Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Применим теперь Ы-преобразование для того, чтобы определить реакцию импульсной системы с передаточной грункцией Фе(г[, е) на гармоническое воздействие д[п) = А, соз (ег,п+ гр). Сначала найдем реакцию системы г [п, е) на воздействие Цп1= Ага!(е.а+о), а затем рассмотрим вещественную часть х[п, е[=!чег[п, е[ полученного выражения, которая и определяет реакцию системы на Сэ(е)=х [О, е[=( С,(е)=х[1, е[=( Сэ(е)=х [2, е[=( т«э«1, 0«э«т, т «е «1. О~э «у. у«е«1, 0«е«т; у«е«1, 0«е «пд у«е«1, 0«е«т. воздействие й[п]=Ке~[п]. Изображение входного определим по формуле (8) 9 52: Е» (д) — М (дА е/(»+а)] — А е)а ер ер — ет»' В соответствии с формулой (24) $52 получим г [и, е]=Я д]Ф» (д), з) АдФ'- ер ер — еле' ер» = Аде)'Р «~ Кез Ф* (д, е) ер — е'»' »=О воздействия (68) (69) Вычеты в полюсах функции Ф* (д, е) определяются по формуле (25) 9 52; в простых полюсах д), р» 1 р»(а р] 1(ез Фе (д, е) ~ = 1пп Фе (д, е) еа — е)~' 1а-р р а, ее — е)а» Р" (р», е) р де (еа) 1еаа — е ~7 (71) в полюсах кратности г, д(езФ»(д, е) еа — ед"~ 1а-а„ вЂ” 1пп,, ~Ф (~7, е)(еа — еар)' .
(72) (ер ))) а ар д)е Вводя обозначения Не (д) ад ) = еа — е)»' с",'(м д)ерд 1а а ' (73) (74) и проводя те же рассуждения, что и при выводе равенства (59), получим р гй р„,< -о п ер КезФ»(д, з) ~ = ~ С, д д(з)„з) и( 1,, (75) е. е~..1рар до Здесь вычеты берутся в полюсах д„..., д» передаточной функции импульсной системы Фе(д, з) и в точке др=)з)д. Будем предполагать, что функция Фе(д, з) не имеет полюсов на мнимой осн плоскости комплексного переменного д. Тогда вычет в точке де=)дз, Равен ' КезФ»(д, е) ! =Фа(гедд, е)е)»"..
(70) /йд ер — е ' 1р=)а» В частности, для простого полюса д, Сч (и е) — Р* (Е Я~ (оч) (е ~ — е'"') Выражение, определяющее реакцию импульсной системы на воздействие г[п], можно записать следующим образом: г [п, е] = А ге~ (" "+ 'дФ* ()вь е) + ь ч и еч +А,е~ч,~) «~ С',, 1 с(ым в) ...,, . (77) ч=~ Ю-О В частности, если все полюсы функции Фь (о, е) простые, то г[п, е]=А,ег(""+ч)Фь(Уым е)+А,Ф' ~ С~(аи е)еч'". (78) Если действительные части всех полюсов д, отрицательны, то второе слагаемое в выражении (77) будет стремиться к нулю с течением времени, а первое слагаемое будет характеризовать установившийся процесс в системе: е„[п, е]=А,е1(ел+ч) Ф*()ыь е). (79) Рассматривая действительную часть комплексной решетчатой функции г[п, е], определим реакцию импульсной системы х[п, е] на заданное гармоническое воздействие.
В частности, для установившегося процесса в импульсной системе получим выражение х„[п, е]= Кее„[п„е] =А,) Ф*(угьм е) ~ сов(ы,а+щ+ агйФ* Дии е)). (80) Функция Ф*()ы, е), равная передаточной функции Ф*(д, е) при д=)а, называется амплитудночразоеой частотной характеристикой импульсной системы. Физический смысл амплитуднофазовой частотной характеристики виден из формулы (80). Модуль втой характеристики определяет изменение амплитуды гармонического воздействия й[п] = А, соз(ы,п+~р) при прохождении через импульсную систему, а ее аргумент определяет изменение фазы приложенного гармонического воздействия.
Таким образом, амплитудно-фазовая частотная характеристика импульсной системы имеет тот же физический смысл, что и амплитудно-фазовая частотная характеристика непрерывной системы Я 39). В отличие от частотных характеристик непрерывных систем частотные характеристики импульсных систем являются периодическими функциями с периодом 2п, что следует из периодичности изображений: Ф*(1я„е)=ФьЦОз+2пг), е) (с=0, ь 1, +-2, ...). (81) Позтому частотная характеристика Ф*(уы, е) полностью определяется своими значениями в интервале шириной 2п.
Будем, как и выше, рассматривать интервал, лежащий в основной полосе — п(а(п. Импульсная система в отличие от непрерывной описывается семейством частотных характеристик Ф* ()б), е) при 0(е 1, однако в ряде случаев достаточно знать частотную характеристику при значении е =О. При исследовании импульсных систем применяются годографы ЧаСтОтНЫХ ХаРаКтЕрИСтИК Фз (/б), Е). Пример 7. Построить годограф амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой импульсной системы (см.
рис. 158). В системе осуществляется модуляция входного сигнала с помощью последовательности кратковременных импульсов, причем Ныполияется условие (11) $51). Непрерывная часть системы представляет собой апериодическое звена с передаточной функцией (Р'аг (з) = 1 'Г,а+ 1 Передаточная функция рассматриваемой импульсной системы, полученная в примере 1, равна (Рь (о, е)= А е Рз, г'г ег — е Р Т где А — постоянный коэффициент; 5 "—. Полагая о=)й, определим ампли- т, тудно-фааоиую частотную характеристику импульсной системы: еум (Р * ((ю, е) =А е Рз.
е)а — е Р Построим годограф полученной частотной характеристики при з=О. Выраже- Аелз ние йг*()тз)= определяет отображение единичной окружности г=е)й еда — е Р ( — и( в(м) с помощью дробно-линейной функции йг! (г)= Р. Навесив г — е Р' (см. $ 2о5). что дробно-линейная функция отображает окружность либо в окружность, либо в прямую. Прял~ая получается в том случае, когда полюс г=е Р з гл=гг й-а негг Ой) функции РП (г) лежит на отображаемой гг (!го) окружности, илн, что то же самое, точка о= — () лежит на мнимой оси. Поскольку р — положительное вещественное число, то функция йгу(г) отобра- Рис.
171 жает окружность в окружность. По формуле (31) й 52 имеем (Рь ((ю) = От* ( — !гз) Из этого равенства следует, что при изменении знака у аргумента ез действительная часп, функции йгь (!й) остается без изменения, а мнимая часп, меняет знак, т. е. годограф функции )Рь (!ы) симметричен относительно вещественной оси. Поэтому обычно строят только половину этого годографа при 0(ы(п. При а 0 и а=п частотная характеристика 27* (!ы) всегда принимает действительные значения. что следует иэ формулы,9:преобразования (1) б 52, В рассматриваемом примере А, А )р*()о)- —, )р О )= —. 1 — е Р ' 1-1-е Р Таким образом, годограф йуь ()ы) является окружностью (рис. 171) с центром, )рь (!0)+ К* ((п) А расположенным на вещестаенаой оси а точке с= 2 1 — еар 255 При построении годографов амплитудно-фазовых частотных характеристик разомкнутых импульсных систем можно воспользоваться соответствием между амплитудно-фазовыми частотпымн характеристиками импульсной системы и приведенной непрерывной части.
Это соответствие задается формулой прямого Ф-преобразования при д=)в (см. формулу (7) 9 54): 1г"*()в, е) = ) ', *го" (/(в+2пг)) и" ("+вн). (82) о= — со Можно также использовать формулу (9) $ 54, в которую войдет амплитудно-фазовая частотная характеристика приведенной непрерывной части в обычном масштабе частоты в: 1(го ЦвТ, е) = — У 11'з (г (в+ лоо)) еоглм+'ои (83)- т ь Если известны действительная и мнимая части частотной характеристики приведенной непрерывной части, то целесообразно применить следующие формулы, которые вытекают из равенства (83): Ке 1(Го ()вТ, е) = — ~~~~~ Ке (Рз (1 (в+лоо)) е'гн"+'" 1 о = — со 1т И"*((вТ, з) = — т 1т (Рз(((в+гво))е'гл"+'"1 1 (84) (85) В частности, при е=О получим озс 1 Кегу" ((вТ)=т- Х Ке(Р.(1( +ло)).
— со 1т )Р* ((вТ) = — ~~1 1гп ЯГз (1 (в+ гво)). (86) (87) "' См. замечание но с. 2об. Таким образом, для определения частотных характеристик импульсной системы Ке (о'о(/вТ) и !т Я7о ОвТ) достаточно просуммировать соответствующие частотные характеристики приведенной непрерывной части КеВ'з(/в) и 1тЯГз()в), смещенные на лоо (г=О, + 1, + 2 ...). На рис. 172, а изображены частотные характеристики Ке(г"о()вТ) и 1пз Уг*(!вТ) импульсной системы, построенные в соответствии с формулами (86) и (87) по частотным характеристикам приведенной непрерывной части Ке ((тз()в) и 1гп В"з(1в), изображенным на рис.
172, б. Зная вещественную и мнимую части функции 1)то (у1в, е), можно построить годограф аьшлитудно-фазоьой частотной харак- тсрнСГИКИ, а таКжЕ аМПЛИтудНО-ЧаетстНуЮ ~ УГто Оа, и) ~ И фаЗО- частотную ага В"" (/1в, и) характеристики импульсной системы. Заметим, что при увели- чении частоты повторения 2и сои=-- частотные характери=т стики разомкнутой импульсной системы в интервале соо ооо частот — — < со ( — — прибли- 2 2 жаются к частотным характеристикам приведенной непрерывной части. Предположим, чта с достаточной для Рис.
173 Рис !72 практики точностью можно считать, что частотная характеристика приведенной непрерывной части обращается в ноль начиная с некоторой частоты со„т. е. ~ К,((со) ! = О при ) со!) со,. (88) Выберем частоту повторения соо из условия гоо~2со,. На рис. 173 паказаног что в атом случае частотные характеристики разомкнутой импульсной системы совпадают на интервале частот ~со1( ( соо — со, с частотными характеристиками приведенной непре- 1 рывной части с точностью до постоянного коэффициента Глава ХЧШ УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ " РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ й 57.
УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 1. Основные теоремы об устойчивости решений систем линейных разностных уравнений. Понятие устойчивости по Ляпунову решений разностных уравнений вводится по аналогии с понятием устойчивости решений дифференциальных уравнений. Для разностных уравнений можно доказать те же основные теоремы об устойчивости, которые справедливы для дифференциальных уравнений. Методы исследования устойчивости, которые были рассмотрены в гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
