Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Для того чтобы воспользоваться принципом аргумента, положим Л=е' . При изменении и в пределах — п(а«=п мы получим окружность единичного радиуса в плоскости комплексного переменного Л. Заменяя переменную в характеристическом много- члене (4) по формуле Л=е~'", будем иметь О(еl") = ЬоеЧ" +Ь,ем — 'и'"+...+Ь„,е) +Ь„. (12) Теперь можно построить годограф вектора 0(ег") и применить условие (11).
Поскольку справедливо равенство 0 (е — ~ ) =0(еио), годограф вектора О (е/") при значениях — и (а «= и симметричен относительно гещественной оси. Поэтому достаточно построить только половину годографа при значениях аргумента и, изменяющихся от О до и. Заметим, что годограф 0(е~"') принимает вещественные значения при а=О и при и=я: Р О (ег'") (- =о = 'У', Ьй 0 (ег") ~ =,У', ( — 1)'-' Ьь о=о 1а и К=о Принцип аргумента целесообразно сформулировать следующим образом: число Й корней многочлена 0(Л), леясаи1их внутри едиг пичной окружности, равно —, где г — число квадрантов, обходи- 2' мых последоватлгльно в положительном направлении годографом Р (ег") при изменении переменной и от О до ги й агй О (е~") = яЖ = -'- п (О == а ~ п).
Из принципа аргумента следует критерий асимптотической, устойчивости: для того чтобы многочлен О(Л) степени А имел все корни строго внутри единичного круга, еобходимо и достаточно, чтобы годограф Р(еГ") при изменении м от О до я обхо- дил 1послвдовательно в положительном направлении 2А кводрантов, т. е. / ц агат) (е/й) = пА=2А2 (Ом-/в~. ). (13) Примеры годографов, удовлетворяющих этому условию при А = 1, 2, 3, показаны на рис. 175, а. На рис. 175, б изображен годограф, котойый при А =- 3 названному условию не удовлетворяет.
Миогочлен, соответствующий этому годографу, имеет один корень, лежащий вне окружности ) Х ~ = 1, поскольку для него /т агцВ(е/ ) =4- =2п 2 (О~/а~ и), ы=в '/ьг/ и, следовательно, число корней, лежащих внутри еди- в пичного круга, равно й/=2. Прежде чем приступать к построению годографов В (е/"), надо проверить необходимые условия, при которых все корни характеристического многочлеиа лежат Рис. 175 внутри единичного круга. Зги условия следуют из принципа аргумента и имеют следующий вид: В(е/")~„=охВ(е/'") )„- „(Π— для нечетного А; (14) В (е/ ) 1/а =о х В (е/") ~ „) 0 — для четного А. Если условия (14) не выполнены, то многочлен В(Ц заведомо имеет по крайней мере один корень вне единичной окружности. Если же условия (14) соблюдаются, то следует восполь= зоааться необходимым и достаточным условием (13).
Рассмотренный критерий устойчивости импульсных систем автоматического регулирования аналогичен критерию Михайлова в теории непрерывных систем автоматического регулирования (см. 5 40). Иногда для исследования устойчивости импульсных систем целесообразно применить теорему Руше (п.
3 й ЗЗ), которая также основана на принципе аргумента. Разделим характеристический многочлен ВЯ на два слагаемых В Я= Р (Х)+ 6 (/) таким образом, чтобы на единичной окружности !Х) =1 выполнялось неравенство (Г(Х) () !6(Х) ~. Положим ((у (г), е) = Р*(д, е) (16) где Р*(д, е) и Яа (д) — многочлены от еч степени 1 и А соответ- ственно (1~1), тогда получим Фа(д, е)= (17) где Ва (д) =Да (г))+Ра (г), О). Функция .0а(д) является много- членом относительно переменной еч.
Вводя обозначение Л=вч, можно записать: В (и) (ь — ее =И (Л) ЬеЛ + Ь!Л +...+ Ьа. тЛ+Ь», (18) Многочлен Я(Л) является характеристическим многочленом для разностного уравнения порядка Ь, описывающего импульсную систему. Рассмотрим критерий устойчивости импульсных систем, аналогичный критерию Найквиста в теории непрерывных систем автоматического регулирования (см. 2 40). Этот критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой импульсной системы по годографу амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы. Положим в выражении передаточной функции разомкнутой импульсной системы Л=еч, е=0 и введем обозна- чение Р',- (Л) (Ру(Л) =,' ), (19) В соответствии с теоремой Руше число корней многочлена Л)(Л) внутри единичной окружности равно числу корней внутри этой окружности многочлена Г (Л).
Пример 4. Онределитгь сколько корней многочлена 0(Л) лежит внутри единичной окружности: а) 0 (Л)=10)У+ЗЛ+1; б) 0 (Л)=Ла+4Лт — Л+1. а) Полсииим и (Л)= 1О).а, С(Л)=ЗЛ+1, тогда ори /Л )=1 ) Р (Ц / = 1О, ) С (Л) ! ( 3 ! Л 1+ 1 = 4. т. е. !Р(л))1с(л)|. по теореме Ругве, внутри единичного нруга лежат оба корня многочлена 0(Л). б) Выберем в атом случае г" (Л)=4Ла — Л, С(Л)=Ли+1. На единичной окружности ! г" (Л) ( = ( 4Ла — Л ( ~ ~ 4 ( 1, 1т — ! Л ! ( = 3, ! С (Л) ( ( ( Л (а+ 1 = 2. Таиим образом, (Л(Л)())С(Л)Ь Многочлен 0(Л) имеет внутри единичной окружности стольио же корней, сколько многочлен г" (Л), т.
е. два корня. 4. Критерий Найивиста. Рассмотрим замкнутую. импульсную систему (см. риЧ. 165), содержащую импульсный элемент в цепи ошибки. Обозначим передаточную функцию разомкнутой импульсной системы через (Ра (г), е). Передаточная функция замкнутой системы определяется формулой (16) 4 56: Ф (Ч е) 1 ) ((гч(о)' ЯГ ч (о, е) (15) где Р1(Л)=Р*(У, 0)|х=,ч, !',!1(Л)=~'"(У)~х,о. ПРеобРазУем зто выражение следующим образом: Рй (Л)+Ой (ЛУ вЂ” О; <Л) О; (Л! Е(Л) С (Л) Воспользуемся теперь принципом аргумента. Найдем приращение аргумента вектора 1+ !РТ (Л), когда переменная л совершает однократный обход единичной окружности ! Л ~ =1 в положительном направлении: Л ага(1+ Ю1(Л)) =-Ь агн01 (Л) — Л агйЯ(Л) (21) (!Л~ =1, — п(агц Л~п), Пусть передаточная функция разомкнутой импульсной системы ЯГь(о) имеет т полюсов в правой полуплоскости.
Тогда функция %7(Л) имеет т полюсов вне единичного круга. Согласно принципу аргумента получим Ьагд~я(Л)=2п(й — 'т) ((Л)=1, — п(агдЛ-=и). (22) Пусть замкнутая система устойчива. Тогда все корни характеристического многочлена 01(Л) лежат внутри единичного круга. Учитывая, что порядок многочлена 01 (Л) совпадает с порядком многочлена !г1(Л), будем иметь Ьагй01(Л)=2пй ()Л(=1, — п(агйЛ(п). (23) Подставляя (22) и (23) в уравнение (21), найдем й агу(1+ %7 (Л)) = ваяй — 2п (й — т) =2пт (24) () Л(=1, — п(агпЛ =и). Получено условие устойчивости замкнутой импульсной системы.
Полагая Л=ег", перепишем последнее условие в окончательном виде: йагд(1+!Р ()а))=2пт ( — п(н =и). (25) Поскольку справедливо условие (Р'* ( — )я) = (Р'* ()и), то годограф вектора )ч'ь ()а) симметричен относительно вещественной оси. Таким образом, достаточно построить только половину этого годографа и применить полученное условие устойчивости при О~в-=и а агд (1+ 'й7* (йь)) = пт (О ( я ( и).
(26) Переходя от вспомогательной функции 1+%"" ()ы) к годографу амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой импульсной системы кг* (пь), можно сформулировать условие устойчивости (26) следующим образом: для того чтобы замкнутая импульсная система была асимптотически устойчиеа, необходимо и достаточно, чтобы годограф !Р'* ()а) при изменении зо1 переменной 65 в пределах от О до ц обходил точку ( — 1, )О) последовательно в положительном направлении — раз, где т — число 2 полтосов передаточной функции разомкнутой системы йуе (о), расположенных в правой полуполосе (Ке д ) О, 1щ УУ "(уев — п(1гпд(п).
Если, в частности, разомкнутая система устойчива, то т = О. т=1 В этом слу чае замкнутая импульсная система устойчива, если годограф "г 1У Ф) (Ре ()Лй) НЕ ОХВатЫВаЕт точку ( — 1; 10) при изт=в менении 67 от О до и. Примеры года графов Ке ()а) устойчивых систем при различных Рис. 176 значениях числа т при- ведены на рис. 176. Пример 5. Найти условие устойчивости замкнутой импульсной системы (см. рис. 165). Модуляция осуществляется с помощью последовательности арямоугольных импульсов шириной уТ(7 ~1). Передаточная функция непре- 1 рьшнои части равна йт„т(з) = / Т,а+1 ' Рис.
177 Передаточная функция разомкнутой импульсной системы описывается формулами (23) й 56. В частности, при в=О еч — е ро т~ е Р(ейт — 1) (р'е (д) 1 ее — е й еч — еР Т где р= —, т,' Построим годограф амплитудно-фазовой частотной характеристики Яг" ()в) =е Р (евт 1), О «в «гс 1 (27) е'" — е Это полуокружностзь распеложенная в нижвей полуилоскости (рис. 177).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
