Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Если функция !р(Х) монотонная (рис. 195), то для нее существуег обратная функция Х=!р-!(У), а интервал оси Ох, на котором выполняется неравенство !р(Х)<у, является единственным. В этом случае, учитывая равенство (12), получим для монотонно возрастающей функции (рис. 195, а) Ре(у) = Р( — ос(У(у)= Р( — са(Х(х)=Ре(чге(у)), (ЗЗ) а для монотонно убывающей функции «р имеем (рис. 195, б) Р, (у)= Р( — со < 1'<у) = Р(я+О=- х <оэ) =1 — Р, («р-' (у+О)). (34) Если функция Рт (х) дифференцируема, то из равенств (ЗЗ) и (34) получаем 1,(р) ""'"' ""„'",',"" ~ "Р"("'~ 1,(р- ())~ — "'„„'" — '~. (35) Знак модуля в равенстве (35) введен для того, чтобы объединить значения производных, вычисленных от выражений (33) и (34), в одной формуле.
Формулы (31) — (35) позволяют по заданным законам распределения случайного аргумента определять законы распределения функции У= «р(Х). а) Рис. 193 Пример 3. Найти функцию распределения случайной величины 1', если она связана со случайной величиной Х линейной зависимостью У=ах+в, где о и Ь-известные неслучайные постоянные. Функция распределения г«(л) (нли плотносп, распределения )д(х)) аргумента Х задана У вЂ” Ь Функция, обратная фуниции «р(Х), имеет внд «р 4()«)= . Из равевств (33) и (33) получим: Р.(у)=К (",Ь), ).(р)- —,1 !.( — ",'). Пример 4. Найти фуницню распределения и плотность распределения веро. ятностей случайной величины У, если слу«айная величина Х распределена по нормальному закону (сы. Равенство (2!)) при л«=0, а 1'=«р(Х) =Х'.
По условию задачи инеем г«(с) ~ е «$. Изформулы (31), .1.1 учитывая, что «р "()«] )«Г, гюлучаеи )' ~,)«р-р,( — )«р) рн р 0 нри у<0 о а« 2 Г з — е «(л при у)0, при у<0. Плотность распределения вероятностей случайной величины )' найдем, дифференцируя функцию распределения веронтностей Р,(у) по у: ! Га(у)= = о)72~ ~)ра(у) е п и у)0 о у 0 при у<0. й 61. ВЕКТОРНЫЕ (МНОГОМЕРНЫЕ) СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 1.
Основные определения. Кроме одномерных случайных величин можно рассматривать многомерные случайные величины— векторы, координаты которых являются одномерными случайными величинами. Такие случайные величины встречаются во многих технических задачах. Рассмотрим несколько примеров векторных случайных величин. Рис. 197 Рис. !96 1. Отклонение точки падения снаряда от цели является случайной двумерной величиной (рис. 196) Х'=[ХтХД; 2. Случайное положение центра тяжести самолета в пространстве является трехмерной случайной величиной (рис.
197) Л =[Х Х Ха~. 3. Случайные сигналы б и Х на входе и'выходе системы автоматического регулирования (САР) с л входами и тл выходами можно рассматривать как и- и т-мерные слу-, с Хе С чайные вектоРы (Рис. 198): Хр Ха .о рдр Х о.=[а,." Ч, рл хт Хт [Хт Х ) Рис. 198 Случайные векторные величины будем обозначать жирными прописными буквами латинского алфавита Х, У, У, .... Рассмотрим способы задания вероятности и соотношения а)ежду вероятностями для векторных случайных величин. Рассмотрим совокупность л случайных величин Хт (то), Хв (со), ..., Х„(го), заданных на пространстве элементарных 337 событий ь).
Эти величины можно интерпретировать как одну векторную случайную величину Х'(а) =~Х1(а) Х,(а) ... Х„(а)]. ()) .! Таблица б х, х! Х1! х,х Х21 Ри Рм Рм Рьх Эта таблица называется распределением вероятностей векторной дискретной случайной величины Х. Чтобы определить вероятность того, что случайный вектор Х примет значения, принадлежащие множеству А, нужно просуммировать вероятности рсн соответствующие возможным значениям случайного вектора, йринадлежащим множеству А, т. е.
Р(Х ~ А) =,У', рц. (х, ххда А (2) В общем случае, когда число возможных значений случайного вектора несчетно, принципиально невозможно задать распределение вероятностей в виде таблицы, поэтому по аналогии с одномерными случайными величинами для задания случайного вектор» вводятся функция распределения вероятностей и плотность распределения вероятностей. 2. функция распределения вероятностей и плотность распределения вероятностей случайного вектора. В общем случае характеристикой двумерного случайного вектора является функции 338 Случайная векторная величина принимает каждый раз значения, завися!цне от элементарного события а. Таким образом, многомерная случайная величина есть вектор-функция, заданнан на пространстве элементарных событий, и каждое ее возможное значение есть вектор. В дальнейшем аргумент а случайной функции для краткости записи будем опускать.
Рассмотрим сначала двумерные случайные величины Х' = -' =~Х1Х11. Если двумерная случайная величина принимаетконечное число значений, то ее можно задать таблицей, определяющей соответствие между возможными значениями случайного вектора и соответствующими им вероятностями рч=Р(Х,=х,ь Хи=хм). Эти вероятности могут быть заданы в виде таблицы: распределения вероятностей Г(хп х,), которая равна вероятности совместного выполнения неравенств Х, < хп Х, < хы где Хи Х,— координаты случайного вектора, а х, и хе — возможные их значения, т. е. Е (хм хД = Р (Хт < хм Хе < хе).
(3) Свойства функции распределения двумерной случайной величины Е Функция распределения вероятностей принимает значения, заключенные между нулем и единицей, т. е. 0(Е(хп х) (1. (4 ) Неравенство (4) справедливо, так как функция Е(х) есть вероятность, значения которой, как показано в Э 59, заключены между нулем и единицей. ° 2. Функция распределения есть функция неубывающая по каждому иэ своих аргументов, т. е. при Лхт= 0 и Лхе)0 имеем Е (хт + Лх„х,)» Е (хм хе), (5) Е(х„хе+Ах,)»Е(хп х,).
(6) В самом деле, учитывая принцип сложения вероятностей для несовместных событий, имеем Г(х,+Ах„х,)=Р(Х,<х,+Ахи Х,<х,)= =Р(Хт<хо Х,<хг)+Р(х,(Х,<хт+Лхм Х,<хе)» » Р (Х, < хе, Хе < хт) = Е (хе, хт). Аналогично доказывается неравенство (6). ° 3. Если оба аргумента функции распределения равны +со, то она равна единице, Е(+ оо, +ос) =1. (7) Действительно, имеем Е(+со, +со)=Р(Х1<+со, Х <-(-со). Правая часть этого равенства есть вероятность достоверного события, которая равна единице.
° 4. Если хотя бы один иэ аргументов функции распределения равен — оо, то она равна нулю, Е( — оо, хт) =Г(хп — оо) =О. В самом деле, из определения функции распределения имеем Е ( — со, хе) = Р (Хт < — со, Хт < хе) „ но событие Хт <-чсо невозможно, поэтому его вероятность равна нулю. ° 5. Если один из аргументов функции распределения положить равным +со, то получится одномерная функция распределения Г (хн + оо) = Г, (х,), (9) Г (+.со, хь) = Ге (х,). (10) Действительно, справедливо равенство Г (хи со) = Р (Хг < хь Хь < + оо) = Р (Хг < х,) = Г (х,) „ так как событие (Хе<+со) достоверное, Аналогично получаем равенство (10).
И б. Вероятность того, что двумерная векторная случайная величина примет значения внутри прямоугольника аг < Х, < Ьи ' ае < Х, < Ь„определяется равен- ее ством Р (а, ес Хг . Ьм ае < Хь < Ье) = = Г (Ь„йь) — Г (а„Ь,)— лㄠ— Г (Ь„а,)+Г (а„а,). (11) Действительно, если обозначить события А =(Х,<Ь„Х <Ь), р «г ь ег А1=(Х1 <ам Хь Ь|) Рис. 199 А,=(Х, <Ь„Х, <а,), В=(а,<Хг<Ьи а,=-Х,<Ьг), то, как видно из рис.
199, можно записать А =В+(А,+Ае). Из равенства (18) 9 59, определяющего вероятность обьединения совместных событий, имеем Р(А) = Р(В)+ Р(Аг)+ Р(А~ — Р(АгАь). Учитывая введенные обозначения, получим Р (Х, < Ь„Х, < Ье) = Р (а, < Х, < Ь„аь < Х, < Ь,) + + Р (Х, - а„Х, .-. Ьь) + Р (Х, .-. Ь„ Х,<а,) — Р(Х,«а„Х, <ав), или Г(Ь,, Ьь)=Р(а,<Хд<Ьи ае<Хь -.Ьь)+Г(ам Ьь)+ + Г (Ь„а,) — Г (а„а,), откуда следует равенство (11). Я Рассмотрим вероятность Р (хг ( Х1 < хг+ Лхм х, < Хь (хь + Ах,) = Г (хг + Ахм ~+ Ахь)— — Г(х1+ Ахи хь) — Г (хи хь+Ахь)+Г (хм «в).
Найдем отношение этой вероятности к площади прямоугольника со сторонами Лх, и Лхк (рис. 199): Р(к~(Х| <х1+Ьхь х~(Хк~х~+Ькк) ах~ Ькк [Р(х1+Ьхь кх+Ьк~) — Р, (к,, хк+Ьхх)) — [Р(к~+ахи к ) — Р(хг, х,)) Ьх, Ьх В пределе при Лх,-эО, Лхх-~О получим Р (х1 ( Х1 ( к~+Ахи хк ~ Хв ( хх+ахк) 1ип Ьк1 Ькк ь„* о т Функция ((х„х,), равная второй смешанной производной функции распределения случайного двумерного вектора по обеим аргументам, называется фуннг[ией плотности распределения вероятностей этого случайного вектора. Как следует из равенства (12), двумерная плотность распределения вероятностей [(хп х,) равна отношению вероятности того, что случайный вектор Х примет значение, принадлежащее прямоугольнику (х„х, + Лх1), (х„ хк+Лхх), к его площади, если длины сторон этого прямоугольника стремятся к нулю. Свойства плотности распределения вероятностей случайного вектора Х'=[Х,Хх) Р (Х ев А) = ~ ~ [(х„х,) йх, йх,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
