Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 57
Текст из файла (страница 57)
В самом деле, вероятность того, что случайная векторная величина примет значение в элементарной области ах,йх„согласно равенству (12), равна [(хы хх) йх, йхк, а общая вероятность вычисляется как предел суммы элементарных вероятностей для воз. можных значений случайного вектора по всей области А, т. е. равна интегралу (13). И 2. Плотность распределения вероягпностей есть неотрицательная функг[ия, т.
е. ~(хм хк) «О. (14) ()З) Свойство справедливо, так как функция ) (хм хх) есть производная от неубывающей функции по обоим аргументам. ® 34) 1. Вероятность того, что случайный вектор Х примет значение из области А, равна определенному двумерному интегралу от фунщии плотности распределения вероятности, взятому по втой области, т. е. 8. Интеграл от плотности распределения вероятностей, взятый в бесконечных пределах по обоим аргументам, равен единице, т. е. ~ 7' (хи х,) йх, йх, = 1.
(15) ~,(хг) = 1 ~(хы х,) с(х„(16) ~,(х,)= ~ ~(хо х,) йх„(17) где ~,(хг), гэ(х,) — плотности распределения вероятностей случайных величин Х, и Х, соответственно. Из равенства (13) имеем м к Г(хи х,)=Р(Х,(хи Кэ(х,)= ~ ~ ~фо ~,)Щ,гф,. Если положить, что х,=+ со, то из выражения (9) найдем Р(х„+со)=рг(х,)= ~ ~ 1(гы х,)с$гйхм а так как плотность распределения вероятностей случайной величины есть производная от функции распределения этой случайной величины, то получим, что ! СО 6(хг) — = ~ 7(хо хэ) йхм др (х„+ со) Таким же образом можно доказать справедливость равенства (17).
Я По аналогии с функцией распределения двумерного случайного вектора вводится функция распределения и-мерного случайного вектора Х' = ~Х, Х ... Х„~. Действительно, рассматриваемый интеграл, как это следует иэ равенства (13), равен вероятности события, состоящего в том, что случайный вектор Х'=1Х, Хэ) примет значение, соответствующее произвольной точке плоскости х,Ох,, а это событие есть событие достоверное. И 4.
Для пюго чтобы по известной плотности распределения вероятностей случайного двумерного вектора Х получить одномерную плотность распределения одной из его координат, нужно проинтегрировать в бесконечных пределах двумерную плотность распределения ~(хо х,) этого случайного вектора по переменной, соответствукхцей другой координате, т. е. Функцией распределения случайного вектора Х называется веро.ятность того, что случайные величины — координаты этого вектора примут значения меньшие, чем заданные числа х„х„..., х„, т. е. Е(хи хм ..., х„)=Р(Х,(хи Х,(хм ..., Х„(х„). (18) Функцией плотности распределения вероятностеи (хм хм..., х„) п-мерного случайного вектора называется частная производная п-го порядка от функции распределения этого вектора, взятая по всем аргументам, т.
е. д»»Е(хо хь .... к„) » (х1» хь ° ° » х»») в з в (19) Свойства функции распределения и функции плотности распределения вероятностей и-мерного случайного вектора Эти свойства аналогичны соответствующим свойствам для функции распределения и плотности распределения вероятностей для двумерного вектора. Приведем их без доказательства. 1. Функция распределения Е(хм хм ..., х„) принимает значения, заключенные между нулем и единицей, 0(Р(хм хм ..., х„) = 1.
(20) 2. Функция распределения Г(хи хь, ..., х„) есть функция неубываюи(ая по калсдому из своих аргументов, р(х„хм ..., хь и хь+Кхь хе+„..., х„)~ ~Е(хм х„..., хь и хь, хьы, ..., х„) (21) при Лхь->О (у=1, 2, ..., и). 3. Если все аргументы функции распределения равны + со, то она равна единице, Е (+ со, + оо, ..., + оо) = 1. (22) 4.
Если хотя бы один из аргументов функции распределения равен — оо, то она равна нулю, Р(хи хь, ..., — оо, ..., х„)=0. (23) б. Если й аргументов функции распределения положить равными +со, то получим функцию распределения для (и — й)мерного случайного вектора, координатами которого являются координаты, соответствуюи~ие оставигимся переменным, т. е. Г(хм х„..., х„ю +со, ..., +со)=р„ь(хы х„..., х„ь). (24) б. Вероятность того, что п-мерный случайный вектор Х примет возможные значения, принадлежаи1ие области А, равна и- мерному интегралу от функции плотности распределения вероят- зьз носгпей ~(хь хы ..., х„) итого случайного вектора, взятому по области А, пь е. Р(Х ен А) = ~ ~...
~ ) (хз, хы ..., х„) йх, йхь... йх,. (25) л 7. Плотность распределения вероятностей 1 (хи хь, ..., х«) п. иерного случайного вектора есть неоп1рицательная функция, 1(х„хы ..., х„)~0. (26) 8. Интеграл от п-мерной плотности распределения вероятностей, взятый по всем аргументам в бесконечных пределах, равен единице ~ ~(хо хы ..., х„)йх~йхе...йх„=!. (27) 9. Для пюго чтобы по известной и-мерной плотности распределения случайного вектора вычислить (п — я)мерную плотность распределения, нужно проинтегрировать и-мерную плотность я раз в бесконечных пределах, в результате получится плотность распределения вероятностей для (и — я)-мерного вектора с координатами, соответствуюи(ими оставшимся переменным, т.
е. 1«-ь(хо хы ..., х«-ь)= ~ ~ " ) 1(хз х« " ~ х«)йхп-й~~... йх„. (28) 1О. Функция распределения п-мерного вектора связана с его плотноспгью распределения вероятноспмй соотношением 1 «2 Р(хо хы ..., х )= ~ ~ ... ~ )($о $ы ..., $„)~ф~сф, ...сф„. (29) 3. Независимые и зависимые случайные величины.
Условные функции распределения. Случайные величины Х, н Х, называются независимыми, если Функция распределения вероятностей случайного вектора Л =(Х, Хь) может быть представлена в виде произведения двух функций от одного аргумента, т. е. Р(х„х,) =Р,(хг)Р,(х,), (30) где Р (хи х,) — двумерная функция распределения случайного век.тора Х, а Р,(х,) и Р,(х,) — одномерные функции распределения случайных величин Х, и Х,. Докажем две теоремы, определяющие свойства независимых случайных величин. Теорема !. Для того чпюбы случайные величины Хг и Х, были независимьц необходимо и доспиипочно, чтобы выполнялось равенство Р(аг~Х1<йо аь(Хе<бе)=Р(аг<Хг<уДР(аь(Хь<бг).
(3!) 344 Доказательство. Пусть выполнено равенство (31), тогда при значениях а, = — со, а, = — со, Ь, =х„Ь, =х, получим Р(х,, ха) =Р1(ха) Ра (ха), т. е. согласно равенству (30), случайные величины Х, и Х, независимы. Обратно, если случайные величины Х, и Х, независимы, то согласно выражениям (11) и (30), справедливы равенства » Р(аа(Х1(Ь1, аа=-Ха(Ьа)= =Р(Ь1, Ь,) — Р(а„Ь,) — Р(Ь„аа)+Р(а„аа)=Р1(Ь1)Р (Ьа)— — Р. (аа) Ра (Ьа) — Ра (Ь1) Ра (аа)+ Р» (а ) Ра (аа) = = [Р1 (Ь,) — Р, (аа)) [Р, (Ь,) — Р, (аа)1= = Р (а, ( Ха ( Ь,) Р (аа =. Ха ( Ьа). И Теорема 2.
Если двумерная плотность распределения вероятГХ11 настей Р (х„ха) случайного векпюра ~ ~ существует, то для ~Х,1 того, чтобы случайные величины Х, Х, были независимы,необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство Р (х„ха) = = )1(х») (а (ха), где Ра (ха) и Ра (ха) — одномерные плотности распределения вероятностей случайных величин Ха и Х,. До к а з а те л ь с т в о. Сначала докажем достаточность условий теоремы; для этого рассмотрим двумерную функцию распределения Р(х„ха).
Если ) (ха, ха) =(1(ха)(а(ха), то Р(х„х,)=Р(Х,(х„Х,(«,) = х, к, х к» ~ ~61, Ьа)с% с%а= ~ ~ 6(ЫЙКа)йЬс$2= х, х, 11(К) сала ~ )Я2) с$2=Р1(х,)Ра(х,), т. е. случайные величины Х, н Х,'с плотностями распределения вероятностей )1(х,) и (2(ха) при выполнении условий теоремы независимы. Докажем теперь необходимость условий теоремы. Пусть слу- ЧайНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Х, И Х,— НЕЗаВИСИМЫ, т. Е. Р(Х„Ха) =Р1(Х,)Х хРа(ха). В этом случае имеем даР (х„ха) да (Ра (хд Ра (ха)) дР, (х,) ЛРа (ха) 1 (1»1» Ха) дк, дха дх, дх, ~х~ Лха =6(ха)[а(ха) И Пусть имеем набор случайных величин Х„Х„..., Х„; эти случайные величины называются независимыми в совокупности, если для любых индексов 1„1„..., 12 (й(п) справедливо равенство Р[хап х1,, ..., ха,)= Ц Р1,„(х1 ). »2=1 345 Рассмотрим две независимые случайные величины Х, и Х,.
Пусть заданы функции распределения этих случайных величин г»(хг) и ге(х,). Найдем условную вероятность события Х,(х, при условии, что выполнено соотношение ав«Х,(й,. По определению условной вероятности, учитывая равенство (11), имеем р(Х (Х (а «Х (Ь ) Р(Х»<х», а»~Х»<Ь») Р(оа Х, Ь,) Р(х, Ьд — Р(х, о ) Р» (Ь») Р» (о») (32) где г (х„х,) — двумерная функция распределения случайного вектора ~ ~. Если положить ае=х„де=хе+с»хе и устремить ()ха (Х,~' к нулю, то получим Р (хн х»+ ох») — Р (х».
х») ! и и + ( Р т ( х т ~ хе ) ( 3 3 ) др(х», х»+6» ахе) др(х», х») г»(х»~хе)= 1нп а„, о дР» (х + О» Дх») )» (х») дхе где 0(8,(1, 0(8,(1. Дифференцируя правую н левую части полученного выражения по х, и пользуясь зависимостью между плотностью распределения вероятностей и функцией распределения, получаем д»Р (х», х») дР,(х, ) х»)»... дх»дхе г'(х», х,) где ) (х„ха) — двумерная плотность распределения вероятностей ~Х,1 случайного вектора Х=~ ь Г,(хе) — плотность распределении '(х~' вероятностей случайной величины Хе. фУнкциЯ Г»(х» ~хз) называвтсЯ Условной плотностью РаспРеделения вероятностей случайной величины Х, при условии, что случайная величина Х, приняла значение, равное х,.
ю См., например: Ф н ктен гол ь ц Г. М. Основы математического ана. лиза, т, 1, еНаукат, !968, с. 186, 346 Предел выражения (33) называется условной функцией распределения вероятностей случайной величины Х, при условии, что случайная величина Х, приняла значение х,. Если функция распределения г"(х,, х,) дифференцируема по аргументам х„ и х.„ то, воспользовавшись формулой конечных приращений Лагранжа *), получим Рассмотрим функцию распределения случайной величины Х,; по формуле полной вероятности имеем Г(х,) =-Р(Х,х хД= ~', Р(Х,(хх(В,) Р(В;), 3 =! где В, ((=1, 2, ..., и) — полная группа непересекающихся событий.
Пусть событие В, заключается в том, что случайная величина Х, примет значение на отрезке [хм ( Х, (хенч), т. е. В~ = = (хм ~ Хх ( ххгм), тогда Р,(х1)= У, Р(Х,(х,~хм(Х, <ххгм) Р(хм -Х,<хмм)= с=в ) = Я Р (Х ( хх | хм ~ Х, ( хйьч) [Г, (ххм х) — Р, (хм)]. Рг (х1) = ~ Р1 (хг ~ хх) [и (х2) ахи (35) Дифференцируя равенство (36) по хь получим ),(х,) = ~ [,(х,~х,)~,(х,)йх,.
(36) Выражения (35) и (36) носят название формул полной вероятности. Из равенства (34) следует, что )(х,, хх)=[,(х,|х,))',(х,). (37) Совершенно аналогично можно показать, что существуе( симметричное равенство 1(хь ) =(х(хх х хх))1(хх) (38) Приравнивая выражения (37) и (38), найдем й (х, ( х,) )х (х,) 2 хх х1 ( (х) (39) Учитывая соотношение (36), получаем формулу Бейеса для плот- ности распределения вероятностей случайных величин: [(х 'х)= й(х1 ) хх) 72(х~) Ыхх (40) 347 Устремив и к бесконечности, полагая, что максимальная длина отрезка ° хм+, — хм = Лхм стремится к нулю, и учитывая, что Р,(х„+Лхх) — г",(х,)-э-~х(х,) йх, при шахбхм-ьО, получим Пример 1.
Двумерная плотность распределения вероятностей случайного ГХП вектора [ ~ имеет вид 1 — при х,'+х, '«яе, Г(хг, х)= й)(а О при х)+х,' «Ю Определить плотности распределения вероятностей Гг (х,) и Г (х ), а также условную плотность распределения вероятностей Гг (хг ( х ). Вычислим одномерную плотность распределения вероятностей: — лхг = ' при ( хе ! «Я, )/ла-.1 О Га (хе) = ) Г (х„ха) г(хг = при ! хе ~ ) Я Согласно вырюкению (39), получим при (хг («)/)1е — хю 1 Г(хм ха) Я)/от х1 ге (ха) О прн ~х,())/К' — х„". .1 )/Яв — х) хг — )/и — ч ! О прн ~хП «гг, при )х ))Я. Случайные величины Хг и Х, зависимы. так как Г(хь хт) ф)г(х,) Га (ха). условную плотность распределения втроятностей г; (ха ) х,) найдем по фор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
