Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Доказательство. Пусть дано, что !. !. в. Х,=Хс,. Тогда, с с, положив в условиях предыдущей леммы, Ус =Хс, со=го, получим 1пп М[ХсХ! ]= М[1.1. гп. ХХс Я=м[хс Хс) =Гх (!о !о) = с !» с' с» с с. = а(го) (с~. Отсюда следует справедливость необхошияости условий леммы. Докажем достаточность этих условий. Имеем 1нп М[Х, Х,1=а(!о), откуда М[(Х,— Хе)о) = М[Х,Х,— Х,Хе — Х,Х,+Х,Х,.) = = М [Хсхс) — 2М [ХсХс ) + М [Хс Хс ). Перейдем к пределу при 1-»-г„й-»-г„тогда получим Вв М[(Хс — Хс)о)= Всп М[хсХ!)+1!в М[ХсХ! [— с» ! с с» с.
— 2 1пп М[ХсХс )=а (!о)+а (со) — 2а(со) =О. с с. Таким образом, существует предел 1. !. в. Х! = Хс,. ° с с, Воспользовавшись доказанными леммами, получим критерий непрерывности случайной функции в вреднем квадратическом. Этот критерий устанавливается следующей теоремой: Теорема 1. Для того чтобы случайная функция Х'(!) с ограниченной дисперсией была непрерывна в среднем квадратическом, необходимо и доспсаточно, чтобы корреляционная функция К (сс, !о) этой случайной функции при 1, = 1, была непрерывной, причем из непрерывности функции К(г» го) при го =!о следует ее непрерывность при любых !с и !и зв До к а ватель ство.
Пусть корреляционная функция случайной функции Х'(!) непрерывна при г!=(о. Запишем очевидное равенство М[(Х' (~!) — Х ((!о))о[= М[(х (1!))о)+ М[(Х ((!о))![в — 2М[Х'((!) Х'(1!о))=К((!. !!)+К(г!о. ~!о) — 2К(1ь 1!о). (44) Перейдем к пределу при Г!-ю !го. Используя условие непрерывности корреляционйой функции, получим 1пп М [(Х' ((,) — Х' ((,о))о1 = 11ш К ((и (!) + Вгп К (1!о, !!о) = !, !ю 6 !ю ьв — 2 Вт К((и !!о)=К((!о, (го)+К((!„(го) — 2К((!„1!о)=0.
(45) 6 !ю Достаточность условий теоремы доказана. Докажем необходимость. Пусть Х'(!) — непрерывная в среднем квадратическом случайная функция, т. е. 1.! лп. Х' (г!) = Х' (!,о) и ! л лп. Х' (4о) = Х' ((,о). 6 !ю !.-!,. Используя лемму ! и условия непрерывности случайной функции, можно записать: 1!гп К ((„ !о) = 1 пп М [Х' (1!) Х' (го)1 = М [!.).гп. Х' ((!) Х' ((!)1 = ьо 6 !ю 6 !ю 6-!ю !, ! 6 гю = М [Х' (!!о) Х ((оо)[ = К Ао !оо).
Полученное равенство доказывает непрерывность корреляционной функции К((„!о) для непрерывной в среднем квадратическом случайной функции Х(!) при любых (! и („а значит, и при о!=!о. 1 5. Линейные операции иад случайными функциями.
Выясним, как преобразуются математические ожидания и корреляционные функции случайных функций при осуществлении над ними линейных операций. !. Сложение случайных функций. Возьмем две случайные функции Х (!) и г (1). Пусть известны моменты этих функций до второго порядка включительно: М[Х(!)), М[1 (1Ц, К„((„(,), К,(йо („), К„((,, (,). Найдем математическое ожидание случайной функции Я (!) = Х (!) + У (!).
(45) В силу линейности операции определения математического ожидания имеем М[Л (1)) = М[Х(1))+ М[У((Ц, (47) т. е. математическое ожидание суммы случайных функций равно сумме математических ожиданий этих случайных функций. '392 (52) Кг((ь Га) ~~'', ~~'', папгКх,х,((ь (а). (53) а=г! = г В частном случае для некоррелированных случайных функций Ха(Г) и Хг(Г) (й, 1=1, 2, ..., и) получим и Кг (Гь аа) =,Уг оаКха (аь га) ° (54) а-г 2. Дифференцирование случайных функций. Случайная функция У' (г) называется производной в среднем квадратическом от случайной функции Х'(г) по аргументу если существует предел !(гпМ~~ ( — У'(1)Ц=О, (55) т. е, ( вх (г) .
к'(г+а) — х'(г) вг =.(п Ь (56) 13 иаи Чаиоааиааа Б. Ки а. 2 Вычитая нз равенства (46) равенство (47), получим центрирован. ную случайную функцию г'(() =х'(г)+ у-(1). (48) Вычислим корреляционную функцию суммы случайных функ. ций Х(г)+У(1). По определению корреляционной функции имеем К,(гь г,)=м[2 (1,)г'(г,и=м[(х'(1,)+г(г,)) х Х (Х (га)+У'(га))1™[Х'((г) Х'(аа)1+ М[Х'(аг) 1" (гаЦ+ +М[Г(Г,) Х (1,)1+М[У" (1,,) У (Га))=Кх(гь Га)+ +КХу(1ь га)+КГХ((ь Га)+Ку(Гь Еа) (4й) Таким образом, корреляционная функция суммы двух случайных функций равна сумме всех корреляционных и взаимно-корреляционных функций этих ° случайных функций. По индукции можно ггоказать, что для линейной комбинации г'(а) случайных функций Ха(Г) и У(г) =,У, ааХа (г'), (50) в=1 где аа — неслучайные числа, справедливы равенства и М[г' (г)) = У', ааМ [Ха (1)1, (51) ь=г $ (г) =,У', ааХ» (1) Случайную функцию, для которой существует производная в среднем квадратическом, будем называть дифференцируелюй.
Выясним, каким условиям должна удовлетворять корреляционная функция случайной функции Х'(() для того, чтобы существовала ее производная (56). Теорема 2. Для того чтобы случайная функция Х'(() была дифференцируемой в среднем квадратическом, необходимо и достаточно, чтобы при (,=(, существовала вторая смешанная производная корреляционной функции д'К(ч, 4д~ (57) и, дц (ь=н' причем, если вта производная суи(ествует при (г=(„то она существует при всех (, и (,. В случае если выполнено условие дифференцируемости, корреляционная функция производной— лха (О й( = У'(() равна ~ Кх ((и (е) йц дц (55) а взаимная корреляционная функция процесса Х'(() и еео произ- водной — „= У (() равна лх «) Ххг((ь (з) = (59) Доказательство.
Для того чтобы существовал предел !Ллп.— = „= У ((), х.«+ь) х «) лх.(О в силу леммы 2 необходимо и достаточно, чтобы при независимом стремлении Ь-эО и й'-+.О существовал предел ~ х «+а> — х (О~~х «+и ) — х (О)~ Ь а х в м(х.«+л)х «+пц) — м(х «+ь)х.(О)— — м(х.«)х «+а))+м((х «И ы о к«+а, (+яц — к«+ь, 0 — к«.
!+ь')+к(ц Π— Вгп ' п~,, ь о д% «о ц)( ° бй дй Пусть зто условие выполнено. Найдем корреляционную функцию производной случайной функции Х'((). Имеем На основании леммы 1 можно изменить порядок операций пре. дельного перехода и определения математического ожидания, в результате получим Кг (ол (а) = ! . Х.(,+ т.+ )- х(т,+а .)- х(т, .+ )+Дх((,.Ы й х 1 ' а х 1 ' а х н а л о а-о "т(»(то ~а) дто аиа причем эта производная существует при всех аа и [а. Аналогично имеем ((„[,) = М~Х'([,) дХ" (")~ = = Ь'. ('"'" "'"" '"">1= [Х'(й) Х" (Ц+й') — Х'(та)[Х~(т Ц а' Хх(тл та+а) Хх(тн та) дкх(тн та) Е Вхнахнахнайй Пусть производная случайной функции в среднем квадратическом существует: их (0 . Х(т+а) — х «) о = 1 [.тп. (60) К выражению (60) применим операцию определения математиче- ского ожидания.
Используя равенство (40), получим дх (т)1 М [1 . х (т+Й) — х (т)1 1. М [х(т+ь) — х (т)~ М[ — 1= [.[.щ. "= пп м [х ((+ь)] — м [х (т)1 д д»'х «0 = 1пп = — М[Х (ти — х дт (61) ах (т) . х (т+а) — х (0 (62) Корреляционная функция производной случайной функции и взаимная.
корреляционная функция между случайной функцией и ее произнодной вычислятотся по формулам (68) н (69). Из этих 395 где тх (() = М [Х (~)). Такилт образом, если выполнены условия теоремы 2, то математическое ожидание производной случайной функции равно производной от математического ожидания этой функции. Вычитая почленно равенство (61) из равенства (60), получим равенств но индукции можно показать справедливость соотношения в»»»»>< (! ! ) Ххчч х' '((ь (ь) = о!» у» ! Я где Х<"> (1) и Х'"'> (!) — соответственно и-я и т-я производные в среднем квадратическом случайной функции Х (!).
Согласно теореме 2, существование производных корреляционной функции является условием дифференцируемости случайной функции Х (1). 3, Интегрирование случайной функции. Пусть заданы случайная функция Х(т) и неслучайная функция д(г, т), где параметр т изменяется в интервале (а, Ь).
Разобьем интервал (а, Ь) точками т,=а, т„..., т„=Ь на и частей и составим сумму ~' Х'(т!)й(1, т!)(т,— ть,); (64) значение т! выбрано произвольно в промежутке т,, ( т, (т!. Рассмотрим предел в среднем квадратическом суммы (64) при и-»- -~со и <пах~т,— ть,)-+О 11.<п. ~', Х'(т!)й(1, т,) (т! — т<,). »»» 1»ах к»! 0 г =~ Х'(т)д(г, т) йь= 11.<п.
~ Х (т)д(1, т )Ать, (66) а »»» ю»ех Ьч ь Теорема 3, Для того чтобы случайная функция Х((, т) была интегрируемой в среднем квадратическом, необходимо и достаточно, чтобы су<цествовал интеграл ьь ) $К(т, ч)а(1, т)й(1, ч)йтйи. »а (66) Доказательство. Рассмотрим случайные величины Уй и )~м аида )'м= ~~, 'Х'(ть)д(1, тл) (ть — ть >) и Ум = У', Х' (ч!)д(г, ч!) >< ь=! ! ! Х (ч! — чья). Если этот предел существует, то он называется интегралом от случайной функции Х' (1) в среднем квадратическом с весом й(1, т) и обозначается Согласно лемме 2, для того чтобы случайная последовательность 1'м имела предел при 1У-в-со, необходимо н достаточно, чтобы 1пп М[УмУм1 =а(со, М со Найдем этот предел: м~т тх'~ Ьх'( )х(С ~)х», )а а М»=, г=а 1пп В со М со свах Ьхм Ьа~ а и м '~, ''У, 'М(Х (т») Х (т,)) д(1, т»)д(~, т,) Ат» Ач,1 = 1пп М со М -а'со асах Ьс», Ьа а ;),';), 'К (т».
т) а(1. т»)а(~, т ) ит» ъ< = »=сг=а !пп амх»х», Ьа а ь» = ~ ~ К(т, т)д(1, т)д(1, т) с(т с(а», а а где Лт»=т» — т» „Ьт,=т,— т,, ° Если в интеграле (65) верхний предел переменный, то в результате интегрирования получается случайная функция У'(1) = ~ Х' (т) д(1, т) от, (67) Очевидно, что все выводы предыдущей теоремы справедливы и для случайной функции У Я,.т. е. для того, чтобы существовал интеграл, необходимо и достаточно существование выражения Св св с )~К(т, т)д"((х, т)д(1», т) Жс(т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
