Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 62
Текст из файла (страница 62)
В частности, для двумерного случайного вектора Х"=[Хгх,] имеем: т, ' К Км К„' К к км-х.г(* — К„ поэтому плотность распределения вероятностей Цх„хг) двумерного нормально распределенного вектора равна Кт (») — т,)* — 1 К т(х, — т))(хз — та +Кт(ха — т~в Цх1. х)= ! ,е г (ктк..-к)») 2г ук»=»), (38) Введем новую переменнуюу=С(х-пс), тогда получим х-и<= = С-су, н равенство (39) примет вид СΠ— — ' с- к-ой(Х)= 1 е«'с 'У+еое ' ' ") <)е(С-с<-сс(у. (2я)е<е(<се<)ц<<е ) < (40) Из свойств скалярного произведения (см.
равенства (47), (48), (52) и (53) $ 7) следует, что для действительной матрицы С спра- ведливы соотношения (С, С 'у)=((С с)"г, у) и (С'у, К-'С 'у)=(у, (С ')'К'С су). Из теории квадратичных форм известно (см. 2 8), что всегда существует такая ортогональная матрица С (для нее С-'= С'), для которой произведение СКС' =Р является диагональной мат- рицей. В этом случае обратная матрица Р-'=СА'-'С', поэтому из равенства (40) получим «е< С ' е<< ' > з (2 )е<' ( Е< ГС)«а ,) "СО Из теоремы об определителе произведения матриц (см. 2 2) имеем (с(е( Р)п' = (с(е( К)п' ~ с)ес С ), откуда получим е<<''е) г <<сс, Ю--п<у,.
о- ю (2я)е<е (<се< ез)<<е 3 Так как матрица Р имеет диагональный вид г, . г«<1 Р = <И ай ~с(< с(е... <Ц, то Р-с = с) (ад <с — — ... — ~, "«с 4"'«л ' с)е(Р=<(сс(е... с(„, (42) и подынтегральное выражение в равенстве (42) представляет произведение функций от одной переменной, то и-мернь<й интеграл можно представить в виде произведения п одномерных интегралов. Полагая т=Сг, получим й е се д(Г)=а<<с, )Д ') ... е «с(у. (43) Вычислим характеристическую функцию случайного вектора Х, распределенного по нормальное<у закону. Из определения характеристической функции (30) имеем ОΠ— к- (2 )е<'ОИД)«е (39» СО и в,р$ ! зло о „, е одуь=е р 2иаь (44) поэтому характеристическая функция равна — —,,'Я~ 4 1 у(е) е)и, тре о ~ — е)и т!е о (45) Выражая т через г и учитывая, что С'ОС=К, найдем окончательно характеристическую функцию многомерной нормально распределенной случайной величины: 1 1 1 нс ! — <сс, осо нс тр — и, с~оси нс т! — — и, еи д(г)=е ' ' ' =е ' ' ' е ' ' ' .
(46) Используя свойство 3 характеристической функции, найдем характеристическую функцию случайной величины Х, и двумерного (Х,") случайного вектора ~ ~х,~' я,~;-- к„! 1 йт(8;)=е !(с, ч+й~,) — -'(к.,д+оки~д,+ки4) уо((о (с) =е (47) (48) Вычислим значения производных характеристической функции при (; = 8~ = рл дуо (й) ! — = )ть дй ~со — о , дЪ(~ь й) ! = — Ки — т;то. д!о дй ~г,. =о о (49) (50) Учитывая равенства (1!), (13) и (36)а получим М (Хе1= ть аи = )!! [ХсХс) = Ки+ тять М (Х гХ г')= аи — т;т;= Кн.
(5!) Таким образом, параметры — вектор т и матрица К-в выражении для плотности распределения вероятностей есть соответственно вектор математического ожидания и корреляционная матрица нормально распределенного случайного вектора Х. Дпя двух нормально распределенных случайных величий Х,. и Х, справедливо следующее свойство: Если случайные величины Х~ и Х, распределены по нормальному закону и некоррелированы, то они независимы. Из равенств (23) н (24) следует, что интеграл в выражении (43) равен В самом деле, для некоррелнрованных случайных величин Кв=0, поэтому в выражении (38) для плотности распределения вероятностей двумерного случайного вектора получим (»,-жп' (»,— и,)' 1 7(х„х,) = е 2п Ф КиК»» (»» — »ь)» (»» г»»)» )Г21(Кн У 2»(К»» Из выражения (52) следует, что в рассматриваемом случае двумерная функция плотности распределения вероятностей предста- вима в виде произведения одномерных плотностей, поэтому согласно теореме 2 2 6! эти случайные величины независимы.
Получим необходимую в дальнейшем формулу для смешанного центральноп) момента четвертого порядка для координат нормально распределенного случайного вектора Х. Из равенств (46) и (35) следует, что характеристическая функция де(Г) центри(юванного случайного вектора Х вЂ” М 1Х1 =— = Х вЂ” ит = Х" имеет вид ! ( )((, »») — — ((, «о — — (в ко й» (Г) е-(((, »»»)д(Е) =е-нг, »»)е ' э ' — е з ' (53) Согласно выражению (36) для определения любого центрального момента необходимо найти соответствующую производную от характеристической функции центрированного случайного вектора.
Характеристическую функцию центрированного нормально распределенного четырехмерного вектора получим из формулы (53). Согласно равенству (34), полагая Ге=1,=...=1„=0, имеем — — ки(,(, (54) йо((ь гэ (е г») =е где Кв — корреляционный момент случайных величин Х( и Хь Дифференцируя это выражение поочередно по переменным 7„('„ Тз и 1, и полагая затем 7(=.7,=1е=1,=0, получим на основании выражения (36) ~„ЬЬ,=М(Х";Х Х;Х;)=К„К +К„К,.+К„К . (55) ! й 64.
ПРОСТЕЙШИЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ 1. Неравенство Чебышева. С помощью неравенства Чебышева можно оценить вероятность того, что значение, принятое случай- ной величиной Х, будет отличаться от математического ожида- ния этой случайной величины М!Х)=тх больше, чем ва задан- ~ ную положительную величину е. Неравенство имеет вид Р(!Х вЂ” л(х) = е) =.—,, В !Х] (1) где Р(Х] — дисперсия случайной величины Х, 375 Р () Х вЂ” тх ~ ) е) = г) 7 (х) дх„ ) к-гих )>е (2) причем интегрирование производится по интерналу оси Ох, где выполнено неравенство ! х — тх !) е. Так как в выбранном интервале интегрирования (х †)' ) е', то в данном случае можно записать (х — и )' К (3) Умножая получение неравенство иа неотрицательную функцию 7(х), имеем ~(~) ~,," 1(~).
(4) Подставив выражение (4) в равенство (2), получим (~ Х гпх ~ ) е) с а ~ (х гпх) 1 (х) г(х (б) ~' — х~>а Заметим, что для неотрицательной подынтегральной 'функции в правой части выражения (5) справедливо неравенство (х — тх)т~ (х) с(х ~ ~ (х — тх)' ~ (х) г(х Р [Х), )х шх~ >е. рр ! откуда имеем Р(~Х вЂ” гпх ~) е)=-.—,.
9 в(х) (6) 1 2. Теорема Чебышева. Рассмотрим последовательность независимых случайных величин Х„Хм ..., Х„... Пусть заданы математические ожидания и дисперсии элементов этой последова- тельности М(Х,)=т, ЩХ„]=И„(о=1, 2...) 341 У Образуем новую случайную величину У„как среднее арифметическое первых и членов указанной последовательности:, х,+х„+...+х„ л (7) Докажем это неравенство, для чего запишем вероятность события, состоящего в том, что случайная величина Х, имеющая плотность распределения вероятностей 7' (х), примет значение, отличающееся от своего математического ожидания больше, чем на е. Эта вероятность равна По правилу определения математического ожидания и дисперсии суммы незавпсимых случайных величин Имеем: ~а; М[У„1= — '„=а„, л л Хл Ю [У,1= — „, = — „— „= -„- д .
ю=1 ! с=~ 1 Из неравенства Чебышева найдем, что )~ йР' ! ~2 е% и > —— Я Выберем теперь число ч~(енов последовательности Г получим Р(~1„— М[У„) ~> ) <6= — ",. ° (! 2) Если случайные величины последовательности имеют одина- новые математические ожидания и дисперсии, т. е. М[Хь)=т,,0[Хе[=й (1=1, 2,,), М~х,+х,+...+х„1 ч ! ~в, где Ь=~ л В отношении названной последовательности случайных вели- чин справедлива следующая теорема: Теорема 1. Если последовшпельность случайных величии Хт, Х„... состоит из независимьи случайных величин с ограничен- ными дисперсиями, то вероятность того, что случайная величина х„+х,+...+х„ (10) примет значение, отличаюи!ееся от ее математического ожида- ния на заданную величину в~О, при достаточно большом числе п меньше любого положительного числа 6, т.
е. Р (~ ӄ— М [У'„)! > е) ( 6. Доказательство. По условию теоремы дисперсии слу-. чайных величин Х„ограничены, поэтому существует положи- тельное число Я такое, что й, (Я (1 =1, 2, ...). Тогда из равен- ства (9) следует, что и ! й[Г 1= — „'=„' (11) и из Пэравенства (12) следует, что Выражение (13) показывает, что вероятность того, что случайная величина 1'„, равная среднему арифметическому и случайных величин, имеющих одинаковые математические ожидания и ограниченные дисперсии, примет значение, отличающееся от математичрского ожидания элементов последовательности на величину большую чем е, может быть сделана сколь угодно малой при увеличении числа и. Этим обстоятельством пользуются при оценке математического ожидания случайных величин.
3. Теорема Я. Бернулли. Пусть выполняется серия из и испытаний Бернулли с вероятностями успеха и неудачи соответственно р и с)=1-р, и случайная величина Х„равна числу успехов в и испытаниях. Теорема 2. При доеспаспочно большом числе независимых испытаний вероятность того, чпсо чаессгота успеха, которая равна отноисению числа усссгхов Х„в и иепьсспаният к числу сссссьппанссй, отличаетея от верояспссосспи больисе чем на любое число е)0, может быть сделана сколь угодно малос1, т.
е. Р~~ —" — р~) е)(6. (14) Доказательство. Введем случайную величину К», которая равна единице, если прн и-м испытании имеется успех и равна нулю в противном случае. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Г» равны: й) (У,1 = 1 . р + 0 (1 — р) = р,,01)' 1 = = (1 — р)' р + (Π— р)'(1 — р) = р (1 — р). (15) В этом случае случайную величину Х„ можно представить в виде Х„= )'с+ У»+...+ У'„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
