Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 63

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 63)

(16) Частота (сгатистическая вероятность) числа успехов в и испытаниях равна ., х„у +и +...+у„ (17) п Л Нетрудно проверить, что все условия теоремы Чебышева для случайных величин )'„выполнены, поэтому из равенства (!3) получим Р()Р„'— р(» е)=Р(~ — ' — р~)е)(' „,с' =ф=б. !а) (18) 4. Виды сходимости случайных последовательностей. Говорят, что последовательность случайных величин Х„Х», „., Х„стре- мится к случайной величине Х почти наверно (п. н.) ил и с вероятностью единица, если вероятность того, что существует предел последовательности Х„Х,, ..., Х„равный Х, есть единица, т. е. Р (1 пп Х, = Х) = 1.

л ю (19) В этом случае записывают )пп Х„=Х(п. н.), или Х„"'" Х, (20) Заметим, что из теоремы Бернулли не следует, что частота случайной величины Х„стремится к ее вероятности, так как пх эта теорема утверждает, что Р!~ —" — р ~~ а)~б при и~ У, или а 1пп Р(г) — „" — р~) е)=0, т. е. 1йп РД вЂ” „" — р~(е) =1, а что не эквивалентно условию (19). В теории вероятностей вводится еще один вид сходимости — сходимость по веррятности. Последовательность случайных величин Х,, Х„... сходится к случайной величине Х по вероятности, если для любых положительных чисел е и б существует число Ф, зависягцее от е и б, такое, что прн п ) Лг справедливо неравенство (21) Р(~Մ— Х!) е)(б или 1!гп Р()Մ— Х',)а)=0, т.

е. 1!гп Р()Մ— Х!<а)=1. (22) й со Ф Л ЕО Условно сходимость по вероятности записывают в виде Игп Х„~ Х, ~3 СО (23) или Х, ~ Х. (24) Ищ !И[!Մ— Х!'1=0, (25) т. е. для любого положительного числа е найдется число Л/, зависящее от е, такое, что при а) Лг выполняетси неравенство й4 (, 'Մ— Х !г) ( а, (26), 379 Наконец, в ряде случаев целесообразно ввести еще один вид сходиьюстн — сходимость в среднем квадратическом. Последовательность случайных величин Х„Х„...

сходится к случайной величине Х в среднем квадратическом, если Условно такую сходимость записывают в виде Х=13лп. Х„*'. и «и (27) Можно показать, что сходимость почти наверно и сходимость в среднем квадратическом влекут за собой и сходимость по вероятности. 5. Теорема Муавра †Лапла. В 5 60 была введена случайная величина Хи, равная числу успехов при и испытаниях Бернулли с вероятностями успеха р неудачи д.

Эта случайная величина названа распределенной по биномиальиому закону. Характеристическая функция такой случайной величины вычислена выше в 5 63 и имеет вид а (1) = (ре""+ у)". (29) Рассмотрим случайную величину Р,* = — ". Эта случайная вели- и чина есть частота (статистическая вероятность) успеха, вероят.

ность которого равна р. Введем новую случайную величину г'„: Р~ — р Хи — ггл л (30) и назовем ее нормированной частотой. Вычислим характеристическуго функцию случайной величины У„. Из свойства 4 характеристической функции имеем рУи« ~ и — у= ! !— огиЯ=е Уии гре Уии«+у) =[еУи«" грети«+1 рг~~ (31) Изучим свойства случайной величины К„в предельном случае, когда число испытаний гг неограниченно возрастает. Теорема 3. При неограниченном увеличении числа независимых «ель«наний с одинаковой вероятностью ус!гека предельным распределением норма рованной частоты 1'и = Մ— ройI руп является нормальное распределение.

До к а з а тел ьст во. Вычислим характеристическую функцию случайной величины У, при и-г-со. Для этою разложим *' Сбозкв«ение !.глп. составлено вз первых букв слов «!влез гп пгебгоь иго в переводе озне«ает «предел в средкеми. Приведем без доказательства критерий сходимости последовательности Хи к Х в среднем квадратическом. Для люго чтобы существовал ггредел в среднем квадратическом 127), необходимо и достаточно, чтобы существовало число г«г ) 0 такое, что для любых и) Ф и т) г«г выполнялось неравенство ! «И(!Хи — Х !в)(е.

(28) В ряд Тейлора в окрестности нуля экспоненциальные функции- в выражении (31): дг„(() = ~(1 — г»' — »" + о (-'-)) ~1+ )»' — — "+о ~ — 'Д' В полученном равенстве перейдем к пределу при и со, тогда и Вгп лг„(П= 1пп (1 — — +о( — „)) =е Сравнивая найденный результат с выражением (24) 9 63, видим, что характеристическая функция случайной величины г'„при и -ь оз совпадаег с характеристической функцией нормально распределенной случайной величины с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. ° Вычислим матезиатическое ожидание н дисперсию случаииой величины — частоты успеха Р„"= —" в п испытаниях Бернулли.

Воспользовавшись соотношениями (16) и (16) 9 63, получим )И(Х„) = — )гг' (О) = пр, .е) [Х„)= — й" (О) +(д' (О))' = при. 1 Отсюда, используя свойства 2 9 62 математического ожидания и дисперсии и учитывая, что Рз = †", найдем: л 1 Из этих равенств и теоремы Муавра — Лапласа следует, что частота успеха при неограниченном числе независимых испытаний стремится к нормально распределенной случайной величине с математическим ожиданием р и дисперсией ). Этот результат л' имеет важное практическое значение, так как позволяет оценить надежность оценки вероятности, получаемой экспериментально. Поясним это на примере. Пример 1. Производится (00 бросаний монеты, требуется определять интервал значений частоты выпадений герба, возможнык с вероятностью 0,95. Согласно теореме Муавра †Лапла приближенно частоту выпадений герба можно считать нормально распределенной случайной величиной с дясперсией )з=»Ч)л=0,5 ° 0,5Л00=0,0025.

Искомую вероятность вычнслнм с помощью функции Лапласа (25) 1 60; ) Р 0 Рь — ») ~е)=йФ ~ — )=2(р ( — =0,95. П '(о) По таблице функции Лапласа имеем е/0,05= ),96, откуда е=0,098 — О,1. Таким образом, искомая частота выпадений герба с вероятностью 95 будет зряннмать значения в янтервале 0,4 — 0,6. т'лава т(Х ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ й вв. коввпляцнонндя твовия случдйных функций Е Понятие случайной функции.

При изучении ряда явлений природы приходится наблюдать процессы, характеризуемые функциями, которые в зависимости от исхода опыта принимают различный вид. Этими функциями могут быть, например, траектории частиц в броуновском движении, профиль дороги, сигнал на выходе радиоприемника под воздействием помех и т. д„ Такие функции называют случайными. В задачах теории автоматического регулирования случайными функциями являются, например„функции, характеризующие воздействие порывов ветра на летательный аппарат, влияние колебаний корпуса корабля на стабилизированную антенну радиолокатора, помехи в радиотехнических устройствах и т. п.

Указать заранее на то, какой вид примет случайная функция и данном опыте, невозможно, однако закономерности, присущие множеству значений, принимаемых случайной функцией, как закономерности массового явления можно изучить. Случайная функция, как и случайная величина, принимает различные значения в зависимости от исхода опыта ы — элементарного события, кроме того, случайная функция зависит от некоторого неслучайного параметра г„ например времени. Таким образом, сличайной функцией называется случайная величина, зависящая от параметра т, т. е.

Х (г, вт). Если параметр г — время, то случайную функцию называют случайным процессом. Если зафиксировать элементарное событие м = «т„ то Х (г, таз) будет неслучайной функцией аргумента Е Конкретный вид случайной функции при фиксированном тв, т. е. в данном опыте, называется реализацией случайной функции. На рис. 207 показаны реализации случайной функции Х (г, ы) при от= втм вт=ь„ ..., тв=вт„. Если зафиксировать параметр случайной функции Е т. е.

рассмотреть сечение этой случайной функции при )=Гы то она будет зависеть только от элементарного события и, следовательно, станет случайной величиной Х(Гм от). Рассмотрим й сечений случайной функции Х (т„тв), Х (г„м),..., Х(гм щ), в результате получим й-мерную случайную величину, которая соответствуег случайной функции Х (г, «т). Случайную функцию можно приближенно рассматривать как многомерную случайную величину. Многомерная случайная величина характеризуется многомерной функциен распределения вероятностей, поэтому и случайная функция Х (1, ы) будет характеризоваться многомерной функцией распределения вероятнастей.

При дальнейшем изложении аргумент случайной функции тз для краткости будем опускать, 2. Основные характеристики случайной функции. Чтобы полностью задать случайную функцию Х (г), надо знать все л-мерные функции распределения: Г„(х» хм ..., х„; (» 1з,..., 1„). которые зависят от п переменных х» х,...., х„и л значений или плотности распределения вероятностей Г„(х» хм ° ° хь Г» гм ° ° ° ~ Гл).

По известной л-мерной функции распределения вероятностей всегда можно найти функции распределения меньшей размерности.' Однако на практике обычно не известны функции распределения высокой размерности, поэтому в ряде случаев ограничиваются заданием только двумерных функций распределения (плотностей распределения) вероятностей. Рис. зв7 Важными характеристиками случайных величин являются моменты. Естественно применить понятие моментов и для описания случайных функций.

Если известна двумерная функция распределения или 'плотность распределения вероятностей случайной функции, то всегда можно вычислить моменты случзйной функции до второго порядка включительно. Такими моментами являклся математическое ожидание М]Х(Е)]= $ х~,(х, 7)йх=тх((), дисперсия ,0 (Х (7)] = ') (х — ьтх (()]' ~, (х, () г(х = 0х (8) (2) и коррелящюнцый момент Кх((~ (~)= )И(Х'(7,) Х'(1,)]= (х1 'пх (~ь)) (хз глх И2)) Й (х» хзг ~» ~з) ~(х1 ~(хм (3) где 3 х (г)=х(г) — м(х(г)) (4) — центрированная случайная функция.

Если параметру ( придавать все возможные значения, то математическое ожидание (1) и дисперсия (2) случайной функции будут функциями одной переменной г', а корреляционный момент (3) †«функцией двух переменных (, и (,. Корреляционный момент Кх(гь ~,) называется корреляционной функцией случайной функции Х(1). Математическое ожидание представляет собой среднее значение случайной функции Х (~) (рис.

Характеристики

Список файлов книги