Бесекерский (950612), страница 105
Текст из файла (страница 105)
С эллипса 1 в первом квадранте (соответствует коэффициенту йг) изображаюгцая точка переходит на эллипс 2 в четвертом к над рапте (соответствует коэффициенту /гз), затем на эллипс 3, концентрический с первым (снова коэффициент й,), лгмюс на эллипс 4, концентрический с, эллипсом 2, и т. д. В результате таких переключений система становится устойчивой. Вданном примере переходный процесс представляет собой затухаюшис колебания. В большинстве случаев для избежания колебательных процессов в системах с переменной структурой следует стремиться реализовать скользящий режим. Лля этого нерсклгочепия в системе должны производиться в таких местах, где фазовыс траектории направлены навстречу другдругу.
Пока;кем это на примере. Пусть в той же сцгтеме (рис. 17.20) звено также устроено по принципу рис. 1Гх27, цо г/х х, =у-сх, где у= —. г/Е (17.95) Тогда прежнее выражение для Ч' а при х,х>0, Ч' = (3 нри х,х<0, цолучаетдругой смысл. Возьмем при этом а = /го 6 - /ге Получим два уравнения системы: / х —,+/ггУх=О при х~х>0, ,/га (17.96) —,-я,/гх=О при х,х<0. ,/га (17.97) Линиями разлела между областями нх действия будут х=О и х =у — сх=О, 1 т. е.
ось ординат и наклонная прямая ца фазовой плоскости (рис. 17.22). При этом уравнение (17.96) будет действовать в первом н третьем секторах фазовой плоскости. Гяава18. Приближенные методы исследования устойчивости и автоколебаний 5ЗЗ Поэтому там фазовыми траекториями будут служить согласно рис. 16.8 концентрические эллипсы. Уравнение жс (17.97) будет действовать во втором и чствсртом секторах фазовой плоскости (рпс. 17.22), где фазовые траектории нзобразятся в соответствии с рис. 16,3. Обе эти линейные структуры (17.96) и (17.97) но отдельности нс обладают устойчивостью Рьчагодаря же псрсктюченням система в целом сзановитсяусгойчнвой.
В отличие от предыдущей системы, здесь, как видно нз рис, 17,22, нет колебательного процесса При лобых начальных условиях фазовая траектория приходитт на наклонную прямую х, - О, где она встречается с фа:юной траекторией с противоположным ей направлением движения. Поэтому переход изображающей точкин чсрсз прямую х, = О невозможен. В результате изображающая точка вынуждена двигаться вдоль прямой х, - О в сторону начала координат, что и представляет собой с кол ьзягций режим переходного пропесса в данной системс. Практически скользящее движсние будет сопровождаться вибрациями вследствие быстрых переключений то в одну, то в другу1о сторону, как и показано па рис.
17.22. Ввиду нендеальностн системы (дополнительной инерционности или запаздывания) эти вибрации будут иметь конечные амплитуду и частоту. При идеальном же рассмотрениии, провслснном вьппс, амплитуда нх равна пул|о, а частота — бссконс шости. Рассмотрение реального переходного процесса скользящего типа с конечными вибрациями за счет дополнительной инер!гионности, повышающей порядок уравнения, возможно с помощью приближенного метода гармонической линеаризации. Это можно сделать аналогично рассмотрению медленно мепяюгцихся сигналов в автоколсбатсльпых системах (9 19.2), если за медленно меняющийся сигнал принять осповнос апериодичсскос лвижсннс в скользящем процессе, а наложенные на пего внбрапин рассчитать, как автоколсбательпую составляющу|о процесса(см. (731).
Глава 18 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ И АВТОКОЛЕБАНИЙ 9 18.1. Гармоническая линеаризация нелинейностей В этой главе будет изложен метод гармонической лннсаризацни для приближенного онрсдслещчя периодических решений (автоколебаний) и устойчивости нелинейных систем любого ~юрядка, который но идее близок к методу эквивалщп ной лннса- 534 Нелинейные системы автоматического)правления у = р(х,рх) (18.1) и задано х = а в'н >!> Ч' " ои (18.2) Тот>та ох = ао> сов >1>.
(18.3) Разложив Функцию в правой части выражения (18.1) в ряд Фурье получим 1'1 ~1ь у= — 1Р(ав!и>1>, ао>сов>!>)йуе~ — ~Г(ав>п>!>, ашсов>1>)в>п>!> йу в>п>1>+ яс ~12. +1 — ~Г(ав)и>И, ао>сов>1>)сов>1> Й~ ~сов>!>+ высшие гармоники.
("о (18.4) Положим ~Р(ав|п>1>, ао>сов>1г)й1> =6, о (18.5) что означает отсутствис постоянной составляющей в данном разложении, В настоящей главе булет везде предполагаться выцолненис условия отсутствия постоянной составляющей (18,5), Впоследствии (глава 19) будет дан метод исслслования автоколебаннй при наличии постоянной составляющей. Если принять во внимание, что нз (18.2) и (18.3) рт и сов>г' = ао> >г в!п>р =— а то Формулу (18.4) при условии (185) можно будет записать в виде а'(а,о>) у=9(а о>)х+ рхевысшис гармоники, о> (18.6) ризации нли методу гармонического баланса П. М. Крылова и Н.
П. Бого>нойона а но результатам — также и к методу малого параметра Б. В. Ьулгакова. Рассматриваемый ме>од является мощным средством исследования нелипей>гых автоматических систем в смысле простоты и довольно большой универсальности его аппарата в применении к самым разнообразным иелинейностям. Однако пало иметь в виду, что он решает зааачу приближенно. Имеются определенные ограничения сто н римсн и мости, о которых будет сказано ниже. Эти ограничения обычно хорошо соблк>даются в залачах теории автоматического управления.
Практические расчеты и эксперимент показы ва>от приемлемость этого метода Лая многих видов нелинейных систем. Пусть нано какое-нибудь нелинейное выражение вида Глава 18. Приближенные методы исследования устойчивости и автокелебаний 535 где т) и д — коэффициенты гармонической линеаризапни, определяемые формулами; 2л гу = — ~Е(аяпчт, аатсозту)а!и!у йу, а 1 2л д'= — ~Г(аз!пчт, иатсозат)созат г!ту. тга а (18.7) (18.8) у = Г(х). Здесь возможн ге лва варианта;! ) кривая Е(х) имеет таютсрсзисцу1о не глчю (пан ример, рис.
16.18, а, рис. 16.22, г, д), и 2) кривая Г (х) не имеет гистерсзпсной петли (рнс. 16.8, б, рис. 16.22, а и др.). !1рн наличии гистсрсзиспой петли, когда фактически паблюластся зависимость от знака цроиавод ной, целине!! ная функция у - Г(х) после гармонической л ни еаризаци и вам сця ется следующим выражением (при х = а я и тат): д = гу(ц) е — р х+ высншс гармоники, ту (а) (18.!) ) где 2л ! 2л т) = — ! г(аз!нту)з!лат йу, т)'= — ~Г(аз!пту)созвт йу ятт а ял а (18.10) при условии отсутствия постоянной составляющей. )тг(ав!втр)йу =О. а Итак, нелинейное вы рюкенне (18 1) при х = а яп атг заменяется выражением (18 6), которое с точностью до высцшх гармоник аналогично линейному.
Эта оцерания и называется гармонической линеарнзацией. Козффиписнты тт(а, ат) и т! (2, ат) постоянны при постоянных значениях а и ат, т. е. в случае периодического процесса. В переходном колебательном процессе с изменением и и ю козффициснты т) и ту' изменя!отея (см. га. 20). Для разных амплитуд и частот периодических процессов козффнциенты выражения (18.6) будут различны ио величине. Зто очень важное для дальнейшего обстоятельство является существенным отличием гармонической лицеаризации по сравнению с ооычным способом липеаризацнн (6 3,1), приводящим к чисто линейным выражениям, которые примснялигь в црсдыдущих разделах книги.
Указанное обстоятельство и позволит путем применения к выражению (18.6) линснных методов исследования проанализировать основныс свойства нелинейных систем, которые пе мо. тут быть обнаружены нри обычной лицсарнзацнн. !!ривелсм также формулы гармонической л и псарнзапии лля более простой нелинейности: 536 Нелинейиыесистемыавтоматического управления Если же кривая р(х) поимеет гнстерезисной петли,то гг -О,так как црпх а гйп 1о будет 2л 1 о д'= — 1 г(аз(пзбг)соотг(2у = — )Г(х)Ыт = О яи о паг о гу = д (а) х+ высигив гаргиоиики, т, с, криволинейная или ломаная характеристика у - Г (х) с точностью до высших гармоник заменяется прямолинейной, тангспг угла наклона которой гг зависит от амплитуды колебаний а.
Другими словами, нелинейное звено уподобляется «линейному» с передаточным числом (козффи цисптом передачи), зависящим от амплитуды а колебаний входной величины.с Гистсрезисная же петля вводит согласно (18.9), кроме того, сгце производную, дающую отставание по фазе, гак как гг' (а) < О Таким образом, нелинейное отставание по координате в виде гистсрезис ной петли превращается при гармонической ли пеариэаппи в эквивалентное линейное отставание по фазе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
