Бесекерский (950612), страница 109
Текст из файла (страница 109)
(18.58) Если опо удовлетворяет линейному критерию устойчивости, то исследуемое пер иод ическос решенно устойчиво. В случаях, когда нелинейное звспо описывается уравнением видах, =- Р(х,) (< гнстерезисной петлей или без нее), осрсдпсппое характеристическое уравпс<ас лля исследования периодического решения булст (>(р) + В(р) и (а„) = О, (18.59) где (18.60) 2п в'(дх< ! а ИспользованиекривойМихайловадляисследованияустойчивостипериодичсского решения. Каждому конкретному значению и будет соответствовать определенная кривая Михайлова (18А5).
Прн и = а„она пройдет через начало координат (рнс, 183). Для исследования устойчивости периодического рсшспня с амплитудой а - а„ далям малое приращение амплитуде <1а. Тогда при и = а„+ Ьи кривая Михайлова займет либо положение 1, либо положение 2 (рис. 18.9). Прн этом кривая 1, охваты ваюп<ая начало координат, соответствует затухаю<цнм колебаниям переходного процесса, а кривая 2— расходяшимся колебаниям. Поэтому если при <>а > О кривая Михайлова займет <юложение 1, а прн Ла < Π— положение 2, то переходный процесс в системе будет таким, что колебания с ам ил итулой, бол ы пей чем а„, затуха<от, а колсбапия с амплитудой, мены пей чем и„, расходятся.
Следовательно, переходный процесс, с обеих сторон сходится к и«следуемому периодическому процсссу с амплитудой и„. Это означает устойчивость последнего, т. с. в системе имеют Глава 18, Приближенные методы исследования устойчивости и автоколебаний 551 (Ю Ф (18.61) где Хи Уобозцачакл. вещественную н мнимую части аналитического выражения кривой Михайлова, а индекс «ня означает подстановку а = аа, Го = юа.Как видно из рнс. 18.10, а, для устойчивости исследуемого периодического решения вектор, определяемый проекциями (18 61), должен лежать сопределенной стороны от касательной МУк кривой Михайлова, направление которой в свою очередь определяется проекциями % % (18.62) Из расположения вектора с ~ проекциями (18 61) цо отношению к вектору с проекциями (18.62) н видна непосредственно устойчивость или неустойчивость данного периодического решения с ам ил итулой аа.
На рис. 18.10, б и в показаны тс жс векторы, что и ца рис. 18.10, а, по лля других видов кривых Михайлова. Видно, что во всех случаях для устойчивости исследуемого периодического решения требуется, чтобы векторе проекциями (18,61) лежал справа от касательной МЛг, если смотреть вдоль кривой Михайлова в сторону возрастания место антоколебаиия.
Если же при Ла > 0 получится кривая 2, а при Аа < 0 — кривая 1, то переходный процесс в обе стороны расходится, т. с. исследуемое периодическое решение неустойчиво (система устойчива в малом и цеугтой|ива в большом, как па рис. 16.3, 6). Аналитический критерий устойчивости периодического решения. Развивая предыдущий способ, видим, что нет необходимости строить сами кривые Михайлова.
Все исследование можно произвести аналитически. В салижт деле, для того чтосы узнать, примет ли кривая Михайлова при Ла > 0 положение т (рнс. 189), достаточно определитьь, куда будет перемещаться с увеличением и та точка кривой Михайлова ( Й = о)а), которая цри а = а» находится в начале координат. Если она будет перемешаться по направлениям ОА и ОАз или ОАз (рис. 18 10, и), то периодический процесс с амплитудойй и = аа устойчив, а сели по направлениям ОАн нли ОА; — неустойчив. Это направление перемещения точки от = ю» из начала коорлтшат с увел ичениг м и определяется, очевидно, следующими проекциями на координатпые осиХи г': 552 Нелинейныесистемыавтома<ического)правления й, причем ца«равленив касательной М№~предсляется всктороч с проекциями (18 62), Это геометрическое условие устойчивости периодического реп<синя можно записать в следующем аналитическом вилс; — — — — >О, (18.63) или иначе; !)(р) р -<о„ (18.64) где !) (р) — левая часть гармонически л ипеар изова нного характеристического у равпси ия (18 33) при а = а„и оз = ыс при этом если 0 (р) имсст пяту<о или шестую степень, достаточно убедиться в положительности коэффициентов О, (р) .
Устойчивость равновесного состояния системы. Приведенные в начале данного параграфа гармонически липсарнзоваппые уравнения нелинейнойой системы годятся гол ько лля колебательных процессов,опредсляемых периодическими 1кщеп ия и и, и для колебательных верех<щцых процессовв в непосредственной близости от указанн<як периодических решений. Поэтом); строго говоря, с помощью этих приближенных уравнений моакно анализировать только сами периодические решения и их устойчивость или неустойчи- Здесь важно, что частиыс производцыс берутся цс по частоте оз, а по текущему параметру кривой Михайлова й, т.
е. имс<о гся в виду выражения Х и )< пе в форме (18.35), а как вс<цсствснпая и мнимая части выражения (18Л5) в функции от й при со = сонэ< (сели опа входит в коэффициенты, стоящие в квадратных скобках эгон> вь<- ражепия). Выполнение условия (18.63) устойчивости периодического ре<пспия во всякой конкретной задаче можно проверить аналитически, без п<мп росцня кривых. Этого достаточно для систем третьего и четвертого порядков, если все коэффициенты гармонически лицсаризован ного характеристического уравнения <юложитсльцы.
Для систем же пятого и более высокого порядков требуется дополнительно проверить общий ход кривой Михайлова, чтобы убедиться, что имеет место случай, например, рис. 18.11, а, по нс рис. 18.11, б, Заметим, что вместо цостроенпя кривой Михайлова можно и тут воспользоваться аналитическим дополнительным условием, по грсбовав выполнения критерия Гурвш<адля мпогочлсиа Глава!8. Приближенные методы исследования устойчивости и автогояебаний 553 вость при малых отклонениях от исследуемого колебательного режима, что выше и делалось.
Практически мге из анализа полученных приближенных уравнений нелинейной системы часто можно делать значительно более широкис выводы. В частности, можно оценивать устойчивость системы н тех областях ее параметров, в которых периодические решения отсутствуют вовсе.
Пусть, например, определено, что псриодпчсскос решение, амплитуда которого показана па рис. 18.5, и, устойчиво (оно согп нетствуст автоколебаниям). Условимся факт устойчиво ти ш рподпческого решепги обозначать па графике вертикальными стрелками, сходящимися к данному периодическому ршпспню (риг. 18.12, а).
Этим обозначением иллюстрируется то, что переходи ыс процессы с обеих сторон Гт. е. с большими, чем а„, и с меньшими, чем иа, начальными амплитудаии) сходятся к антоколсбательному процессу с амплитудой аа. Пусть в данном случае Гг обозначает коэффициент передачи линейной части. График рис. 18.12, а показывает, что н системе возникают аятоколсбания цри л > г1,к Естественно сделать отсюда вывод о том, гто в области О < /г < lг, (где пег периодического ршцспня) данная система будет устойчива, что также обгхшэчепо на рис 18,12, и вертикальной стрелкой. Аналогичное заключен не для области О < я < )г,„можно сделать и н случае неустойчивого периодического решения па рис.
18.12, б, и в случае наличия двух периодических рсшспнй на рис. 18.12, в, одно пз которых устойчиво, другое нсустойчино. Если же автоколеГ>ания наблюдаются н области О < л < )г,р, как показано па рис. !8 12, г, то естсстясцпо предположить, что область Й > Ггч, будет областью неустойчивости данной пеле гей ной системы. Наконец, сели периодических решений для исследуемой нелинейной системы нс получается вовсе ци при каких значениях ее параметров, то согласно геометрическому способу определенна автоколсбаций (сы.
выше) получим, что криная Михайлова будет либо охватывать начало координат при нсяком значении и, либо пс охватывать его при всех и. Отсюда можно слслать вынод, что н первом случае данная нелинейная система устойчива, а во втором — неустойчива. Развитие, а также сравнение данного способа определения устойчивости ранцовесия нелинейной системы с методом Ляпуцона, покалывающее эффективность такого способа, см. н книге)72, Я 2.7-2.9]. 554 Нелинейныесистемы автоматического управления й 18.3. Примеры исследования нелинейных систем первого класса (Т„р и 1) р8 ** с' Е(1.), ~ де Г(л„) определяется графиком рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
