Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 43
Текст из файла (страница 43)
До к а з а те л ь с т во. Определим У-преобразование функции Р(д-+.л) по формуле (4) 3 54: ' ,У(Р(д+ Л)) =,5", еИ+'пУ >иР(д + Х+2п(г). т -сО Умножив и разделив правую часть этого равенства на е — ье, получим: Ю (Р (д -+. Ц)) = д~~ ей+ епр — "м' и Р (д -+. ),+ 2п(г) е т = — со =Ре(ц+ Х, г)е ', что совпадает с формулой (5). И 3. Умножение изображений. Рассмотрим теорему об умножении изображения по Лапласу на изображение в смысле дискретного преобразования Лапласа.
Теорема 4. Умножение изображения по Лапласу Рт(а) на изображение Р, (ц, е) соответствует умножению изображений Р) (д, е) и Ре(д, е), т.е. 'УР(Р ЫРи(ц е)) =Р((Ъ е)Р~(у. г). где Рт* (д, г) =' -'3' (Рт (д)). Доказательство. По формуле прямого Ы-преобразования (4) $ 54 получим: !У (Р,(а) Р,* (а, г)) =,У, Рт(а+ 2пгг) Р," (в+2пр, г] е(ееепУде Г -ОР 2бЗ Функция Рос (17, е) является периодической относительно аргумента о, Е;(у+2п!г, е) =РС" (о, е).
Отсюда следует, что Ю (Р1(17) Ровс(д, е)) =Рво(у, е) )~ Рс(о+2н)г) е!вс™гг!в= г= — со = Рв (о, е) Р1*(17, е). Е Перейдем к теореме об умножении изображений по Лапласу. Теорема 5. Умножение изображений по Лапласу Р,(д) и Рв(д) соответствует свертке изображений Р7(о, е) и Рв (д, е) относительно параметра е в соответствии с у1ормулой е ву(Р (у) Рв(уН=~РС (у е — )Л(у )йт+ о 1 +е-в ') РСО (д, !+ в — т) Р,' (д, т) йт, (7) гдЕ Р7(О, Е)=~(РС(у)). Рв (17, Е) =бр (Рв(17)). Д о к а з а те л ь с т в о.
Воспользуемся основным соотношением (4) ~ 54: ~ (Р, (с?) Р,(Ч)) = ~ч~ е!в""р!'Р,(д+2я/г) Р, (17+2п)г). г= — со Теперь выразим функцию Р,(д) через ссютветствующее изображение Рос(д, е) по формуле обратного Ю-преобразования (5) з 54: СО 1 .У (Р,(17) Р,(д)) = ~ е!в+!в!г!с Р,(о+2п1г) ~Рос(д+2п)г, т) х г — со о ! СО х е-!в~'~р!'йт = ~ Р1'(д, т) ~ е<в+'"гг!! '> Р, (у+2п)г) сЬ.
о г= — со В последнем выражении разность е — т может быть как положительной, так и отрицателыюй. Для того чтобы воспользоваться в последнем случае формулой йу-преобразования, разобьем полученный интеграл на сумму двух интегралов, причем второй умножим и разделим на ев: 1 СО ) Ро (д, т) )~ в!в+миг!! о!Р! (д+2л(г) от = о Г СО О СО )Рв (д, т) ~ е!в" лч! о)Р1(д+2п(г)дт+ о Г СО 1 СО +е-')Р~(у, ) Х """м!н"'!Р (4+2 1~)й = О СО О ! =РО (о, т)Р,*(д, е — т) йт+е в ~Рос(о, т) Р1 (д, 1+е — т)сЬ.
о С Полученное выражение совпадает с формулой (7). ° 244 В частности, при в=О ~(Р,(р)Ра(у)) =е-и ~Я(р, 1 — т)Р;(у, и) г(чц' о С помощью доказанной теоремы легко установить справедли- вость следующих двух теорем. Теорема 6. Р-преобразование функции — определяется ра- я(ч) о венст вам е 1 йРР("~'»~= ~ Р*(у, ),) д).+ — ', ~ Р*(д, )) а, ®Я=~(1И) =~", ° (9) В соответствии с Формулой (7) получим 'Р ~ — «~ ~ = ~ Р* (д, Х) — НХ+ ~ Р* (д, Х) ео, НХ= о е в 6 1 =$г и,цш+1г'о,ц — ',ш.ь)г*(д,ц ~ а о е е 1 — $ г'<д, ц и ь — „', ) г'О, им ° о В частности, при е = О первое слагаемое обращается в ноль, т.
е. в этом случае будет справедливо равенство 1 и('м) — „' ~ г'о, цл. (10) — 1 †1 Пример 3. Определить .Ф 1 Согласии теоремам ! и 2 получйм где Ро (д, е) = -'Р (Р (д)). Доказательство. Воспользуемся теоремой 5. Положим Ро" (о, е) =.У (Р(д)), Ц(о, в) =ам Я. Функпия Р*,(о, е) не зависит от и и равна Далее по теорема 6 найдем Я е РК ол+ — Ж 1' еч е еРк Ч([)+Е) [ 3 ее — е Р ее — еР еч — 1 а — — (е Рв — 1)-1- — — (е Р 1)= еч — е — Р ~ й) (ее — е Р)(ет — 1) еч [е Рв'ье — еч — е Ра 1 1-[-е Р— 11 ее [ее — е Р— е Рв (ет — 1Ц р (ее — е Р) (ее — 1) [) (ее — е Р) (ее — 1) умножая найденное выражение на 1 — Е г, получим окончательно -й" 1ур(у)) = дв (11) где Г*(д, е)=У [Р(а)).
Доказательство. Эту теорему, как и предыдущую, можно доказать с помощью формулы (7), однако значительно проще доказать ее, дифференцируя по переменной е основное соотношение (4) й 54: дР* (Е, а) д да да — е(е+енм) в Р (д+ 2л!г) = ' =Х— ь= сч (а+ 2л!г) е!е+анм)' !о(а+ 2л!г) = У' (дГ (аЦ. Полученное равенство совпадает с (11). ° 4. Дифференцирование изображений по Лапласу. Рассмотрим следующую теорему.
Теорема 8. ж' -преобразование функции — определяется дл (д) де равенством еде Е*(д, е) =лет (Е(у)). Доказательство. Справедливость равенства (12) можно доказать посредством дифференцирования по переменной а соотношения (4) й 54, определяющего прямое йт-преобразование. 266 (12) Рассмотрим теперь теорему о дифференцировании изображения по переменной н. Теорема 7. Если изображение Еа(д, е) дифференцируемо по переменной е, то умножение изображеная Е(с) на с соответствует дифференцироеинию изображения Г*(д, е) по е, т. е. Имеем дР* Кь э) И %~ — г' (д+2тцг) еИ+™lм'= — Лч,?, г= — сс й~ 9 1 (д+ м) е(э+ашик+ г (д+ 2пуг) еэ19+эпИ4 = Ю( — „~+еР*(д, е), Р*(0, е) = ~ч ', е'"/" Р (2п)г). (13) Значение изображения по Лапласу г (д) при д=0 связано со значением изображения г'*(д, е) при том же значении д формулой 1 1 г (О) = ) Р* (О, е) Ие.
(14) о й за. пРименение дискРетнОГО пРеОБРА30ВАния лАплАсА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ 1. Уравнения импульсных систем в области изображений. Использование дискретного преобраээвания Лапласа позволяет существенно упростить решение многих задач, связанных с исследованием и проектированием линейных импульсных систем с постоянными параметрами. Описание импульсных систем с помощью .У-преобразования начнем с наиболее простого случая— рассмотрим разомкнутую импульсную систему с одним импульсным элементом (см. рис.
158). Уравнение этой системы во временной области было получено выше в 2 51. При нулевых начальных условиях оно имеет вид (см. (18) З 51) х,(п, а|= ~', д,(гл1й1(п — т, е), где й,(п, е1 — импульсная переходная функция приведенной непрерывной части, определяемая формулой (15) З 51; Е,(п) — воздействие, приложенное ко входу системы и измеренное в дискретные моменты времени; х,(п, в] — величина на выходе системы. 267 что совпадает с равенством (12). И 5.
Начальные значения изображений. 11риведем два соотношения, которые следуют непосредственно из формул (4) и (5) $ 54, определяющих прямое и обратное й'-преобразовании. Значение иэображения Р*(д, в) при д=0 определяется фор- мулой Х* (о, ь) „,„ о' (д) (3) Передаточную функцию разомкнутой импульсной системы (г* (д, е) можно определить с помощью Ы-преобразования импульсной переходной функции приведенной непрерывной части: Уг"*(д, а)=Ю (Аг[п, е]) = У, 'и ~"а[о, е). (4) п=ь Кроме того, функцию В'*(д, е) можно определить как ~У-преобразование передаточной функции приведенной непрерывной части )р' (д), определяемой равенством йг(д) = )е-гЧг,(г) Й.
(6) о Имеем Я7* (д, е) = Я (Я7 (д)) = ~ ', ЯГ(д+ 2п)г) еь1ч+зии). (6) Передаточная функция приведенной непрерывной части может быть определена как изображение по Лапласу импульсной пере- I 11 ходной функции приведенной непрерывной части АЯ=/гг~ — ~, т. е.
в виде 5',(з)= гойя г(г, где з= т-. (7) Связь функций Я7,(з) и )Р'(д) устанавливается формулой (2) й 54, в соответствии с которой (д) Т ~()1 ч' 1 (8) т Если М7е(з) и ИГ„(з) — передаточные функции формирующего устройства и непрерывной части соответственно, то по формуле (8) получим ~(д) т )" ч(з) ~ '=г (9) Применим к обеим частям равенства (1) 'Ю'-преобразование. С учетом теоремы 6 ~ 53 будем иметь Х*(д„а) = 6* (д) )Р'*(д, а), (2) где Хь(д, е)=-Ж«х,[п, еД, б*(д)=Ы(д,[п)), В"*(д, с) = = М (й,[п, е)).
Отношение изображений выходной величины Х*(д, е) к изображению внешнего воздействия б*(д) при нулевых начальных условиях называется передаточной функцией импульсной системы. В данном случае Применяя преобразование Лапласа по переменной 1 к обеим частям равенства (10), получим Х (д) = ~~ д,'1т))Р'(д) е-г"',= 6* (4) )Р'(д). (11) Полученное уравнение устанавливает указанную выше связь, Применяя к обеим частям уравнения (11) ~ю-преобразование и используя теорему 4 2 55, снова получим уравнение (2). Найдем теперь уравнение замкнутой импульсной системы (см. рис.
165) в области изображений н определим ее передаточную функцию. Уравнение этой системы во временной области получено в 2 51 в виде х,(п, е)= У', д,[т)АДп — и, е) — У', хг(т)йг(п — и, е1. (12) юп=О ла=О Применим к обеим частям уравнения (12) 2Р -преобразование. Учитывая теорему 6 2 53, будем иметь Х*(д, е)=6*(д)%7*(д, е) — Х" (д)%7*(д, е). (13) Изображение Х*(д), сгояшее в правой части равенства (13), опре- делим из этого же равенства, положив в нем в=0; Х * ® = 6' (д) ))г* (4) — Х* (4) 1Р'* (д), откуда Х*( )= 1+27~ (д) (14) Подставляя выражение (14) в уравнение (13), найдем Ха (д, е) = 6а (д) 77* (д, е) — Ч)2, (~ )Р* (д, з) = =, *,", 6а (4).
В соответствии с определением передаточная функция замкнутой импульсной системы равна Х* (ч, е) В' * (д, е) Ф*(д, е)=, ' = +,,'( (16) 269 Зная передаточную функцию приведенной непрерывной части )Р'(д), можно установить связь между изображением по Лапласу выходной величины Х(д) и изображением в смысле Ы-преобразования входного воздействия 6Я(г)). Для этого запишем уравнение (1) рассматриваемой импульсной системы во временнбй области в виде х,(г') = 'У, 'д,(т)й,(1 — и).
(10) Таким образом, с помощью У'-преобразования найдена связь между изображением выходной величины Ха (д, е) и изображением входного воздействия бе(д). Применяя обратное Ю'-преобразование к обеим частям равенства Х*(о, е) =тра(г), е) (гз (г)), (17) можно определить зависимость между входной и выходной величинами системы во временной области. С учетом теоремы б 2 83 получим л хт "(п, е)= ~ йт(и)йа(п — и, е), (18) Пример 1.
В разомкнутой импульсной системе (см. рис. 155) передаточная 1 функция непрерывной части равна )Раз(з)= —, а импульсный злемент ттз+1 ' осуществляет модуляцию с помощью последовательности кратковременных импульсов, причем выполняется условие (!1) $5!. Требуется определить передаточную функцию импульсной системы. В рассматриваемом случае импульсная переходная функция непрерывной приведенной части определяется формулой А(1)=А,п(1)А, где А,— постоянныйкозффициент; Аю(1) — импульсная переходная функция непрерывной части, Следовательно, йередаточная функция приведенной непрерывной части будет равна (Р (Ч)="'а(й)А * где Й, йг (о)= ~е з~А (1) г(1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
