Бесекерский (950612), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Чтоо>» локаззты чт будет задана величина О в нача:|ьцой точкс первого участка проис< са, то всс вьццсцац цгаццос Рсшсццс зла цсРсходцого цРоцссса в сист<ме станет оцРсдслсццым. Тц<ой могол решения задачи цазьц>астся з<вподо>в и!>ипасоаь<еания. Выясцим тсцсрь, возможны ли в лзнцой системс автоколсбацця, т. с. устойчивое цсриолцчсскос рсшсцис. Для этого нужно, оч< вцдцо, чтобы в кои цс 0 одного цсрш> <з колебаний (рис. 16А, б) ц<>лучились точно такие жс зцачсция О ц О, какие были в цачалс ого А. Легко заметить, ч го ври этом оба полуцсриола (АВ ц Во) должа ы бьц ь одинаковыми вследствие симметрии характеристики (рис. 1Г> Л.
а). ! 1озтому для оц рслслсция автоко чебаций лостаточцо рассмотрсть только олин участок АВ и цотрсбо. вать, чтобы Глава 16. Сос)веление уравненийнелинейныхсистемавтоматическогоупрввления 481 зто соответствует автоколс<жн ням, нух<но исследовать их устойчивость, т. с.
показать, что в переходном процессе система колет своя, как нзобра)кено на рнс. 16.3. а, но пс так, как на рис. 16,3, б Это будет показано ниже. Лмолнтуда найденных автоколебаннй определяется как О„,,„на участке АВ (рис. 16.5, а) путем ит лслования функции (16.15) на максимум обычным путем Фазовое пространство. Для иагляЛного представления о ело)кпых нелинейных нроцессах унравлст )я чагто нрибегают к понятию фазового пространства, которое зак„ноча< тся в следукнцсм. )(н<1)<ререн циалы<ос уравнен и< замкнутой системы и-го норялка мох<но нр< образовать к сщ теме и лнфферс)щиальных уравнещш первого порядка в вил< йх! ) — ' = Ф, (хо х.„., т„,„( й ), йхг =фг(-т! хг —.
х, г' К) (16.21) <йх„ †" = ф (х,-т "- х /,д) й< с начальными условиями х! =хю та «)с -хл="пс нрн гд< х! хг хд пер< м< нные являюнц!сея нскомымн <1)ункц<<яыи Времени щ)и гем т! может обозначать унравлясму)о вся ичшг), ах),..., х„— вспомогательные переменные; г< н д — возмущакнцсе и зада)ощес возлсйствня. Пусть, например, в уравнениях (16,21) будет и —. 3 (система третьего порядка). Переменные хо хг, хз здесь могут иметь )побой физический смысл.
Но условно их можно представить как прямоугольные координаты некоторой точки М (рис. 16.7, а). Н реальном процессе управления в каждый момент времени величины хи хж хз имеют виол)к онрсдсленныс значения. Этосоответствует вволнсопрслслсццому положению точки М в пространстве (рис. 16 7, а). С течением времеви в реальном процесс< величиных), тг,хаонРсделснным обРазом нзменЯютсЯ.ЭтосоответсгвУсг псРсмешс'<нк) точки Мв пространстве цо определенной траектории. Следовательно, траектория движения точки Мможст служить нагла)!ной геометрической иллюстрщ<исй повеления системы в процессе управления. То! ка <Ч называется изсбг)<)ми )ои1вй точкой, ее ) раект ори я называется <1)озавой траекторией, а пространство (хн хг, хз) называется разовы и пристраитпвож. рвк нроизво!!и <и врем и отко рди тт< и нрсд В.яю гй кцнпсс скорости г на оси координат, то дифференциальные уравнения системы в форме (16 21) '<Редстанляют собой выражения для проекций скорости и изобража)ошей точки М (рцс.
! 6.7, а) на оси коорли наг. Следовательно, но значениям правых частей! уравнений (16 21) в каждый маме< п времени можно судить о направлении лвнжсгн<я изображав)нюй точки М, а вместе с тем и о повелении соответствую<цсй реальной системы. 482 Нелинейные системы автоматического управления Начальные условия (хю, хзм хз„) определяют координаты начальной точки фазовой траектории Мз (рис, 16 7, ц) Если переменных в уравнениях (16 21) будет всего две" х, их, (система второго порялка), то изображающая точка будет двигаться не в пространстве, а на плоскости (физовая и 70скосид), Если переменных будет любое число п > 3 (система ц.
го порядка), то фазовое пространство будет пе трехмерным, а л-мерным. Итак, фазовое пространство и фазовые траектории представляют собой лишь геометрический образ процес. сов, протекающих в системе. В этом геометрическом представлении участвуют координаты и исключено время. Фазовая траектория сама цо себе даст лишь качественное црелставлсн не о характере поведения системы. Чтобы определить количественно положение изображающей точки (а значит, и состояние системы) в любой момент времени, нужно найти решение заданных дифференциальных уравнений (16.21) во времени. Если уравнения (16 21) составлены в отклонениях от установив~цсгося состояния, то послелнее характеризуется значениями х, = ха - ... = х„= О.
Следовательно, изображснием установившегося состояния системы является начачо коорлннат фазового пространства. Отсюда вытекает, что фазовыс траектории устойчивой линейной системы будут асимцтотнчески приближаться к началу координат при неограццчснном увеличении времени. Фазовые траектории ~ ~суетой ч ивой линейной системы будут неограниченно удаляться от начала координат. Для нелинейной системы вследствие ряда особенностей процессов, отмечавшихся выше, фазовыс траектории могут принимать самые разнообразные очертания, Если имеется асимптотическая устойчивость для определенного круга начальных условий, то все фазов ые траектории, которые начинаются внутри определенной о<шасти гь окружающейй начало коорлцпат фазового пространства (рис 16.7, б), булут асимптотически приближаться к началу координат.
Если устойчивость неасимцтотическая, то фазовые траектории, начинающиеся внутри области ц могут иметь любые очертания, но пе будут выходить за пределы некоторой определенной области е, окружающей начало координат (рис. 16.7, б). Формулировка понятия устойчивости по Ляпунову. 11е воз пущен нос движение (установившийся процесс) называется устойчивым, если цри заданной сколь угодно малой ооласти е (рцс. 16.7, б) можно найти такую область гь что при начальных условиях, расположенных виугрн этой области, возмущенное движение (переходный про цссс) будет такилк что изображающая точка не выйдет из области е при любом скол" уголно большом значении времени г (си.
7 6.1). В аналитической записи формулировка понятия устойчивости но Ляпунову бу лет следующей. 11евозмущеяпое движение (устаповивц~ийся пропесс) будет устой»" вым, если при заданных положителыгых сколь угодно малых числах е,. можно найти такие положительшяе числа ~), (1 = 1,..., и), что црц начальных условиях !.,0~(Я; (3 =1,...,П) (16.22) Глаеа16.
Составление уравнений нелинейных системавтоматического управления 483 решение дифференциальных уравнений возмушенного ллнжения (псреходного про- несса) удовлетворяет неравенствам ~х;(г))<е; (г =1, „и) при любом сколь угодно большом г, начиная с некоторого с Т> О. 11редставим себе для атой аналитической записи геометрический образ в фазовом пространстве. Очевидно, что нри ограничении начальных условий по каждой координате неравенствами (16.22) получается и-мерный параллелепипед со сторонами 2пе лнутри которого должна лежать начальная точка фазовой траектории Мс (хю, хтс, ..., х„с).
На фазовой плоскости (и - 2) он абрашается н прямоугольник. Аналогично и второе из написанных неравенств геометрически означает, что фазовые траектории нс должны выходить из параллелепипеда со сторонами 2е,. В формулировке Ляпунова содержится требование сколь угодной малости указанных областей. Однако практически зто определение, так жс как и теоремы Ляпуноеа, которые будут приведены ниже, применяется н тогда, когда зти области имеют определенные к з не чныс размеры.
Фазовьге траекториидлнобыкновенныхлинейных систем. Пуст ь переходный процесс в некоторой системе описывается уравнением второго порядка Ых ух — +а,— +итх=О. у 2 й (16.23) Введем обозначение для скорости изменения отклонения управляемой величины у = —, Тогда уравнение системы (16.23) преобразуется к виду д~ Й Иу — = — и1у-азх, Й Их й (16.24) Исключим из уравнений (16 24) время с, разделив первое из них па второе (при х нунО): о'у х — =-а, -аз ох у (16.25) Решение у = тр(х) этого дифференциального уравнения с одной произаольной погтоягшой определяет собой нскоторос семейство так называемых интегральных кри"ых на фазовой плоскости (х, у), каждая из которых соотвстстаует одному опрелслепному значению пронавольной постоянной.
Вся соыокуп ность интегральных кривых представит собой асс возможные фазо"ыс траектории, а значит, и все возможные виды переходного процесса в данной системе при любых начальных условиях. Рассмотрим отлсльпо различные случаи. Уравпспию (16.23) соответствукгт ко!п1и хараьп еристического уравнения г гй а, Рсг = —,«-,~ — -пг, 2 причем возможны весть случаев: 1) корпи чисто мнимыс при а, - О, аг > 0 (колебательпая граница устойчивости липсйной системы); 2) корни комплскспыс и имеют отрицательные всществснныс части при и, <4аг г а, > О, аг > 0 (устойч ивая линейная система); 3) корни ком плекспыс и имеют положительпыс вещественные части при а~г < 4аг, а, < О, иг > О (иеугтойчиная.шнейпая система); 4) корпи вещественные отрицательные при а, < Лаг, а, > О, аг > О (устойчивая г :шпсйиая система); 5) корпи вегцсствснпыс положптсльныс при а,' < 4аг, а,, < О,аг >0(неустойчивая линейная система); 6) корни всщсствеппые и изгсют разные зпакц прп аг < 0 (неустойчивая линейная система); в частности, одип из корней будет равен нулю при аг = 0 (апериолнческая граница уг тойчивосз и липсйпой системы).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
