Бесекерский (950612), страница 102
Текст из файла (страница 102)
Возьмем теперь производпук> от функции Ляпунова по времени. С<я ласло (17 49) и (17.52) 2... я д — = 2а х„Х,(хцхмхз)+ 26 хеХ,(хцх;,х>)+ 2с хзХ>(х<,х,,хз) = !!'(х„х;,х ), с(г где функции Х<, Хэ Хз берутся нз заданных уравнений системы (17 51). Если полученная таким путем функция )>с(х<,хэ ха) окажется знакоопрсдс зепи ой отрнпательной, т. е. если Лс — <О <2! (17.53) во вс ех точках нсслелусмого фазового пространства, кроме олного только начала коор- лп на>, гд<> Л' — =0 (прях = х> х> '0), то при любь<х начальных условиях изображающая точка М (рис. 17.10) вслслствие (17.53) булез' двигаться в сторону умсныпсния значения )с, т.
с, будет пересекать зллнпсоплы, изображенные па рпс. 17.10, извне внутрь. В результате с течением времени изображаю<лая точка М будет стремиться к ца >алу координат 0 фазового прост раис>за (агимптотичегкая устойчивость) и уже никак не сможет выйти за пределы тех эллипсоидов, в которые она проникла. ;Это н означает затухание всех отклонений хе хм х, в переходном процессе с течением времени. Таким образом, установлена устойчивость данной системы, что иллк>стрирует справедливость теоремы для системы третьего порялка (в случае знакоопредслсннойфункции Ис).
Ото юла вытекает справедливость теоремы н в общем случае. Рассуждения остаются апалоп<чными. только вместо трех уравнений (17.51) будет п уравнений (17.с<5), Как и раньше, для любой зпакоощ>оделенной положительной фупкции Ляцунова )с(х<, хм..,, х ) - Спет<учим некоторые замкнутые поверхносги, окружающие начало координат (риг. 17.10), но уже не в обычном трехмерном, а в л-мерном фазовом пространстве (их иногда называют гнпсрповсрхпостями). С!'>с Поэтому, если нроизволная — = »с(х<,хн...,х„) окажется зпакоонрсдсленной отрипательной, то траектория изображающей точки М я л-мерном пространстве при любых начальных условиях с течением времени будет пересекать указанные поверхности только извне внутрь, что н свидетельствует об устойчив<юти ленной системы.
518 Нелинейные системыавтоматичесвгоуправления Вел и же функция п>будет не знакооссрелеленной, а знакопостояпной, то очсвн;пк>, что траектория изображающей точки Мне везде будет пересекать поверхности 1' = С, а может их касаться в тех точках, где !!>обращается в нуль (помимо начала координат), 1!о так как во всех других местах фазового п рос гранства функция сс>имеет один и гот же знак, вследствие чего изображающая точка может идти только извне с>ссутрь поверхности 1' = С, то при решении залачи остастся толысо проверить, пе «застрянет«ли изображаюспая точка там, где Ь'= 0 (см. пример ппже), Замечания к теореме Ляпунова об устойчивости. !1о с>оводу сформулированной теоремы Ляпунова об устой чи ности системы пеоГ>ход имо сделать следующие лна важных замечания.
1. В теореме речь идет о подборе функции Ляпунова 1> (хи хп..., х„). Всюбще говоря, при заданных в форме (! 7.45) уравнениях системы управления можно подобрать несколько различных вариантов функции К поскольку т ребустся только з~акоопрелслсппость ее и ее произволной. Различные варианты функции 1>, удовле пк>ряющис теореме, могут дать соответстнсппо различ~ыс варишп ы условис! устойчивости лля о спой и той же системы. Прн этом олпи из них будут пшре, другие уже, последние могут входить в первые как частный слччай и т. л. Поэтому, вообще п>вора,лаппаятсоремаЛяпуповасюеспсчивает получсппедостаточных условий устоссчивостсс, которые пе всегда будут и нсобхолимымп, т. е.
прн выполнении условий теоремы система наверняка будет устойчивой, по эти условия могут не охватыва и всей области устойчивости системы по параметрам, В самом деле, если выбрана фун кция 1> удовлетворяющая теореме, пет уверенности в том, что нельзя подобрать другой вариант функции 1> который бы еще более полно охватывал область устойчивости Ланпой системы. Геометрически это значит, что, получивопрсдслснпоесемейство поверхностей Р С (риг, 17.10) и убсливспись, что траектории изображающей точки М приближаю>ся к началу коордсснс>т, пересекая зти поверхности извне ассу> рь, нельзя быть уверенным в том, что пе существует еще других вариантов траекторий изображаюпссй точки М, которые в отдельных местах могут пересекать данные поверхности изнутри вовне, по все же стечением врсмепи в конце копцов неограничшшо приближаться к началу коорли нат Такие траектории будут соответствовать другому семейстну повсрхпостей )с = С, т.
е, лругому варианту выбора функции Ляпунова. В рядс технических задач можно вполне уловлствориться этими достаточными условиями устойчивости. От более или менес удачного подбора функции Ляпунова 1> будет зависеть большая или меньшая близость полученных достаточных условий устойчивости к нсобходимым и достаточным, т.
е. Г>олсс или менее полный охват всей облас ги устойчивости данной системы. Существуют, конечно, и такие функции 1>(хс хз,, х„), которые соответствусот всей области устойчивости. 2. К сформулированной выше теореме.с!япунова необходимо добавить, что понятие устойчивости по 7!я>>у>сову допускает, чтобы при знакоопрвдвленной 4у>скции 1' производная от нве %была пв обязательно знакоопредвлвнной иди знакопостоянной а зсогла быть и тождественно равна нулю во всем рассиатривав.нсм«фазовом простра>' ство. В этом случае, п ров оля аналогичные прежним рассужлсни я, лстко убедиться, что изображаюсцая точка М (рис, 17.10) будет оставаться все время на какой-нибудь од пой нз поверхностей Р сопзц кула сс забросили начальные условия.
В результате Глава 17, Точные методы исследования устойчивости и аатоколебаний 519 система хотя и не будет аснмптотичсски приближаться к установившемуся состоянию, но все же булет все время в достаточной бяизости от него. Теорема Ляпунова о неустойчивости нелинейных систем. Поскольку прслыдущая теорема Ляпунова дает, вообще говоря, только лостаточ цые условия устойчивости и поскольку кроме области устойчивости нелинейная система может иметь целый ряд особых областей (ем. ~ 1б.1), то может возникнуть потребность в отлель пои онрслелен области неустойчивости путем использования нижеследующей теоремы Ляпунова, которая дает достаточные условия неустойчив<>сти системы.
Теорема форл<улирустся так: если при заданных в форме (17.45) уравнениях системы п-го порядка производная И' (х>, хг,..., х„) от какой-нибудь функции Ляпунова '»(х>, хг,..., х„) окажется знакоопределенной, причем сама функция >>в какой->шбудь области, примыкающей к началу координа>п, будет иметь знак, одвт>ковый со знаком производной И>, то данная система неус>пойчива. Справсд»ивостьзтой теоремы иллюстрируется геометрическиследую>цим образом. Пусть для какой-цнбуль заланной системы второго порядка(п = 2) найдена такая знакоцеремснная функция 1> (х>, хг), лля которой произволцая й д) д» вЂ” = — Х>(х>,хг)+ — Хг(хцхг) = И'(х>,хг) йг дх, ' д, ' оказалась зцакоопрелелен ной положительной.
Пусть при этом линии 1'(хо хг) на фазовой плоскости располагаются, как указано на рис. 17.11, где линии АВ и С17 соответствуют значениям )>- О и разлсля>от те области, внутри которых 1» О н *»< О. Возьмем изобра>кающую точку М, как показано па рис. 17.11. Поскольку там » < О и везде <г » )У= — >О, Й то изображающая точка М с течснием времени будет лвигаться и пересекать линии Р = С, переходя от мены них значсний С к бол ьшим, Она может цри этом лишь временно приблизиться к началу координат, по в копне концов будет неограниченно улаляться от начала координат. Это соответствует расхоля>цемуся процессу, т.
е. неустойчивости системь». >налогично можно показать справедливость теоремы и для системы любого порядка и, проводя тс же рассужлепия Лля п-мерного фазового пространства. Приведем два примера применения изложенных теорем Ляпунова к исследованию нелинейных систем автоматического управления. Пример учета нелинейности привода управляющего органа. Такой пример применительно к системс самолета с курсовым автопилотом (в упрощен- 520 Нелинейные системы автоматическото управления г(Š— >О Е>0 при (/>Ь и Г<0 при ((< — Ь.
г((/ 1 (17.54) Требуется найти условия устойчивости данной системы. Уравнение самолета как управляемого об ьекта в грубо упроп[с ином виде булст (17.55) где чт — отклонение курсового угла самолета; б — отклонение руля. Уравнения чувствительпыхзлсмептов(гироскоповепотенциометрами): (17.56) ('! ~2чт ('е (тзрт(т. Уравнение обратной связи (17,57) Уравнение усилителя (7= Ьл((,+ Ь„(7, — Ь,((з Уравнение злектролвигателя с редуктором и рулем (17.58) (17.59) тле Г((() задается графиком рис.
17.12, 6. ном вилс) был рассмотрен в работе А. И. 7(урьс и В. Н. Постникова, Схема данной системы прслставлспа на рис. 17,12, и. Пусть все звенья системы являются линейными, за исключением электродвигателяя (с редуктором), для которого булсм рассматривать его реальную характеристику (рис, 17.12, 6). Она может иметь произвольное криволинейное очертание с зоной застоя (при ! ((! < Ь,) и с зоной насышения (прп ( ((! > Ьт). Наклон характеристики и ее криволи ней ность могут быт любыми, лишь бы голы<о собл юлил ись условия Глава 17.
Точные методы исследования устойчивости и автоколебаний 521 Уравнения (17.56), (17.57), и (17.58) можно свести к одпоьту: // - /т„ут йл„рШ вЂ” /т„, б, (17.60) пю Для перехода к уравнениям вида (17А5) введем новые нсремепные: 1 1, 1, х,= — рвт+ — 6, х = — 6, т,й, т, т, 1 4„1 /л. хз = (/=. М - —.рЫ вЂ” '* б т,й,й„тджх„„т,ь, т/:,й,„ (17.61) и безразмерное время / т= —. 7; (17.62) С введсниелт этих переменных дифференциальные уравнения всей системы (17.55). (17.59), (17.60) преобразуются к виду (17А5), а именно: Их, — = -х, е / (хз ), т/т ~/хз Г(хз ) с/т (17.63) — = (у — 1)х~ ч уха — г/(хз), Ыхз т/т где 7'ф й„ у= —, г= ~ля /т~ лч ./(хз) = "(ТА/тл„хз) (17.64 ) 6=0, рв=о, Ц< — ', (17.65) т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
