Бесекерский (950612), страница 99
Текст из файла (страница 99)
16.22, а). Однако опи дак)т уменьшение коэффициента усиления при увеличении отклонения. рассмотрим теперь два примера характер исти к с переменным коэффиписнтом усиления, который увеличивается при увеличснии отклонения. Уравнение лелин сй пой части привода управляющего органа будет в случае характеристики рпс. 16.24, а 500 Нелинейные системы автоматического управления Система автоматического управления с логическим устрой ством. Пусть динамика управляемого объекта (рнг. 16.26) опись>веется уравненном (7 р ->- !)рх = й (!6.66) Уравнении измерителей (!',р с 1)н = йх, (7зр с- 1)э-(с>рх.
(1667) Уравнение усилителя-нрсобразоватс;>я с логическим устройством (7>р - 1)у 7сз Г(и, с>) (16.68) Уравнение исполнительного устройс тва (7;ср-ь 1)з= -4„у. (16.69) Кремс того, должна быть залаю логика формирс>вання нели>н йного алгоритма управления Ф(и, э), которая можс г быть назначена или синтезировала в очень разнообразных формах лля обеспечения простои с и надежности аппаратуры, наиболми его быстролействия, наименынсй затраты энергии на управление, учета ограничения монн ности источника энергии и снсннфнки желательных режимов его работы и т, и.
Выбраннук> тем или иным образом логику формирования нелинейного алгоритма можно записывать в аналитической форме. Однако во многих случаях удобнее изображать се графически на нлос кости входных величин лоп>чсского устройства (и, г). Для нримсра рассмотрим н росте йнсук> логику (рис, 16 26). Смысл се заключается в слс луки Tсм. Величины и и с>, согласно уравнениям (16 67), с точностью ло постоя иных врсмспн соответству>от отклонению управляемой величины хи ес первой нроизвоЛной но времени рх. ! !оэтому наличие порогового значения и, соответствует тому что нри мал ьсх х не гол интел ь нос устройство не работает (Ф - О). 1!с работает оно также и при болыних отклонениях х, но только тогда, когда имеется лостгн очная по величине скорость рх(соответствую нгая нрсвыгнснию ворога ч.
и, ) со знаком, противоположным знаку х, нбо в этом случае опслонснис х уменьшается по величине само собой лаже Tри неработаюгисм исполнительном устройстве системы управления. Исполнител ьнос устройство включается (Ф - '1 или Ф = -1, рис. 16 26) тол ько то> ла, кос ла нри достаточно больпгнх отклонениях х(~ и! > и,) скорость рх имеет тот же знак (т. е, отклонение возрастает но величине) либо когла скорость рх имеет протнвоноложныйзнак, немала()е(<ес).
Глава17. Точные методы исследования устойчивости и автоколебаиии 501 Система с церемонной структурой. Как уже указывалось в главе 2 системы с цсремсшюй структурой содержат в себе специальное цереклнисаюцсее устройстволля цзмсцсция удравляницс го устройства, которое срзсбатьпсает в зависимости от размеров и знаков входных величин. Пример цсреключщощего устройства цриведси схематически ца рис. 16.27, где КЭ вЂ” юцочсвой элемент, ЬИС вЂ” блок изменения структуры.
Его уритюцис ~32~ црстцято записывать в виде (16.70) Функция т1т может строиться цо-разному. Нзстрихтср, а цри хсх>0, () при х,х<0, (16.71) Основная характерная исл ив ей ность здесь состоит в гамом факте автоматичеею > го переключения в зависимости от состояция входных величин. Глава 17 ТОЧНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ И АВТОКОЛЕБАНИЙ (17.1) 7' рср = 4. а 17.1. Фазовые траектории и метод точечных преобразований Попятис о фазовом пространстве, о фазовых траекториях и их тинах было уже лацо вьццс.
В дашсохс параграфе ца примерах построения фазовых траекторий для простетццих систем второго порядка будут проиллюстрированы некоторые важные ос обои ности процессов в нелинейных системах автоматического управления. П р и и е р 1. Возьмем систему автоматического управления с объектом без самовыравцивашся и с приводом управляющего органа, имсниссссм постояв цую скорость. Уравнение обьектз будет 502 Нелииейныесистемыавтоматического)нравления ,г(ля управляющего устройства без массы и лем пфера с жесткой обратной связьнь т.е, при бн --р,о-н — ь,ч-«,,получим 1 а= — д-~, Ь р~ = с з18н о, (17.3) а во втором рг,=О при |о~Ъ~ рР, = с з1йн о при ~~ о ~гь Ъ, ( (17А) Возьмем фазовую плоскость (х,у), приняв (17.5) х-<р, у-р~р, Из уравнений (17.1), (17.2) и (175) имеем 1 к,=Т,у, (17.6) Следовательно, перскщочения привода в нервом варианте (о - 0) будут иметь место ори (17.7) х- -6Т.у, что соответствует прямой АВ (рис.
17.1, а) па фазовой плоскости, причем согласно (17.6) значениям о > 0 соответствует часть плоскости слева от прямой Аа, а а ( 0— снрава. На основании первого из соотношений (17.6) с учетом (17.3) прн а < 0 получаем Иу с й Т, (17.8) а из (17.5) где д, г1, с, ~ и а — относительные изменения управляемой величины, смещений чув. ствнтсльного элемента, унравляюнгего органа, элемента обратной связи и управляющего золотника (рис.
10.11, а), Ь вЂ” коэффициент. Пусть привод управляющего органа имеет постоянную скорость в двух вариантаю 1) с мгновенным переключением (рис, 16.22, ж) дри нсрекодс управляющего элемента (золотника, струйной трубки) через нейтральное положение (о = 0); 2) с зоной нечувствительности (рис.
16.22, з) вследствие наличия «перекрытия» золотника нли с груйной трубки. В первом случае уравнение привода управлявшего органа будет Глава 17. Точные методы исследования устойчивости и автокалебаний 50З откуда находим уравнения фазовых траекторий Иу с 1 т„д (17.10) или, после интегрирования, Та в х= — 'у еСе 2с' 57;я> -' с> О, или >р = Све б>;, Следовательно, попав на отрезок СР, изображак>щая >очка пс может с пего уйти, ц система будет а периодически приближаться к установив пцпиугя состояли >о, т е.
изображающая точка будет «сползать» по отрезку СР к началу координат О. Таким образом, имевший место вначале колебательп>И переходный процесс после конечного ч цю ла колебаний вырождается в этот так называемый скользялкий процесс. Это есть семейство парабол, показанное ца рис. 17.1, а справа от линии АВ (они симметричны относительно оси х). Так как (17 В) и (17.9) являются проекциями скорости о изображающей точки М на оси х и у, то имеем о, < О, а знак ох совпадает со знаком у. В соответствии с этим ца рис.
17.1, а укажем стрелочками направление движения изобража>ощсй точки М по фазовым траекториям. Аналогичным путем легко строятся параболы слева от прямой АВ. В результате, как винцо из обитого расположения фазовых траекторий (рис. 17 1, а), получается устойчивая система с затухающим колебательцылт переходным процессом. Но число колебаний будет конечным. В самом деле, здесь имеется особый отрезок СР, в который вливак>тся всс фазовые траектории. Чтобы выявить >к>ведение системы ца атом отрезке, вспомним, ч>п> для цсго согласно (17.7) и (17.5) 504 Нвпиивйнмв системы автоматического управления Крайние точки особого отрезка С0 определяются, очевилно, как точки, в которых прямая АВ касается олной из парабол соответственно правого и левого семейств. По7у этому, подставив значения — из (17.7) в выражение (17.10), найдем точку С г7х >7, =-сб, По найлс> и >ой картине расположения фазовых траекторий можно качестве и цо црелставить себе кривую нерсхолцого прт>цесса~р(г) при лгооых начальных условиях.
Начал ыц >ми условиями определяется начальное положение изображающей точки М и тем самым — определенная фгюовая траектория, цлл юстрируюнтая протекание процесса. Оца показывает (рис. 17.1, и) максимальное отклонение управляемой величины тр,„,,„, максимальную скорость (рт») „,,„, а также все последук>шис от>тлонсция, число колебаний и т. и. Рассмотрим теноры у же систему, но с учетом зоны нечувствительности. В этом случае переключениям привода (при о =.
— Ь и а = ~>Ь) на фазо вой плоскости соо гветствуют согласно (17 6) лве нак юнныс прям ыс (рис.! 7.1. 6): х--бГ,ц — Ьб и х- -67,у Ьб. Между этими прямых>и ~ о > < Ь, правее их о < — Ь, левее их а > Ь (цричем Ь > 0). При , 'о ~ < Ь из (17А), (17,6) и (17.5) цолучаем откула (прн у к 0) г(у — =0 гсх или у = Сз г!с> йр / — =М, о>= —, г7г г7г (17.11) (прямыс, параллельные оги х в полосе АВ ца рцс. 17.1, 6). При ~ о ~ > Ь получим прежние параболы. В результате снова система оказывается устойчивой и имеет колебатсльный переходный цроцссс, но вместо осооой точки 0 получасы особь>й отрезок (у = О, — Ьб < т< Ьб), т.
е. установившееся состояние опрелеляется неол нов нач цо. Это соответствует тохт)т что система может нахоЛит ься в равновесии в лк>бом месте внутри зоны псчувствительпости. Здесь точно так >ко возможен скользя>ций процесс. как и в случае рис. 17,1, и, Влаццом примере система оказывается устойчивой цри лк>бых значениях параметров и ври любых начальных условиях. Однако злесь для получения системы второ>'о порядка была проведена грубая илеалнзация уравнений (пренебрежение массой н лемпфировацисм).
П р и м е р 2. Допуст>тхт, что требуется стабилизцровать угловое щ>ложепие некоторого тела, например космического аппарата, когла сопротивлением среды сто вранге нию можно пренебречь, Уравнение объекта будет Глава 17. Точные методы исследования устойчивости и автоколебаний 505 где / — момент инерции тела; <р — уп>л поворота тела; <о — его уштовая скорость; М вЂ” управлякипий момент со стороны иснолнитсльиого органа системы стабилизации.
Уравнсп ис управлякпцсго устройства зашннем в виде М =. М,Ф(<р, о>), (17.12) где М, — постоянная положительная величина, Ф(<р, <о) — нелинейный алгоритм управлсния, осушсствлясмьш при помощи лоп<ческого устройства но тому жс простейшему принципу, что и иа рис. 16 26, с той лишь раз- т'<о — =сФ(Ч>, со,), <7< (! 7.13) г;сеобозначсио М, с=— причем с имеет физический смь<сл величины углового ускорения, сообщаемого да<>- ному телу постоянным моментом Мв Умножив цочленио уравнение (17.13) на выражение <г'<р о> = —, <гг ' получим дифференциальное уравнение фазо вой траектории (17.14) о> с<<о - с Ф(<р, о>) Йр. Это уравнение легко интегрируется внутри участков, па которых Ф - сопя. В результате для каждого отдел ьно взятого участка уравнение фазо вой траектории будет шг г " = с'Ф(<р ср„), (17.15) где Ч>„и о>„— значения <р и со в начальной точке данного участка.