Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Ч1 при изучении дифференциальных уравнений, в большинстве случаев могут быть использованы и в случае разностных уравнений. Будем предполагать, что система разностных уравнений может быть записана в нормальном виде: х~[п+Ц=Р~[п, ха[и], ..., ха[и]] (1=1, 2, ..., Й), (1) причем функции Р;[п, х„..., хД определены при всех значениях своих аргументов и, х„..., ха, ограничены и однозначны.
В этом случае решение системы разностных уравнений (1) с начальными условиями х~(и,]=ха (! =1, 2, ..., к), существует и едтнственно. Запишем систему (1) в векторном виде: х[п+Ц=Р[п, х[п]], (2) где х[п+Ц вЂ” вектор-столбец с компонентами х [и+Ц (1=1, 2, ..., й), а Р[и, х[п]] — вектор-столбец, составленный изфункций РДп, х,[п], ..., ха[и]]. Введем норму вектора х[п] по формуле Теперь можно определить устойчивость по Ляпунову произвольного решения $[п] векторного уравнения (2) с начальными условиями в[ив]. Решение 4[и] уравнения (2) называется усиюйчивыи, если для любого е) О существует такое 6) О, зависящее от е и от п„ что любое решение <р[п], для коиюрого при п=п, справедливо неравенство [ Р [ив] — В[па]](б, (4) удовлетворяет при всех значениях дискретного аргумента и) и, условию [ <р[и] — $[и][ Се, (б) Решение 8[п] разностного векторного уравнения (2) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво, и, кроме !лого, сущее!пвует такое число Н~О, что из условия [ор[по] в[по]]( (Н следует 1пп ]!р[п] — й[п]]=О, (8) В этом параграфе рассматриваются только линейные системы разностных уравнений, имеющие вид х![п+1]= ~ ау[и]хааа]+[![и] (!=1, 2, ..., й), (7) !=1 или в векторной форме х[п+1]=А [п]х[п]+у[а], ' (8) где А[п] — матрица с элементами ау[п] (!=1, ..., я; 1=1, ..., й); у[п] — вектор-столбец с элементами 1![п] (! =1, 2, ..., я).
Система линейных разностных уравнений (8) называется устойчивой, если устойчивы все решения системы. Условие, при котором система (8) является устойчнной, определяется следующей теоремой. Теорема 1. Линейная система разностных уравнений (8) устойчива !погда и !полька тогда, когда устойчиво тривиальное решение соответствующей однородной системы . х [п + 1] = А [п] х [п].
(9) Доказательство. Докажем сначала достаточность условия теоремы. Пусть тривиальное решение х[п]=О однородной системы (9) устойчиво. Тогда для любого е)О существует 6(е, по)) ) О такое, что для произвольного решения $ [и] системы (9), удовлетворяющего условию Щпо]](6, имеет место неравенство ]8[а]](е при всех значениях п=-п,. Исследуем устойчивость произвольного решения ор[а] неоднородной системы (8).
Выберем решение ф[п] системы (8) из условия ]ф[по] — !р[пЦ (6 и оценим норму разности [ф[п] — !р[п][. Нетрудно проверить, что разность ф[п] — ор[п] является решением однородной системы (9). Поэтому из предыдущего получим, что ]ой[и] — <р[п]](е при п)по. Следовательно, решение <р[п]— устойчиво. Теперь докажем необходимость условия теоремы. Пусть устойчиво произвольное решение !у [а] системы (8). Тогда для любого е) О существует такое число 6(е, по), что для произвольного решения ф[п] системы (8), удовлетворяющего условию [ф [по]— — ор [по] )( (6, справедливо неравенство [ф [и] — ор [и]]( е.
Поскольку функция $[п]=ф[п] — ер[п] является решением однородной системы (9), то получаем отсюда условие устойчивости тривиального решения системы (9): для любого е ) О существует такое 6(а, по), что из условия [8[по]](6 следует, что [8[п]]( (е. [й) 289 10 ого, Чоооданояв В. р.„о. 3 Аналогично может быть доказана теорема об асимптотической устойчивости. Теорема 2.
Линейная система разностных уравнений (8) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда асимптотически устойчиво тривиальное решение однородной системы (9). Доказанная выше теорема 1 сводит задачу об исследовании устойчивости неоднородной системы разностных уравнений к исследованию устойчивости соответствующей однородной системы, которая, в свою очередь, определяется устойчивостью тривиального решения. Как н в случае линейных систем дифференциальных уравнений (см. $ 18), для систем линейных однородных разностных уравнений существует связь между ограниченностью решений и их устойчивостью.
Теорема 3. Линейная однородная система разностных уравнений (9) успюйчива тогда и только тогда, когда все ее решения ограничены. Доказательство этой теоремы, а также последующей теоремы 4 принципиально. ничем не отличается от доказательства аналогичных теорем для системы дифференциальных уравнений. Теорема 3 позволяет существенно упростить исследование устойчивости линейных систем разносгных уравнений, так как ограниченность решений этих систем можно установить непосредственно по виду общего решения. Условия асимптотической устойчивости однородной системы разностных уравнений содержатся в следующей теореме. х Теорема 4.
Линейная однородная система разностных уравнений (9) асимптотически устойчива пюгда и только тогда, когда все ее решения стремнгпся к нулю при и-э. со. Эту теорему также примем без доказательства. 2. Устойчивость систем линейных разностных уравнений С постоянными коэффициентами. Для снегам линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами всегда можно найти общее решение однородной системы. Используя теоремы 1, 2 и 3, можно сделать вывод об устойчивости системы по виду общего решения. Рассмотрим однородную систему разностных уравнений с постоянными коэффициентами зс(а+11= Ах[а), (10) где А=(ау] (1=1, ..., й, 1=1, ..., к) — матрица постоянных коэффициентов. Условия, при которых система (10) устойчива, определяются следующей теоремой: Теорема 5.
Для успюйчивости линейной однородной системы разностных уравнений с постоянными коэффициентами (10) необходимо и достаточно соблюдение следующих двух условий: 1) все характеристические числа )ч матрицы А по модулю не должны превосходить единицу, т. е. ()ч((1; 2) характеристически м числам, модули которых равны единице, должны соответствовать простые элементарные делители матрицы А. Прежде чем приступить к доказательству этой теоремы, преобразуем систему уравнений (10). Выполним замену векторной переменной х[п1 в втой системе по формуле х[п1= Ву[п1 (11) где  — матрица невырожденного преобразования, приводящего матрицу А к жордановой форме (см. 2 6) У= В-'АВ. (12) Получим новую систему разностных уравнений с жордановой матрицей Х (13) у[и+1) =Фу[п1.
На главной диагонали матрицы У расположены корни Л, характеристического уравнения де1 (А — ЛЕ) = О. (14) Решение системы (13) определено в Я 50, где было показано, что элементарному делителю (Л вЂ” Ц)'/ матрицы А соответствуют компоненты решения уи, [и), ..., у;+, [и), определяемые формуг лами (36) % 50. Заметим, что каждая из компонент усы[и'1 (1 =- = 1, ..., гг) может быть записана в виде угн[~)=Р, ~[~)Л' (1=1, 2, ..., г), (15) где Р,, ~[п) — многочлен степени гг — 1 относительно перемене ной п. При этом простому элементарному делителю (Л вЂ” Л,) соответствует компонента решения у, [п) = с,Л"„ (16) где с, — постоянная велииина.
Решение х[п1 исходной системы разностных уравнений (10) устойчиво тогда и только тогда, когда устойчиво решение системы (13). Зто легко проверить, используя определение устойчивости по Ляпунову и невырожденность матрицы В. Поэтому доказательство теоремы 5 можно провести для системы разностных уравнений (13). Доказательство теоремы 5. Докажем сначала достаточность условий теоремы.
Пусть выполнены условия 1 и 2, тогда компоненты у,н[п) (1=1, ..., г~) решения системы (13), соответствующие корням характеристического уравнения (14) с модулем ! Л1~ ( 1, могут быть представлены в виде (15). Компоненты решения у,[п1, соответствующие корням, модули которых ~ Л,~ = 1, могут быть представлены только в виде (16), поскольку этим корням соответствуют по условию простые элементарные делн- 291 тели (Л вЂ” Л,) матрицы А. Функпии у;ы[л] (1=1, 2, ..., г;) стремятся к нулю по модулю при бесконечном увеличении аргумента хц 1нп )умДп](= 1нп (Р, ю[н]((Лг("=О.
(17) л сс л сс Функции у, [л], соответствующие характеристическим дорнам, равным по модулю единице, ограничены. Действительно, из формулы (16) получим 1у,[п]1= ~с,Л", ) = ~с, ~(сю. (18) Из условий (17) и (18) следует, что каждое решение у[я] системы (13) ограничено по норме л Ь[п]]=~( Хр)[п]< . с=1 (1 о) Учитывая теорему. 3, получим отсюда, что система (13) устойчива. Теперь докажем необходимость условий теоремы. Пусть устойчива линейная однородная система разностных уравнений (13), но тем не менее не выполняется условие 1, т.
е. существует характеристический корень Л, больший по модулю, чем единица: ( Лр~) 1. Тогда любая иэ компонент (16) решения, соответствующая этому корню, неограниченно возрасгает при и- оо, т. е. 11п1 (рнч[л](= 1нп 1 Р ~[в]Л" '= Вгп ~ Р с[в]~ ~ Лг(л =со. Следовательно, мы приходим к противоречию с условием устойчивости системы разностных уравнений (13). Необходимость условий теоремы доказана. ° Выясним теперь, при каких условиях линейная система разностных уравнений с .
постоянными коэффициецтами устойчива асимптотически. Таким образом, приходим к противоречию с предположением об устойчивости системы (13). Пусть теперь не выполняется условие 2, т. е. сущесгвует характеристический корень Лг с модулем, равным единице(Л )=1, которому соответствует элементарный делитель (Л вЂ” Л~)"~ кратности гг~1. Тогда корню Лт будут соответствовать компоненты реше- ния у[в] системы (13), определяемые формулами (15).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
