей,", где сь = сопз1. Модуль этого решения остается постоянным при п- со: ~у~+, [п]~=~сь~.Следовательно, функция у~+, [п] не стремится к нулю при п- оо. Поэтому и решение у[п] системы (13) не стремится к нулю.
Полученное противоречие доказывает, что для характеристических чисел ) выполняется строгое неравенство ~ Х,~ < 1 (1 = 1, 2, ..., Ь). ° Все теоремы об устойчивости, сформулированные для линейных систем разностных уравнений, справедливы и для одного разностного уравнения порядка я, которое может быть сведено к нормальной системе Ь уравнений первого порядка вида (22) 9 50.
Устойчивость однородного разностного уравнения с постоянными коэффициентами Ь,х[п+й]+Ь,х[п+й — 1]+...+Ьь гх[п+1]Ь„х[п]=0 (20) в соответствии с теоремами 5 и б определяется корнями характеристического уравнения, которое в этом случае имеет внд Ье)л+Ь,А '+...+Ьь,А+Ь =О. (21) й ВЗ. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ 1. Постановка задачи об всследовании устойчивости импульсных систем. В этом параграфе мы ограничимся рассмотреннем линейных импульсных систем с постоянными параметрами.
Такие системы автоматического регулирования можно описать посред- 993 ством системы линейных разностных уравнений х !и+ 11= Ах!а~1+ Ву(п~, где х[п! и д(г»1 — вектор-столбцы выходных и входных координат системы соответственно; А и  — постоянные матрицы (см. 9 51). Импульсная система автоматического регулирования называется устойчивой, если устойчива соотвео!ствуюи(ая система розностньи уравнений (1).
Для системы разностных уравнений (1) справедлива теорема 1 предыдущего параграфа, в силу которой устойчивость системы (1) определяется устойчивостью тривиального решения однородной системы х(гг+ 1] = Ах (п). (2) Задача об исследовании устойчивости импульсной системы, таким образом, сводится к исследованию корней характеристического уравнения (3). 11иже рассматриваются методы, позволяющие установить, удовлетворяют ли корни характеристического уравнения условиям теорем 5 и 5 9 57, не вычисляя самих корней.
2. Алгебраические критерии устойчивости. Запишем характеристический многочлен системы разностных уравнений (2) в виде йе( (А — ЛЕ) = П (Л) = Ь,Л»+ Ь»Л»-'+... + Ь»,Л+ Ь». (4) Алгебраические критерии устойчивости представляют собой условия, налагаемые на коэффициенты Ьг (г' = О, 1, ..., Ь) этого многочлепа, при выполнении которых нули многочлена (г (Л) лежат внутри круга единичного радиуса ~ Л ~ ( 1. В теории импульсных систем находит применение критерий Шур — Кона*, основанный на вычислении последовательности определителей: Ье 0 0 ...0 Ь» Ь» »Ь» а...Ь» — т»г Ьг Ье О ° ° О О Ь» Ь»-г Ь»- +а 0 ...
Ь» 6» ... Ь„ , Ь, ...6,„» Ь ь Ь а 0 ь Ь1»-а 0 0 0 О о Ьо ь, оо5, Ь» — т+г Ь»-т+а Б» щ»а ... Ь» 0 0 О ... 5, »> Магсеп М. Тне Сеогпе!гу о1 Чаг!аЬ!е. !аегг,!ог!г, !949. 2егоеа о1 а Ро!упогп!а! !и а Соп1р!ех 994 Устойчивость однородной системы (2) разностных уравнений в соответствии с теоремой 5 9 57 определяется характеристическими числами Лг матрицы А, удовлетворяющими уравнению г)е1 (А — ЛЕ) = О, (3) где ь, ь, , ь, , ... ь, .+, 0 Ьо Ьо , ... Ь„ 0 0 , ...
О ь, ь о ... о в Ьоо — о Ьт .о Ьоо з ... Ьо О О 0 Поскольку В, Во =В;„В,, то для вычисления определителя Л„ может быть использована формула*' б„=(В, В, '— Вт Ва.( Прнмер П Определить условия устойчивости для характерястнческпгп многочлена второй степени В()о)=Ьоко+Ь,)о+аз. Составим определители а„, (т= Кй): а,-~ ~=ь — ь. )ь ь~ )ьо ь,~ Ьо 6 Ьо Ьо Ь, Ьо 0 Ь, ь о ь ь ь ь о ь =!Еь ойо ЬН' Иь ь1$ =(ь;- — Ь1)о — ь1 (ь, — ь,)о. Запишем условия устпйчнвссгя по критерию Шур — Кона: Ьо Ьо» б (Ь1 Ьо) Ь1(ьо — ЬоУ» О.
Пря выпплненнн этих условий нули заданного характернстяческпгп многпчлена лежат внутри единичного круга. " Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. ойаукао„!966, с, 66. где Ьь 1=0, 1, ..., Й вЂ” величины, комплексно-сопрямсенные по отношению к Ь;; т=1, 2,:... А. Если все определители Л„, гп=1,, 2, ..., А отличны от нуля, то многочлен 0(й) не имеет нулей на единичной окружности ~),~=1, а число его нулей, расположенных вне единичной окружности, равно числу перемен знака в последовательности 1, ам Л„..., Ла, Отсюда следует, что,все нули характеристического многочлена лежат внутри единичного круга, если число перемен знака в указанной последоватпельности равно нулю, т.
е. Л )О (т=1, 2, ..., Ь). Это и есть алгебраический критерий устойчивости импульсной системы, описываемой.разностными уравнениями (2). Ограничиваясь случаем, когда козффициенты характеристи.ческого многочлена вещественны, заметим, что определители Л можно рассматривать как определители блочных матриц Определители Л имегот Ьи строк и 2т столбцов, (ж=1, 2, ..., Ь), поэтому трудоемкость их вычисления быстро возрастает при увеличении степени Й характеристического многочлена.
Вспомним, что алгебраический критерий устойчивости Гурвица (см. З 18) требует вычисления определителей, имеющих только т строк и т столбцов, В связи с этим целесообразно рассмотреть способ применения критерия Гурвица для исследования корней характеристического уравнения (3). Критерий Гурвица позволяет оценивать расположение корней характеристического многочлена Р (Х) относительно мнимой оси плоскости комплексного переменного Е Однако для исследования устойчивости разностных уравнений требуется определять расположение корней характеристического многочлена относительно окружности единичного радиуса в плоскости комплексного переменного Х.
Отсюда следует, что критерий Гурвица можно применить в интересующем нас случае, если выполнить конформное отображение плоскости комплексного переменного Х на плоскость комплексного переменного в таким образом, чтобы еди- ничная окружность (К~ — 1 перешла в мнимую ось на плоскости переменного в, а внутренность единичного круга ~ Х ~ (1 отобразилась на левую полуплоскость Ке в (0 (рис. 174). Такое отображение выполняется с помощью дробнолинейпого преобразования (5) Выполняя замену переменной по формуле (5) в многочлене Р(Х), получим Ьо(~ ) +" +Ьь-т(~ )+Ьь=( —,'1 ь, - (б) где Р,(в) — многочлен степени й от новой переменной в: Р,(в) =лова+а,вь '+...+а„,в+а,.
(7) Например, при Ь=2 из соотношения Р,(в) =Ь,(1+в)'+Ь,(1+в) (1 — в)+Ь,(1 — в)'= = аав'+ а,в+ а, найдем па = Ьз — Ь1+ Ьм а~ = — 2Ьт+ 2Ьо, аа = Ьз+ Ь1+Ьо (8) Заметим, что нули )ч многочлена Р(Х) отображаются в нули в, Х~ — ! многочлена Р, (в) в соответствии с формулой в,= —. Таким Х,+1 ' а, ао 0 ... 0 аз а, а, ... 0 а, ао аз ... 0 0 0 0 ... а„ а, а, 0 а, а, аа ,..., Лз = аз ао 1аа ао! (.'!а=а„Лз=~ 1, баз= ~ аз а,1' . (9) Без ограничения общности можно считать, что ао)0 н азФО.
Тогда, согласно теореме Гурвнца, для того чтобы все корни многочлена В, (гс) имели отрицателвныв вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы есе определители Гурвица были положительны: (10) Прн атом, как показано выше, все корни )а~ характеристического многочлена В (Х) лежат строго в)!утри круга единичного радиуса: ! й,! С 1 (( = 1, ..., й). Пример 2. Проверить, лежат лн все корни мноючлена Р (Х) =1+За+!Ока внутри единичного круга )Л!(1. Перейдем к переменной в в соответствии с формулой (5): Ра (в) = поад+ пав+ и,. Козффнцненты по, оа, па найдем по формулам (8): по= Ьо Ьа+ Ьа — — 8, па — — 2Ьо — 2Ьа = 18, па — — Ьа+ Ьа+ Ьо=- 141 тогда Ра (в) = 14+ 18в+ 8пд. Теперь можно составить определители Гурвнца н проверить, выполняется лн условие Гурвяца: ~о, а =и — 18)о, 5=)о ~=~ 14~)о.
~0,~ ~ О 14~ Таким образом, условие теоремы Гурвнца выполняется. Следовательно, все корни многочлена Р (Х) лежат внутри единичною нруга. Пример 3. Исследовать расположение корней многочлена Р(к)=!+ба-). + 5оа+ЗР относнтельао еднннчной окружности ! Л(=1. Для того чтобы применить теорему Гурвнца, выполним замену перемен- ной (5) и опРеделнм ком)официанты ао, оа, пм оз многочлена Р, (в); полУчим Ра ('а) = пок" + пав~+ ааааа+ пз ° где по= Ьо — Ьа+ Ьа'— Ьз —— 3, и, =ЗЬо — Ь, — Ь,+ЗЬ, = 1, па=ЗЬо+Ьа — Ьа — ЗЬз=5 оз=ьо+Ьа+Ьа+Ьз=!5. Найдем значения определителей Гурвнца: да=па=1)0, Ла=~ ~=1 5 5~= — 40(0. )аз па ~ 115 5 Определитель третьего порядка можно не исследовать, тзк как условия теоремы Гурвнца уже не выполнены: аа ( О. Следовательно, по крайней мере один нз корней многочлена Р (Х) лежит вне единичной окружности.
образом, нули многочлена В (к), лежащие внутри единичной окружности на плоскости )а, отображаются в нули многочлена Ва(гс), лежащие в левой полуплоскости переменного гс. Исследование расположения нулей многочлена Ва(иа) можно производить с помощью критерия Гурвнца. Составим совокупность определптелей Гурвица 3. Исследование устойчивости с помощью принципа аргумента.
Согласно принципу аргумента (см. $ ЗЗ), число Л' корней много- члена 0(Л), лежащих внутри единичной окружности, равно числу полных оборотов вектора Р(Л) вокруг начала координат при однократном обходе точкой Л единичной окружности ~ Л ~ = 1 в положительном направлении, т. е. съ агйР(Л)=2пЖ ( — п(агйЛ(п; (Л(=1). (11) При этом предполагается, что многочлен 0(Л) не имеет корней на самой единичной окружности. Если число полных оборотов вектора 0 (Л) равно й, где й — степень многочлена, то в соответствии с принципом аргумента все корни Л~ многочлена 0(Л) лежат строго внутри единичной окружности, т. е. ~Л; ~(1 (1 = = 1, ..., й).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
