Бесекерский (950612), страница 110
Текст из файла (страница 110)
18,13, а. Применяя к правой части етого уравнения формулы гармонической линсаризаци (18 22) с заменой с = Ыл„, получаем уравненце управляемого объекта с двигателем в виде (Т„р+ 1)рД = л1(и) л„, (18.65) где при ил <6,1 Ч=(лл =с'й,. нри а>(х 2 ( .Ь Ь~Ь'1 л7 = — лл, агсвго — + — 11- —,. н ~ а и)~ ал~ (18.66) что изображено графически на рис. 18 13, 6 Здесь и обозначает амилии уду колебаний величины л„. Общее уравнение остальной части следящей системы согласно (16 53) будет (18.67) (Т„р+ 1) л„= -1я+ (7„р+ 1) еерф. На основании (18.65) и (18.66) получаем характеристическое уравнение (Т р + 1) ( Т р + 1) р + л7 (а) ~)л ь (Т р ' 1) 1ле р) = О.
(! 8 68) После приведения его левой части к виду аер' + и~р - аллр + аз н подстановки 3 2 р =Тщ получаем уравнения тина (18.36) в виде Х =Йл)(иа) — )Т„+Т„+Т 1лад(а„)1сл,, =О, У =11+!лвй(и„) 1оз„- Г„Т„оЛ = О. (18.69) Выясним влияние параметра (г на автоколеба пня в данной системе. Из последнего уравнения находим 2 Т„Ткща -1 л7(и )= П / 6 (18,70) Рассмотрим несколько примеров применения изложенного в предлядущсм параграфе метода.
П р и и е р 1. Найдем влияние ограничения лннсйной характеристики двигателя (рис. 18.13, а) на процессы в следящей системе. Пусть остальные звенья системы линейны. То| да уравнение управляемого объекта с двигателем вместо (16 63) примет вид Глава 18. Приближенные методы исследования устойчивости н автохолебаний 555 а нз первого о в+7 ов 'Г г/(ив) (18.71) Формула (18.70) ласт график, изображенный па рпс. 18.13. и, где 6 он О ы, и, ив Рнс.
1ВЛЗ 1 1+ йг/вс нзвм /,", 7, в 7 /. нов о в (18.72) Графики на рис. 18.13, б и в определяют связь между амплитудой ао и частотой периодического решения в дан!год снстслтс, Найдем зависимость амплитуды ив от величины параметра /с /(ля етого, задаваясь ржгличнымн ыо, будем брать из графика рис. 18.13соответствуюгдие значения ав, а но формуле (18.71) вычислять /г. В результате получим график ав (Й) тита рис. 18.14, а илп б. Чтобы определить, н каких случаях каждый нз них имеет место, найдем 1иоо /(вфферен пируя (1871) по юо с учетом (1870) и приравнивая результат нулю, получаем соотвстствуюгдес значение юя в виде 2 ! !' 71 гвч = — 1е 1+— Г„тв' (18.
73) причем л,„ы оггределяется подстановкой юи в (18. 70) и (18. 71), а именно: /авив = — 1+ 1+ —" (18.74) Очевилно, что сели юя > отв, то /)ио, гге су1исс гвует и имеет место первый случай (рис. 18.14, а), а при юв < ю, — второй (рис, 18,14, б). Сравнивая (18.73) и (18.72), приходим к вьгволу, что для системы, параметры которой удовлетворяют условию /г,не 4 ~1+ — ", 7'„ (18.75) справедлив график на рис. 18.14, и, а лля системы с параметрами /г,/гв > 1е — '" Т, (18.76) — на рис. 18.14, 6.
556 Нелинейные системы автоматического управления Исследуем ушоычнвосгь найденного периодического решения но крцтерн)о (18 63). Сгн ласно (18 66) частота и нс вхолнт в коэффициенты. Позтому в выра>кении (18А5) для кривой МихайловафункцииХ(й) и у(й) совпадакггс(1869). Найлом производные: — = 1ь Ьвг)(ия) -3ТиТ„ы„= -2Т„Т„ш„< О, в о) ~„ с 3Х') „Т, !' ((1'! (Т„-т„»'„, (йд') — = Ьаоэя — < О, (18.77) так как согласно рис, 18.13, 6 произ волцая Й1/гуа отрицательна, Легко проверить, что при ю > о)„тле о)„определяется формулой (18.73), критерий (18.63) удовлетворяется, а п)т о) < ы„не уловлетворяется. Отсюда делаем заключение, что все периодические решения ца рис.! 8.14, и устойчивы (т.
е, соотве) ствуют авто)тлебацням). Вертикальны ь) и стрелками там показано, и о переходные процессы с больпшми и меньшими амплитудами сходятся к данному нериоличсскому процессу. На рис . 18. 14, 6 только верхняя ветвь кривой (в ьцне точки о)„) соответствует у) той чш) ым периодическим решениям, т. с. автоколебаниям, а нижняя (соя+ о)„) — пеус ~ ойчивым. Как уже отмечалось, через а„злее ь обозначена ам ил итула колебаний величины 1„. Чтобы узнать амцлитулу ар автоколебаний управляемой величины (3, пало воспользоваться уравненном (18.65), откула г)(аи ) Г„ТАа, (18,78) как модуль соответствуюшей передаточной функции цри р -7о), умноженный на а„.
При атом величины а„и ю„оцрелеляются графиком рис. 18.14, и или 6. Учитывая, что г! (а) = Ь, при а = Ь(см. рис. 18.13,6), найдем по формуле (18.71) с цолстаповкой ю, - ю„из (18.72) величину Ь„, отмеченну)о ца рцг. 18.14: ! о'й (18.79) Точно такое же значение Й является границей устойчивости для линейной системыы, когда уравнение управляемого объекта с лвигателем вместо (18 65) имеет линейныйй вид (7ьР+ 1) РР = А,)„.
Отсюда можно сделать вывод о том, что в слУчас (18 75), лля которого имеет место график рнс, 18.14, и, лаиная нелинейная система сохраняет устойчивость в той же области, что и линейная система, цо она обладает сшс угн)новившимсяавзоколсбатсльцым режимом там, глс линейная системанеустойчцва. Сле- Глава!8, Приближенные методы исследования устойчивости и автоколебаний 557 довательно, ограничение липей>н>й характеристики тина насыщения в двигателе (рис. 18.13, в) препятствует раскачиванию системы, которос получается при л » 1„в линейной системе.
Это наблюдается и на практике. В случае же (18.76), лля которого график, определяющий автоколсбанна, имеет вил рис. 18.14, б, автоколсбания могут уже появиться при /г > /г„ (но > />я), т. е. раньше наступления границы устойчивости линейной системы. !!о в этом случае, как видно из рис. 18.14, б, при маль>х начальных амплитудах церехолпого процесса (пихгс кривой о>„,о>,) сохраняется е>цс ус гойчп вость равновесного состояния. Здесь в области параметров />„< /г < л„(рис.
18.14, б) имеет( я как бы два предельных цикла (рис. 16.14, в), а в области /г„< /г < — одцп. Случай, изображснпь>й на рис. 18,14, б, называется чжсстким возбуждением» автоколсбаний. Таксы возбужлепис автоколебапий ран ыпс наступления границы устойчивости возможно, как видно из (18,76), только цри достаточно болыпом /ге, который, по существу, является коэффициентом гибкой обратной связи. При отсутствии такой связи указанное явление не имело бы места.
На рис. 18.15, и и бланы графики лля величины частоты автоколебапнй ыч в зависимости от параметра /г соответственно для случаев, изображенных на рнс. 18,14, а и о. ! ! р и и е р 2. Рассмотрим теперь следящую систему с линейной характеристикой привода, но учтем сухое трение совместно с линейным (рис.
18.16, и). Уравнение управляемого объекта с двигателем имеет при этом вил (16.52). Здесь возможны лва с'>учая: 1) колебания без остановок, когда обет печиваются уг. к>вня первого из уравнений (16 52); 2) колебания с остановками, когда лсйствуют попеременно оба уравнен пи (1652).
Рассмотрим первый случай и определим условия его существования. Итак, записываем первое из уравнений (16.52), поделив его па сз в виде с /!т = —, ст Т„Р~В+ р!>е/гт мй>п р8=/г>>„, (18.80) с, 7 й,=+ Те= — ', се сз с условием, что !'я!>/, при р~=О, (18.81) > Обозначим х = р!>. Тогда это урав- нение будет (7,р т1)х- /г(х) =/>А, (18 "2) 558 Нелинейные системы автоматического управления г (х) 777 в18п х. (18,83) ~7 Г(.х) = — х, (18.84) где и — амплитуда колебаний скорости х - рД; амплитуда колебаний самого угла р при атом, очевидно, будет а ( и ил = — ~Д= — совы . Выражение (18.84) представляет собой известную формулу линеаризации сухого трения с помошью вибраций. Найдем условия, при которых опа здесь справедлива. Согласно (18.81) и (18.82) имеем Т, рд ~ Т„аа сов ы1 Т„аст Iт ~тн1 — >— о гкуда '(7 2 в7 иа> — или ара > —, Т„ Т„ (18.85) что и является условием, при котором справедливо дальнейшее решение.
Характеристическое уравнение всей замкнутой системы согласно (18.82), (18.84) и (16.53) получает вил (Т,Р+1) — Ре И,(7;,Р+1)йвР+Л1Л+(Тюв+1)(ТяР+1)Р = О, 4777 пи После подстановки р -~а пол у чаем Х=77777 7ач 72АТвч.Тя +То ~а =О 1 пи У=' — +Iг,Ф ч-1)~а — Т„Т„а =О. ~ па (18.86) Поскольку движение предцочагается без остановок, то нелинейную функцию (18.83) подвергаем гармонической лиыеаризации, как релейную характеристику, и иа основании формулы (18.18), полагая х = а гйп отб получаем Глава 18. Приближенные методы исследования устойчивости и автоколебаний 559 Чтобы исслсдонать влияние коэффициента Ь на динамику системы, выразим из втих двух уравнении величины /т и а» через ат,: /т= — "" (Т„щ, +1), и» = (18.87) Заметим, что а» = нри 1+/т,Ьв !+/г)Ьв(1-;-Ь)Ьв 1 ! (18.88) )1;тмсняя ет„в интервале (ш„)гл < ат» < ч, строим по формулам (18,87) график иэ = Т(/с), представлепный на рис.
18 16, б. Условие, нри котором справедливо это решениее, было выражспо неравенством (18 85). Г!одставив в него значения и "а» и тв - гоэ цз (18.87), приводим его к виду 4,/2Т„Ь >1, н~ Ь вЂ” 2 Т„(1 е Ь, Ьв )~ (18.89) Ь= г, ~ДЬЬТ7.„'-Т. Для исследования устойчивости найденного периодического решения на основании (18.86) находим Критерий (18.63) нри атом не выполняется, что означает неустойчивость найденного йериоднческого решения. Это и показано условно вертикальными стрелками на рнс. 18.16, б. Легко проверить, гго значение Ав, ( ! 8 88) совпадает с граниной усгойчиво< ти линейной системыбсзсухоготренияя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
