Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Остановимся еще на одном определении вероятности, называемом классическим. Классическое определение вероятности основано на интуитивном понятии равповозможности событий. Несколько событий в данном опыте называются равноаоэмоэгсными, если по условиям симметрии есть основание считать, что ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другое. Например, равновозможными событиями являются выпадение герба и выпадение цифры при однократном бросании монеты.
Пусть исход опыта можно представить в виде полной группы событий, которые попарно несовместны и равновозможны. Вероятностьго собьгтия А называется отношение числа т благоприятствующих этому событию исходов опыта к общему числу п всех равновозможных исходов опыта. Вероятность события А будем обозначать Р(А), тогда Р(А) = лт~п. Р) Пример 6. В урне трн синих шара, восемь красных н девять белых. Нсе шары одного размера и веса.
Наудачу из урны вынимается один шар. Найти вероятность того, что этот шар синего, красного или белого цнета. Обозначим события, обознача~ицне выход синего, красного илн белого шара, соответственно А, В и С. Всего число рашсовозможных случаев в=20. 3)3 Числа случаев, благоприятствующих выходу синего шара т,=8 и белого шара т =-9, откуда имеем: т~ 3 В т, 8 пт шара, т =3, красного тз 9 и 20' й! 11 1(л — 1)1 (т — 1)! (и — Д вЂ” т-1- 1)1 (и — й)! С„с„т Р (А) а (8) п1 т1 (и — т)1 Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место событие В, называется условной вероятностью события А при наличии события В и обозначается Р(А ~В).
Условная вероятность события А при наличии события В, согласно равенству (6), вычисляется как отношение числа г опытов, благоприятствующих осуществлению события А и события В вместе, к числу пг равновозможных 'исходов опыта, при которых осуществляется событие В, т. е. Р(А ~ В)=г)т. Пример 8. В урне находятся 7 белых и 3 черных шара. Из урны наудачу вынимают олин шар, он оказывается белым, после этого шар в урну не возвращают.
Определить вероятность того, что вынутый наудачу следующий шар тоже будет белым. Обозначим через В событие, состоящее в там, что первый вынутый шар белый„А — событие, состоящее в том, по второй шар, вынутый из урны,— белый. По угловию задачи требуется найти условную веронтность Р(А ( В). Число равнавозможных походов опыта, благоприятствующих событию В, равно девяти: т=9 (бб. 66, 66, 66, 66, 66, бч, бч, бч). Из аих число исходов, благоприятствующих событиям А и В, вместе равно шести; г=б, поэтому, согласно равенству (7), имеем Р (А ~ В)=619 Эту задачу можно решить другим способом. Погче того как из урны вынут белый шар„ в ней осталось девять шаров.
Таким образом, остается девять равновазможных исходов опыта, причем пгесть из них благоприятствуют появленжа белого шара. Поэтому при наличии события В искомая условная вероятность равна Р (А ~ В)=8(9. Свойства классической вероятности 1. Вероятность есть неотрицательное число: Р(А)~0. 2. Вероятность достоверного события () равна единице: Р(с)) = 1. (9) (10) Пример 7. В партии из и изделий й изделий являются бракованными.
Определить вероятность тога, что среди выбранных наудачу для проверки гп изделий точно Г изделий окажутся бракованными. Число равновозможпых способов взять из и изделий т штук равно числу сочетаний из и элементов па т, т. е. Сч„". Из выбранных т деталей по условию задачи 1 долзкно быть бракованных, всего таких изделий можно выбрать Саг способами, Остальные т — 1 деталей. в выоранной партии должны быть пригодными, их можно выбрать С'„" г способами, Таким образам, число исходов опыта, благоприятствующих наличию в проверяемой партии точна 1 бракованных деталей, равно СьГС~ аг и вероятность искомого события выражается формулой 3.
Если события Л и В несовместны, то вероятность собыпшя А+В равна сумме вероятносомй событий А и В, т, е. (11) Р (А + В) = Р (А) + Р (В). Свойства вероятности 1, 2, 3 справедливы и для условной вероятности Р(А1В). Условная вероятность события А при пали. чин события В равна частному от деления вероятности появления события А совместно с событием В на.вероятность события В, т. е.
Р(А1В) = (12) Доказательства справедливости укаэанных свойств вероятности аналогичны приведенным выше доказательствам соответствующих свойств статистической вероятности. Не всякая сис!яма случайных событий может быть рассмотрена исходя из статистического или классического определения вероятностей. Однако указанные свойства вероятностей охазываклся справедливыми и для других вероятностных ситуаций, не приводимых к рассмотренным выше моделям. Примем свойства 1 2 3 ве оятности в ачестве дксиом для вероятностйлюбои 'си<темы случайных событий.
На основе этих аксиом строится математическая теория, описывающая закономерности, присущие случайным событиям. Изложим кратко идею построения этой теории. Рассматривается пространство элементарных событий (в!!) = 11, т. е. множество возможных взаимно исключающих друг друга исходов опыта, один из которых обязательно должен произойти при осуществлении комплекса условий В. Из множества 11 составляются всевозможные его подмножества, называемые событиями.
Множество всех событий при добавлении невозможного события и' называется полем событий Е. В поле событий с обязательно'входит достоверное событие О. Действительно, одним из событий из всего множества с является событие, заключающееся в том, что произойдет одно из элементарных событий. Это событие эквивалентно объединению элементарных событий ~" свь Так ! =- ! как одно из элементарных событий обязательно должно произойти, л л то )~ еч есть достоверное событие, но событие )~ и! совпадает й=! !=1 и с пространством элементарных событий, поэтому 11 = ); в!!=~/.
!.=. ! Для пояснения построения поля событий рассмотрим следующий комплекс условий В. На четырех карточках написаны четыре буквы а, Ь, с и с(. Карточки тщательно перемешиваются и наудачу вытаскивается одна из них. Тогда пространство элементарных событий состоит из четырех точек в!„в!м в!, и в!„, где и, ам в!, и «!в — элементарные события, заключающиеся в том, 315 что на вынутой карточке написаны буквы а, 6, с и с( соответственно. В этом случае пространство элементарных событий й состоит из четырех элементов в„вь, в, и в„.
Составим множество подмножеств элементарных событий, т. е. поле событий Р. Это поле состоит из следующих подмножеств (событий): «ьа вь ва вл ва+ вь» ва+ в»» ва+ «ьл вь+ вс вь + вл в»+ вл ва+вь+ва» ва+вь+вл» ва+ва+ва вь+вс+вл» в.+вь+ва+вл, !'. Достоверное событие У в данном опыте состоит в том, что произойдет или событие в„или вь, или в„или вл, т. е.
0 = = в,+в„+в,+в»н таким образом достоверное событие совпадает с пространством элементарных событий. Вероятностью события А называется мера объективной возможности этого события. На поле событий Р вероятность вводится с помощью названных выше свойств (9), (10) и (11), принимаемых в дальнейшем в качестве аксиом теории вероятностей. Таким образом, вероятность события А есть число, характеризующее меру объективной возможности появления этого события и удовлетворяющее аксиомам (9), (10), (11). Аксиому (11) по индукции можно распространить на и попарно непересекающихся событий, тогда получим (13) Равенство (13) называется принциполл сложения еероятностеб. Задачей теории вероятностей является вычисление вероятности сложных событий, определенным образом связанных с некоторой совокупностью простых событий, вероятности которых заданы.
Для теории вероятностей несущественно, как именно определяются вероятности исходной совокупности случайных собьпий (вычисление этих вероятностей является предметом специальных наук), важно лишь то, что если при достаточно большом числе испытаний статистические вероятности исходных событий будут близки к их вероятностям, это же будет верно для частоты интересующего нас сложного события, вероятность которого рассчитана согласно правил и теорем теории вероятностей. 4.
Следствия из аксиом теории вероятностей. Рассмотрим ряд свойств вероятности, вытекающих из аксиом теории вероятностей. 1. Вероятность события А, протиеоположного событию А, отличается от единицы на сел««чину еероятности события А, т е. Р(А) = 1 — Р(А).
(14) В самом деле, события А и А противоположны, если АА = 1«, а А+А=««', поэтому из аксиом (10) и (11) получим, что РЯ= Р(А)+ Р(А)=-1, откуда имеем Р(А) =1 — Р(А). И 316 2. Вероятность невозможного события равна нулю, т. е. Р(У) =О. (15) Действительно, так как Г= У, то из равенства (14) следует Р(У)=1 — Р((/)=1 — 1=0. И (15') 3. Если событие А влечет за собой событие В, то вероятность собьппия А меньше или равна вероятности события В, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
