Бесекерский (950612), страница 107
Текст из файла (страница 107)
18 3, б и формулам (18 10) 2 чг чг <1= — ) й(аз|в>р-Ь)яп>ри<>р+ — ) сяп<рс(<р+ ка „ ли чг 2 + — ) Ь(аз[о>1<+Ь)з[п>ус<ту, ки к-чг аналогично и для <)' (а). Отсю<та Ь< 1 1 . <>= —, >1<г -|--з1п2>Рг+~Г< е-Б|п2>1< ~, 2 2 <1'= — [яп >рг — з|п >В>) (и>Ьг) к< г г (18,24) где Ь< . с-ЬЬ >в< = агсз|п — '= агсз|п —. а аЬ Ьг . с+ЬЬ >рг = агсяп — = агсяп —, а ай (18.25) вающих зону насыщения, лап нос звено заме настоя как бы линейным звенок| с тем мел ьшим коэффициентом перслачи <у (а), |см больше амплитула (в противоположность предыдущему).
Для звена с псремениым коэффипищггом усиления согласно рнс. 18.2, д н е по формуле (18.10) с учетом (18.12) получаем 542 Нелинейные системыавтоматического управления Если в таком нелинейном звене амплитула колебаний входной величины х, будет и < Ь, то в процессе колебаний не будет захваз ываться зона насыщения и получится чисто гистсрезисная характеристика(рис. 183, в). В данном случае и ( 2Ь) г!гг — — —, г!г, =асса(п 1- — ).
2 ( и) (18. 26) Уравнение звена с гистсрезисной характеристикой вида рис. 18 3, в поэтому булст имстьформу(18 9), где согласно (18 24) Й( и 1. г7= — ~у, + — + — з(п2вг,, п~ 2 2 4/гЬ( Ь1 г7'= — сов !у~ - -— ~! — — ! при а > Ь и пи~ и) (18.27) Величина!!г, вычисляется по формуле (18.26). Такого же типа характеристика (рнс. 18.3, в) получалась и для чувствительного элемента с сухим трением в системе стабилизации давления, рассмотренной в 9 16 (си. рис, 16 21, б), когда мы пренебрегали массой. Следовательно, лля такого нелинейного звена с сухим трением булут си равелл и вы тс жс формулы (18 27) с заменой в них только /г = —, 8 (18.28) а уравнение (16.58) для колебательного процесса в форме (18.9) будет Ч= г7(а)+ — р гр+выспшс гармоники.
д (и) (18.29) !3 = г7(и)+ — Р, е высшие гармоники, 9'(и) ~ (1830) где г! (а) и д' (и) опрслсляготся по формулам (18 27), в которых надо считать Й - 1. Для пелинейностей, пс заданных аналитически, существует графический способ опрелеления г7 (а) (см. 9 3.8 в книге ~721). Этого же типа характеристика (рис. 18 3, в) имела место н для нелинейного звена с зазором в следящей системс (см. рис, 16.20, б), причем там Ь - 1, Следовательно, уравнение (16 55) данного нелинейного звена (л ля колебательного процесса) запипгется в виде Глава!8. Приближенные методы исследования устойчивости и автоколебаний 543 9 18.2. Алгебраические способы определения автоколебаний и Устойчивости в нелинейных системах первого класса Основываясь на вышеизложенной гарлюничсской линсаризации, составим гармоническии лннсаризован нос уравнение всей замкнутой нелинейной ав пэмати чес кой системыы в целом.
Пусть известно лиффсрснпиальпос уравнение линейной части системьэ 0(р)х, - -)7(р) х,, (18.31) причем линейная часть может иьшть структуру лкэбой сложности (и любой порядок уравнения). Уравнспиенелипейногозвепа хт = р(кирх,) в колебательном процессе после гармонической линеаризации запишем в виде хг = эу(и, ю)+ Р хэ. (18.32) В частности, для нелинейной характеристики хэ = Г(х,) без гистереэисной петли булет хэ эу (в) хэ Уравнение нелинейного звена (18.32) записано, как видим, без учета высших гармоник, фигурировавших в предыдущем параграфе.
Это сделано отнюдь пс потому, что они малы. В отдельно взятом нелинейном звене при подаче на вход х, - а гйп ох в обшем случае па выходе обязательно появятся высшие гармоники. Однако в замкнутой автоматической системс (рис. 18.4, и) линейная часть имеет обычно амплитудно-частотную характеристику одного нз лвух видов, показанных на рис. 18 4, 6. Поэтому вьюшие гармоники, имеющиеся у переменной хп гасятся линейной частью и псремепэшя х, скатывается достаточно близкой к синусоиде; х, = и гйп ош В таком виле и будем искать приближенное и ср пол пчсс кое решение лляя нелинейной автоматической системы, Свойство линейной части системы, в) 6)Л„ определяющее вил амплитудно-частотном н,„„„я„ характеристики типа изображенной парис.
18А,6, именуется свойствомфитэьтра. Лпа- хэ хг литическое обоснование сказанного см. в книге 172, В 2.21. О ьэ Как випим, в коэффициенты уравнения (18.32) вхолят амплитула а и частота Рис. 16.4 эо искомого колебательного процесса. 544 Нелинейные системы автоматического управления На основании уравнений (18.31) и (18.32) можно написать гармонически лицеа ризовацное характеристическое уравнение замкнутой нелинейной системы в виде яо> ° >>,+,>,) .
со у (1833) Я(ую) з- й(усэ) (су(и, со) з. у у'(и, о>)! - О, (18.34) нри пеизвсстных постоянных значениях амплитуды а п частоты о>, входящих в коэф- фициенты су и су', причем для однозначной нелинейной характеристики Е(х>) будет >2 (усе) '- Ус' (усо) су(а) - О, Выделим в выра>кении (18 34) вещественную и мп имусо час гп: (18,35) Х (о>) э у У(ы) - О, и авелем лля частоты и амплитуды искомого периодического решения обозначения; со - ю„, а = аа.
Это дает два уравнсния: Х(сосо и„) = О, '( У(с>„,а„) =О,у (18.36) из которых и опрелеля >отса неизвестные частота ю„и амплитуда а„. с теми жс особенностями в коэффициентах, что и в уравнении (18.6), описанными в 3 18.1. В том случае, когда в замкнутой системс возникают собственные незатухающие колебания постоянной амплитуды а = а„и постоящц>и сагтоты с> = ю„(автоколсбапия), коэффициенты уравнения (18 32), а значит, и коэффициенты характеристическогоо уравнения (18,33) становятся постоя>с>с>»ьс>с, Влсесте с тем из линейной теории известно, что появление указанных колебаний в системе при постоянных коэффициентах соответствует наличию пары чисто мнимых корней в характеристическом уравнении системы.
Следовательно, можно обнаружить в замкнутой нелинейной системс появление незатухающих собственных колсбаний вилах а„зуп ю„с (и„= сопят, о>„-" сонэ!), подставив в характсристичсскос уравнение (! 833) р -усог Если эта подстановка р = ус>„ соотвстствуст каким-пибуль вещественным положительным значениям а = и„и со- ю„ прц заданных параметрах системы, то такис колебания возможны.
Но полстаповка р =ус>„в характсристичсгкос уравнение с постоянными коэффициентами эквивалентна отысканию границы устойчивости линейной системы. Следовательно, появление незатуха>ощих собствещцях колебаний в нелинейной системс можно обнаружить применением к характеристическому уравнению (1833) лк>бого пз методов определения границы устойчивости линейной систсмы, изложенных в главс 6.
Основной способ определения периодических решений. Используем непосредственную полстаповку р =- усе в гармонически лицеариаовацщ>е характеристическое уравнение, а именно Глава 18. Приближенные методы исследования устойчивости и автоколебаний 545 Х(оэ„, а„,/<) = 0,1 У(со„,л„,/т) = О. / (18.37) Ото<ода можно найти зависимости а„= а„(/г), со„= о>„(/т) и псктронть их, например, в виде графиков рис.
18.5, а, б. На основании зтих графиков можно будет выбирать параметр /стас, чтобы амплитуда автоколебапий была до< таточио нютой, чтобы частота их нс была опасной для лашн>й системы или жс, наконец, чтобы анто кол еба шс й не было вовсе (7< < /со,). Крол>е того, с помощью тех же уравнсний (18.36) можно строить линни равных з>щчепий аьшлитуды н частоты автоколсбаннй на плоскости лвух каких-либо параметров системы, > сап ример /с и /: Для зтого уравнения (18 36) зацисыва>отса в виде Х(ы„,а„,/<,Т) = 0,1 У(сосало,/<,7') = О./ (1838) Зададимся различными числовыми значениями амплитуды ач и получим для каждого из них но уравнениям (18.38) зависиъсости /т-/>(со„) н 7'=- Т(соч), После етого, меняя ы,г можно ш>строить по точкам со<л.ветствуюп<ис кривы с а„= сон<ц н координатах (/<, Т), как показано сплоиц< с»л<и линиями на рнс.
18 5, в. На зтих кривых получаются отметки частот со„, которые такхсе можно < оедицить (иунктирныс кривыс). График рис. 18 5, в позволяет выб>нрать значения двух параметров (/г и Т) нипшейной системы. Еиш такис графики построить для различных возможных структурных схем системы, то >южно будет выбирать также и ианвыголнсйщук> структурную схему проектируемой замкнутой автоматической системы с учетом полиной ностей. Использование графиков коэффициентов гармонической линеаризации.
Во многих задачах козффициенты Если уравнения (18 36) не имеют положительных вещественных рсщсшсй для а„и о>„, то периодические решения нообисс (а значит, и ав гоколс банна) в данной нелинейнойй < истемс нево:>хсожны. Исследование устойчивости псриоличсс кого рец>ения дастся ниже.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
