Бесекерский (950612), страница 106
Текст из файла (страница 106)
Можно создать специальное нелинсиное звено с опережающей петлей, что будет эквивалентно линейному опережспво фазы при введении производной, цо с тем отличием, что величина опсрсжения фазы будет зависеть от амплитуды колебаний, чего нет в линейных системах, В случаях, когда нелинейное звено описывается сложным уравнением, включали шим сумму различных линейных и нелинейных выражений, каждый из нелинейных членов подвергается гармонической липеаризации ио отдельности.
Произведение жс пели пейн остей рассматривается обязательно в целом как одна сложная нелинейность. При этом могут встретиться иного характера нслицейныс функции. Например, при гармонической липеаризапии второго из уравнений (16.3) придется иметь дело с функцией Г()ггх рх) при х - агйп шб В этом случае получаем Е(р х, рх)=~ 2 ', рг+ 1 р х+высшис гармоники, -оэ ш 1 2л 92 — — — Р(-аш з)пог, аоосозу)з(пдгг(Хг, яи о 2л д, = — ~Е(-аюг зн2Ог, ашсоз у)соз р йу пи о (18.11) (при гистерезиспой петле этот интеграл пе был нулем вследствие различия в очертании кривой гг(х) цри возрастании и убываниих). Следовательно, при отсутствии пи стерев исной петли нелинейное выражение (18.8) ззмсняется более простым: Глава 18.
Приближенные методы исследования устойчивости и автохолебаний 537 при условии гп ~Г(-аш з1плг, агосозог) Йр =0 о Если же функция г (ргх рх) или функция Г(рт) будет единственной нслинсйной функцнсй в уравнении нслинсйного звена, то при гармоничсскойлннсаризации можно положить рх" а гйп шг и Г(р х, рх)=г)(а,го)рх+ ртх-ьоыстие гармоники (18.12) о о а для симметричных относительно начала координат безгистерезисных характеристик Г(х) нри вычислении г7 (а) можно писать ги ~г (18. 13) о о Прнвслем выражения лля коэффициентов некоторых простейших нелинейных звспьсв. Затем их можно будет непосредственно использовать нри решении различных конкретных задач.
Коэффициенты гармонической липсаризации рслейных звеньев. Найдем коэффициенты д (а) и гг (а) уравнений наиболее типичных репейных звеньев по формулам (18 10). Возьмем обгций вид характеристики релейного звена хо = Г(х,), изображаемой графиком рис. 18 1, а, где т есть любое дробное число в интервале — 1 ~ т < 1. Как частные случаи будут получены уравнения других типов репейных звеньев. Если колсбан ня входной величины х, - а э(и ох имс1от амплитуду а < 6, то согласно рис, 18.1, а движения в системс не будет. Если амплитуда а > Ь, то нсреключсния рслс происходят в точках Л, В, С, Р (рис.
18.1, 6), в которых имеем тб Чгг — — и — агсгйп —. а (18.14) Ог, = агсзш— а Следовательно, после использования свойств (18.12) каждый из интегралов (18.10) рааби вается на три слагаемых: 1=Я 1 о о ч, тг аналогично прежним формулам (18.6 и 18.7). Но при этом величина а во всех выкладках будст амплитулой колебаний скорости рх, а не самой координаты х. Последняя жс будет иметь амплитуду а,. = аЛо. Прн вычислснии коэффициентов гармонической липеаризации по формулам (18.10) надо иметь в виду, по при симметричных нелинейных характеристиках интеграл (О, 2п) можно получить удвоением интеграла (О, и), т.
с. 538 Нелинейные системы автоматического управления 2 91 2 чг у(а) = — ) сз1пт!г гтт)г, гу'(а) = — ) ссоету г(ту, ла па 9г го откуда 2с 2с( Ь твбз 1 г) = — (созт!т, -созутз) = — )~1- —, ч. 1 —— тта яа~ а 3 и (18.15) 2с . , 2с т) = — (3!пег~ -з!птув)=- —,(1 — ти) ярма >Ь ) па яа а уравнение релейного звена с характеристикой вида рис.
18.1, а будет иметь вил (18.9) с полученными здесь значениями т) (а) и г!' (а). Рассмотрим части ыс случаи. Для релейного звена с характсристикои без гистсрсзисиой петли, ио с зоной нечувствительности Ь (рнс. 18.1, г), полагая пт = 1, из вьгшена~ и!саиных формул получаем т)= — созт!Н = — ! — —,, г! =0 при а>Ь. ка пот! аз (18. ! 6) Для релейной характеристики с гистерезисиой петлей типа рис. 18.1, д, полагая и - — 1, имеем Л Ьт гу = — сов Чг1 = — )~!— па па т! ав (18,17) 4с' лсЬ г!'=- — 'з!пчт, = — при а >Ь. ка па причем первое н трет ьс из них согласно рис.
18.1, а и 6 будут нулями.! 1озтому выраже- ния (18.10) припихта~от вид Глава18. Приближенные методы исследования устойчивости и автсколебаиий 539 11акоцец, для идсальцси о релейного звс а (рис. 18 1, е), полагая 6 = О, находим 4с д = —, 7'=О. ла (18.18) 6> . 6> . с»6>/г >|с> =агсяп — ', ц>, =агсв|п — =агсв|п а а ай (18,19) интеграл (18.10) на участке (О, х) разбивается на пять слагаемых, причем два из них равны нул>о. Поэтому 2 "' 2 с) = — ) Й(ав|п>|> — 6>)ып>|с с(>у + — ~ сяп >|> с1>|с» — ~ 6(ав|п>|г-6>)в1п>|> с(>|с, ла ха ха »2 ч> откуда с заменой с = (6в — 6>)6 и 6, = а яп ио 6а = а яп и, получаем 26( 1 .
1 д = — ~>л, — л>> е — в|п2>|с, — — в|п2ц>> при а >6,, л~, 2 2 (18.20) 1! а последнем примере леясо видеть смысл > армс ши>се кой липеаризации релейной характеристики. Написанное вь>ражепис для с) означает замену ломаной характеристикии АВС0 прямолинейной Мс>с(рис. 18 1, е) с таким наклоном, чтобы эта прямая Мс>> прибл из>>тельно с>амен яда гобой тот у1>асто>с ломаной АВС0, кс>торый охватывается заданной амплитудой а. Ото>ода становится вполне понятной обрат>со пропорциональная за виси»>ость су от а, даваемая формулой (18,18), так как чем боя ыце амплитуда а колебаний входной величины хп тем болсс полс>той должна быть прямая Мс>г, цриблизц тельно заме»яюшая ломаную АВСК Л пал огич по обстоит дело и с ролей пой характеристикой ца рис.
18 1, с для которой наклон заменяющей сс прямой дается формулой (18.18). Слсдоватсльш>, всякое бсзгистсрсзиспос релейное звено в колебательном процессе аквн валепти>о такому «линейномуму» засну, »ерсдатс>ч нос число (коэффициент усиления) которого с) (а) умспыластся с увеличением ам>шитулы колебаний входной величины, начиная с а = 6 /2.
Что касается релейного звена с гистерезисной петлей, то согласно (18 9) и (18.17) оно заменяется линейным звеном с аналогичным прсж»ему коэффициентом усиления с) (а), по кроме того, сше с вводе>шем отрицательной производной в правой части уравнения. Ввсдсс>ие отрицательной производной в противовес положительной виос>ст отставание по фазе в реакции звена на входное воздействие. Это служит «линейным эквивалентом», заменяющим эффект действия нелинейности в виде гистерезисцой петли.
При этом коэффициент с)' (а) при производной согласно (18.17) тоже уменьшается с увеличением амплитулы а колебаний вхолиой величины хо что и понятно, так как эффект влияния гистсрсзис ной петли на процесс колебаний в релейном звспс должен быть тем меньше, чем больше амплитуда колсбапип по сравцеци>о с шириной гистерезисцой петли. Коэффициенты гармонической лннеаризации других простейших нелинейных звеньев.
Рассмотрим пели цсйцое звено с зоной нечувствительности и с пасьццецисм (рис'. 18.2, а). Согласно рис, 18.2, б, где 540 Нелинейныесистемыавтоматичесхсгоуправления 26( .6 6 61 г/=6 — — шсгйп — + — 11- —,~ приа>6. п~ а а гг (18. 21) Как вилим, звено с зоной нечувствительности уподобляется здесь линейному засну с уменьшенным за ес счет коэффициентом усиления. Это уменьшение козффнцнснта усиления значительно при малых амплитудах и невелико прц болыппх, причем 0 < г/(а) </гприЬ<а< Для второго частного случая — звено с насьпцеппсм без зоны нсчувствительностн (рпс. 18.2, с), — полагая 6, - О, т. с.
чгг —. О, из (18.20) и (18.19) ггатучасхг 26~ . с с с~ г/ = — ~ агсгйп — + — 1- а/г а6 а /г / с прп а > —. (18.22) /г причем ирна<с, /г имеем г/-/г(липейпая характеристика). При амплитудах колебания входной величины, захваты- где цгг и щг определяются формуламн (18.19). Ввиду отсутствия гнстсрсзиспой петли здесь г/ =О. Итак, уравнение нелинейного звена с характеристикой вида рнс. 18.2, а буде г х, = 0 (а) ссн где г/ (а) определяется выражешгсм (1820). Как частный случай отсюда получается зцачспне г/ (а) для звена с зоной нечувствительности без насьпцсния (рпс. 18.2, в).
Для етого в прсдыдушсм решении нужно положить а < 6 н, следовательно, чгз = — Тогда 2 Глава 18. Приближенные мепщы исследования устойчиюсти и автоколебаний 541 2 д= — ) Ьияп>ряп>ри<>рч — ) [lгг(из)т»р — Ь)+а|Ь~з(п<рйр+ ив па 2 + — ) Ь>аяп<рз[п>р <(>р, па что с замси ой яп |р, - Ь дает ( .Ь ЬГЬ'1 гг = Ьг — — (Ьг — Ь<)~ агсяп — е — 1-— при и> > Ь. (18.23) Здесь ломаная характеристнка(рис.
18.2, д) заменяется олной прямой со средним между Ь< и Ьг нак юном д (а), причем этот наклон изменяется в интервале Ь< < << (а) < Йг при увеличении амплитуды Ь < и < . Для амплитула < Ь имеем линейную характеристику с наклоном l|г Для нелинейного звена с насьпцеп нем и с гистерезисной истлей (рис. 18 3, и) уравнение получит вил (18 9), глс согласно рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
