Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Такая числовая характеристика называется дисперсией случайной величины Х и обозначается Р[Х]. Для дисперсии случайной величины Х имеем и Р[Х]= ~', (хл — М[Х])'рм л=1 Полагая в формуле (4) <р(х) =х', получим выражения для моментов случайной величины Х. г-1 лчяя Иачальным моментол (или просто момейтом]~блучайной величины Х называется математическое ожидание ее г-й степени. Этот момент обозначается а„т. е. Очевидно, что чем больше разброс возможных значений случайной величины от математического ожидания, тем больше дисперсия этой случайной величины.
Из выражения (5) следует, что дисперсия есть математическое ожидание квадрата разности случайной величины и ее математического ожидания. Для непрерывной случайной величины Х формула (5) после предельного перехода принимает вид ,О[Х)=М[(Х вЂ” М[Х)) = ~ ( — М[Х))»Дх)д . (7) СО Разность между случайной величйной и ее математическим ожиданием называется центрированной случайной величиной Х'. Х'=Х вЂ” М[Х|. (8) Кроме дисперсии вводятся и другие числовые характеристики центрированной случайной величины Х', называемые центральными моментами. У Центральным моментом г-го порядка р, случайной величины Х называется математическое ожидание г-й степени центрированной случайной величины Х', т.
е. рс — — М [(Х')') = М[(Х вЂ” М[Х))с) = ~ (х — М[Х))с[(х) г(х (9) Из формул (7) и (8) следует, что дисперсия является центральным моментом второго порядка случайной величины. Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата этой случайной величины, однако удобнее пользоваться мерой разброса случайной величины, имеющей ту же размерность, что и сама случайная величина. За эту меру принимают положительное значение квадратного корня из дисперсии и называют ее средним кеадратическим отклонением.
Среднее квадратическое отклонение обозначается о„, т. е. 3 о =)/ЩХ~ =)/р,. (19) Аналогично вместо начального момента второго порядка а„ характеризующего среднее значение квадрата случайной величины, иногда РассматРивают числовУю хаРактеРистикУ т1=)/ам называемую средним квадратическим значением случайной величины. Нетрудно получить зависимость между начальными и центральными моментами. Например, для центрального момента рторого порядка имеем р,=М[(Х вЂ” М[Х))']= $ (х — М[ХЭ»~(х)дх= СО х'[(х)Йх — 2М[Х) ~ х[(х)дх+(М[ХЭ' ~ [(х)дх= = ໠— 2а1+ а1 = из — а1 (11) сй!2» В теории вероятностей наиболее часто прнмеФяются моменты первого и второго порядков — математическое ожидание и дисперсия.
2. Свойства математического ожидания и дисперсии. Из определенна математического ожидания вытекает ряд его свойств. Свойства математического ожидания случайной величины С 1. Математическое ожидание неслучайной величины равно самой втой величине, т. е, М[сЯ=с. (12) Действительно, константу можно рассматривать как случайную величину с плотностью распределения вероятностей [(х) = 6 (х — с), так как она принимает единственное значение х = с с вероятностью, равной единице; поэтому М [с[ = ) хб (х — с) йх = с.
° Р О 2. Неслучайный множитель с можно выносить за знак математического ожидания, т. е. М [сХ) = сМ [Х). (13) Ц самом деле, имеем М[сХ)= ) сх) (х) йх=с ~ х[(х) йх=сМ[Х[. ° — СΠ— ОЭ Р 8. Математическое ожид ние суммы случайных величин равно су е математических ожиданий этих случайных величин, т, е. М[Х,+Хе)=М[Х )+М[хе[. (14) Действительно, введем новую случайную величину У=Х,+Хм ее математическое ожидание равно М[у)= 1 у[г(у) йу гд" Ь(у) плотность распределения вероятностей случайной величины 1'. Согласно равенству (45) 5 61 плотность распределения вероятностей суммы случайных величин равна Гг(у) = ~ 1(хм у — хДйх„ где [(хм хе) — плотность распределения вероятностей случайного ГХ 1 ~о ~о вектора ~ ~~; поэтому М[г'1= ~ ) у[(хи у — х)йх,йу. Введем Ы ОР ОЭ новую переменную хв — — у — х„тогда М[У'[= ~ ~ (х~+х~)/(хо хе)йхгйхм ! Учитывая соотношения между одномерной и двумерной плотно стями распределения вероятностей (16) и (17) $ 60, окончательно имеем СО 00 ( ! М[Х! + Х01 М[)с1 = ~ ~ х([ (х!» хч) йх! йхе+ СО О» + ~ 1 хе[(хы хе)((хьйхе= ~ хт[(хг)йх!+ ~ х»[(хз)йх, ° :"м[х,1+м[х.1, ! где (,(х») и (,(хе) — плотности распределения вероятностей случайных величин Х, и Х, соответственно.
° Если процесс вычисления математического ожидания рассматривать как оператор, примененный к случайной величине Х и ставящий ей в соответствие число тх, определяемое равенство (1), т. е. тх = м[х100 ~ хг(х) йх, ! СО то йства 2 и Э устанавливают, что этот оператор линейный. Г 4.~математическое ожидание произведения независимых случаиных величин Х, и Х, равно произведению математических ожиданий этих случайных величин, т. е. (16) м[х,х 1=М[х,1М[х 1, О если Х, и Хе независимы.
В самом деле, пусть )'=Х,Х„тогда М[у100 ~ уЬ(У) йу» где [и (у) — плотность распределения вероятностей случайной величины 1'. На основании равенства (67) $ 61, определяющего плотность распределения вероятностей произведения случайных величин Х, и Х, с плотностями распределения вероятностей [,(х!) и Г;(х,) соответственно, ' имеем ! О» СО ( о» е М[у1= ~ ~ — [(хи у/х,) йх! йу — ~ ~ — "[(хи у/х!) йх,йу, (16) — СО О СО СО где 1(х„х,) — плотность распределения вероятностей случайного вектора [Х, Х01. !» Введем новые переменные х,=и, у(х,=о.
Якобиан преобразования равен дк! дх! ди дс (17) ду ду ди (Ъ Га О!Р ч»00000000 в К„с. з Ъ и его модуль 1 /(=~ и ~. Подставив в выражение (16) новые пере* менные, получим М [ХтХО] = М [У] = ~ ~ о1 (и, о) ~ и ~ йи йо— ссс О ас О Оэ сΠ— о[(и, о)~и~йийо= 1 ') ио[(и, о)йийо. (18) Выражение (18) позволяет найти математическоеожидание произведения случайных величин Х, и ХО. Если случайные величины Х, и Х, независимы, то на основании теоремы 2 $ 61 для независимых случайных величин получим М[ХтХО] ~ ~ ио)1(и)Ь(о)йийо= и[1 (и) йи ~ о1О (о) йо = М [Х1] М [ХО]. ° (! 9) Свойства дисперсии случайной величины 1.
Дисперсия неслучайной величины с равна нул~о, т. е. Р[с]=0. (20) Действительно, ранее было показано, что М[с]=с, позтому 0[с]=М[(с — М[сЭО]=М [(с — с)'] = М[0]=0. ° С 2 Дисперсия произведения неслучайного множителя на случайну~о величину равна произведениго квадрата неслучайного множителя на дисперсшо втой случайной величины, т. е. Р [сХ) = сОР [Х].
(21) В самом деле, так как постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, то имеем ,0 [сХ] = М [(сХ вЂ” М [сХ])'] = М [с' (Х вЂ” М [ХЭО] = = сеМ [(Х вЂ” М [Х]) О]= с'Р [Х]. ° О 8. Дисперсия суммы независимых случайных величин Х, и ХО равна сумме дисперсий слагаемых, т. е. Р[Х,+ХО]=Р[Хх]+Р[ХО] (Х, и Х, независимы). (22) Из определения дисперсии, используя полученные выше свойства математического ожидания, имеем: Р[Х,+ХО]=М[(Х1+ХΠ— М[Х,+ХОЭО]= = М [((Х, — М [Хс]) + (Х, — М [ХО]))'] = М [(Х, — М [Х,])О]+ + 2М [(Х1 — М [Х с]) (Х О вЂ” М [ ХО])] + М [(Х, — М [Х О])'], По условию случайные величины Х, и Х, независимы, поэтому согласно равенству (16) получим М[(Х,— М[Х»3(Х вЂ” М[Х 31= =М[Х вЂ” М[Х ПМ[Х вЂ” М[Х,1) О и окончательно Д[Х, + Хо)= М [(Х, — И [Х,))о)+И [(Х, — И [Х»1)о) = = В [Х»)+,О [Хо).
3. Моменты многомерных случайных величин. Как и для одномерных случайных величин, для случайных векторов вводятся понятия начального и центрального моментов. Рассмотрим случайный и-мерный ректор-столбец Х с координатами Х», Х„..., Х„. Смешанным начальным моментом порядка й»+ Ао+ ... + я„ случайных величин Х„Х», ..., Х„называется математическое ложидание произведевия лцХ„... Х„, т. е. а»»» =М~х»»'Хо' ...Х "~.
(23) Смешанным иентральным моментом порядки я, +я»+ ... +й„ слу и»йных величин Х„Х„..., Х„называется математическое ожидание пронзведейия (Х)) ~(Х;) ... (Х„') соответствующих центрированных случайных величин, т. е. р»с», ..., » =М 1(хт)~»(хо)» ... (Х„) "~. (24) ° Наибольшее применение нашли моменты случайного вектора первого и второго порядка. Рассмотрим свойства этих моментов. Вычислим момент первого порядка для координат вектора Х: ао...„о, », о,, о= М[(Х»)'." (Х» 1)' Х! (Хм»)'...
(Х.)о)= М[х»1. (25) Отсюда следует, что начальные моменты первого порядка для системы и случайных величин есть математические ожидания этих случайных величин. Математическим ожиданием случайного вектора Х называется вектор, координатами которого являются мате1чатические ожидания ссютветствующих координат случайного вектора Х, т.
е. М[Х)т =[М[х») ... М[Х„Д. (26) Можно показать, что свойства математического ожидания случайного вектора аналогичны свойствам математического ожидания одномерной случайной величины. Свойства математического ожидания случайного вектора 1. Математическое ожидание неслучайного вектора равно этому вектору, т. е. ° М [с| = с, (27) где с — неслучайный вектор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
