Бесекерский (950612), страница 111
Текст из файла (страница 111)
Следовательно,добавлениесухоготрсния несколько расширяет область устойчивости системы, но весьма своеобразно, а именно; неустойчивость найденного периодического решения означает, что при/т> /гг и при выполнении условия (18.89) система может быть устойчивой в малом (при начальных условиях, которые дактт ванильную амплитуду собственных колебаний системы в переходном нронессе, лежал!укт ниже кривой на рис.
18. 16, б). Однако система неустойчива в большом (нри начальных амплитудах собственных колебаний вьнае атой кривой). Послслнее можно обьяснить физически тем, что нрн болыних амплитудах и соответственно нри больншх скоростях движения демофирукнцсс влияние силы сухого трения, которая сохраняет одну и ту же величину прил~сбой скорости, становится несунтсствснным, вследствие чего система оказывается неустойчивой, как и нри отсутствии сухого трения. 560 Нелинейные системы автоматического управления (Т„р + 1)х - Р(х) = lг><„, х р!1, (18.90) где Т„= —, 7<< = —, Е(х)=йах зтйпх, 76 = —.
с, з. сз са с, гз Полагая х - аяв о>г, по формулам гармонической л и неаризации (18 10) получаем тк ц = — ) 7теа яп >р(а!8па!п>р)яв>у <7>!> = а 2 па „ « 2к 1 г 1 г з .;> 87>ва = — ~!7тка яп >!> <7>!<- — ~!(тв<т яп' >!> <7>!> =— еа Зп Следовательно, г(х) = — х.
87>»а Зе Составив, как и раньше, характеристическое уравнение, приходим к выражениям: Х=/т>7>-~ й>7>е7;, +Т„+7;, + — "7"„>о>а =О. Е У= йА — ') -1,7.я' =0 Зя ! (18.91) откуда находим; Т <ет < а (18.92) При исвыполнснпи условия (18.89) требуется исследование обоих уравнений (16.52) совместно (з>о будет уже нелинейность втор<но класса, так как она затрагивает обе величины: входнук> >„и выходнук> !3). При этом колебания угла !З будут происходить с остановками.
Это — задача более сложиая. П ри мер З.Пустьтспсрьвтойже системе действует ис сухое грспис, а сопротивление движсняк> об ьскта, пронорииональиое квадрату скорости, с ливейпой составля>ошей (рис. 18.17, а). Ура виенис управляемого объекта с двигателем имеет в атом случае вид (16 63). ! !срсгиияем здсгь сп> иначе по аналогии с предыдущим иримером: Глава 18. Приближенные методы исследования устойчивости иавтоколебаиий 561 1раничцыс зпачсция тэ„и й с овпалатот здесь с прежними (18.88), но оп и соответствуют уже не а„-, а а„= О.
В роз улы ате получаем график для определения ам плитуды п частоты псриодичсско~ о ршпсиия, изображенный па рис. 18.17, б. Г!оскольку злссь ( — )о,! — )о.~ — )о,( — )о, (18.93) гдет7(а)и д'(а) определяютсяпоформулам(18.2?), вкоторых надосчитатья-1(так как характеристика рис. 16.20, б имеет паклои 45 ), а именно: ~ь| И д=-) Вт~+ —,+ — в(п2Лт,!, д'= — созздт, = — |1--, п), 2 2 / я па~ а) (18.94) причем 281 вт =агсз1п~! — — ~.
(18.95) то критерий (18 63) выполняется. Поэтому найденное периодическое решение устойчиво. Следовательно, квалратпчпое трение приводит к автоколебаниям в той области параметров, где система без этого добавочного греция была бы неустойчивой. Это объяспястся усилением лсмпфцрующсп> лсйствия квадратичной силы трения при увеличениии амплитуды (и скорости) колебаний, что препятствует псограничецпому раскачиванию системы. Заметим. что переход закона соп роги влеция движению объекта от лилейного к квалратпч ному при больших скоростях отражает реальные явления. Лмнлитуда и частота автоколебаиий определяются злссь графиком рис.
18.17, б плн формулами (18.92), причем амплитуда колсбапий угла 8 будет ад = а„/то,г Г1 р и и е р 4. Пусть втой жс следя шейт системе требуется учесть влияцис зазора в мехапичсской передаче между двигателем и уцравлясмьгм объектом (схсматически он показан ца рис. 16.20) цри линейной характеристике двигателя и при линейном трении. В колебательных процессах, которые здесь рассматривают ся, зависимость межлу углами поворота Д (после зазора) и 6, (до зазора) будет иметь нелинейный вид, показавший ца рис. 16.20, б, где Ь вЂ” половина ширины зазора. Кроме этой ислипсйцой зависимости здесь присутствует вторая нслипейпость (16.54). Полагая, что момсцт инерции управляемого объс кта /, велик цо сравнения) с привсдеппым момен пом ин< рнии лвигатсля, будем считать в.
ура енсы ни (16 54) Т, = О. Первая нелинейность (рис. 16.20, б) после гармонической лицсаризации при 1э, = аз(п юг соглагпо формуле (18 30) цршю имеет вид Р(р'Р<,рй!) = Т р26 ь14 рис. 1В. 1В <ц)и Л Зк О<ц<< —, к-Чг! «ус —, 2к-<1<! «у<2к 2 2 и (учитывая, что '1; — — 0) р(р Р! рй!) =рй! при и Зп — ск«к — Ч<, — свг<2к-Ч< . 2 2 ! Условие отсутствия постоянной составляю!пей здесь выполняется, а третья из формул (18.11) принимает вид 1 г1<(а,<о) =— ка 2к /2 ~ («о!сов <1!)сов<к <1чг+ 7' та(-да!за<и <1<)сок<1«7<1<+ а а к2 2к е 7 Та(-а<ли к<а<1<) соз<1< Й1<+ 7' 7а(-а<о в!п Ч<) сиз<1< г(Ч<; к кч 2г — т< аналогично определяется и <72 (а, о!), Произведя интегрирование и сравнив результаты с выражениями (18.94), получаем <7! (а, <л) - о! — <7'(а) 7;,<о, где г1' (а) то же, что в формулах (18.94).
В результате вместо нелинейного уравнения (16 54) при Т, = 0 имеем (18.96) (г12 (а) 7,р 1 — д (а) Т,<л1 рр! = <2<<„, 662 Нелинейные системыавтоматического управления Вторую нелинейно< ть (16.54) запишем в виде Р(р2!З<,р6 !) = /г<<„. Она подвергается ! арион и чес кой линеаризаиии по формулам (18.11) также при 8! = аз!а м. Зависим<ють между ую<ами р! и 13 показана на рнс. 18,18. При этом из нижнего графика н из формул (16.54) видно, что Глава 18.
Приближенные методы исследования устойчивости и автоколебаний 563 где 1( т 1 стт (и) = — ~ си, ч- — — — ейп 2чс, ~, п~ 2 2 стр+ьхсс у:с+и-дс ке)6+Чик~ стс,+ ~- р/=о. су'(а) ю Слелонательио, после подстановки р =уо получим Х =7т )сс7(а) — 1҄— ТчТ„ек7 (а) ч-7„'с)2(а) ч.)тс)свТсу(сс)))о~ = О, )'= 1 — Тчсу'(и)сеч.)с))свс)(а)-усс)с ~се~ 1;,Тсств(а) — Ась — ~се =О. Для исследования влияния паралтетра )с на собствсн пые колебания лап пой системы выразим велнчипу )сиз каждогоуравпения поотделывсти: )с„су (д) ) Т~с72(сс) Т Т ) )2 7оТ~с) (о) 3 с7(а) ( )ссс)(а) )с,ст(сс)з .)с,ст(а) (18.97) (18.98) . Задаваясь разными значениями а - ач, для каждого из них по этим уравнениям строим две кривые л (с)) (рис.
18.19, б). Точка их персссчепия дает соответствуюгдие значения е)„ и ус. В резулнате можно построиты рафики (рис. 18.19, е и г) зависимостей алсплитуды и„и частоты о)ч периодического репсспия от параметра )с (каждое построение па рис, 18.19, б дает по одной точке па каждом из графиков рис. 18.19, в и с). вч ) (сод),р~- ! о Рис. 19.19 причем с)'(сс) и)И, тсжс, что и в(!894) и(1895).
Нарве. 18.19,а изображены графики длЯ величин коэффициентов с7 (а), су,(п), с)в(а). На основании (18.93), (18.96) и линейной части (16.53) приходим к характерис. тичсскому уравнению 664 Неяинейныесистемыавтоматнческогоуправлення При и =, как видно норис. 18.19, а,имеем д(а) = Ос (а) .-1 и д, (а) =О. Позгому из выражений Х(щ„) -0 и 1'(го„) = 0 находим: причем вдоль кривой на рикь18.19, с частота ю„измснястгя в интсрналс 0 < гоа ~ (гс„) П р и м е р 5.
Пусть имеется релейная система стабилизации температуры, опйсывасмая согласно 9 16.1 уравпениямн (с дополннтсльпым учстолг постоянной времени привода Тз): (Т,р -: 1)0- "Iй(р, х ЙзО, (Т„р - 1)рц = е (б (~ Т(х), П= г!(а) — — р х, гг (а) гс ~ ~"7 ат Г бт) 2 (бг Ь~) (18.99) Е!а основании написанных уравнений получаем следу~он!ее характеристическое уравнение данной замкнутой системы: (Т1 р+1)(Тор+1)р+)4)г г!(а) — — р =О, а (а) где где х — ток в диагонали моста (ун равля кощей обмотке реле), а Р(х) — характеристика рслс, изображсшщи на рис, 18.20, а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
