Бесекерский (950612), страница 104
Текст из файла (страница 104)
е, условия, не зависящие от формы нелинейности, но в более узких, чем (17 54) пределах, показанных на рис, 17.14, б. Точные аналитические методы исследования релейных систем рассмотрены в работах [ 67, 89, 95 ~ и др. Затем потребуем, чтобы выражение (17.74) ~Ри замене в уравнениях (17.78) Е(ха) -ах, гдеа-аь +Ьа, имело вид Глава17. Точные методы исследования устойчивости и автокояебаний 527 9 17.3. Частотный метод В. М. Попова Решение задачи об абсолютной устойчивости системы с одной однозначной пелиней пост ью (т.с.
устой чи вгкти при любой форме этой нелинейности со слабым о гран ичснием типа (17 54) или тина рис. 17.14) с помощью теорем прямого метода Ляпунова было проиллюстрировано на двух примерах в 9 17.2. Изложим тсперь частотный метод, предложенный румынским ученым В. М. Поповым ~691, прп использовании которого та же задача решается более просто приемами, аналогичными частотным способам исследования устойчивости линейных систем. Если в системе автоматического управления имеется лишь одна однозначная нелинейность у =- г (х), (17.81) то, объединив вместе все остальные (линейные) уравнения системы, можно всегда получить общее уравнение линейной части системы (рис. 17.15, а) в виде Я (р) х = — Л (р) у, (17.82) где 0(р)=аорь+а1р" '+-+а„~р+аь К( р) = Ьо р + 1й р ., + Ь, р+ Ььо причем будем считать т < и.
Пусть нелинейность у = Г(х) имеет любое очертание, пе выходящее за пределы заданного Угла агс18 Ьр(Рис. 17.15, б), т с. пРи л!обом х (17.83) О < Р(х) </зарх. Пусть многочлсн Я (р) или, что то же, характеристическое уравнение линейной части г2 (р) = О имеет все корни с отрицательными вещественными частями или жс кроме них имеется еще пе более двух нулевых корней. 1Чругими словами,допускается, чтобы а„- О или а„= О и а„, = О в выражении Я (р), т.с. не более двух нулевых полюсов в перелаточпой функции линейной части системы н(р) Фр) Приведем без доказательства формулировку теоремы В.
М. Попова: для установления устойчивости нелинейной с и от ежы достаточно подобрать такое конечное действительное чисво Ь, при котором при всех ш > О, 'ьне(1+ 7гой)йг()го)) + — > О, (17 84), 1 /гр 528 Нелинейные системыавтоыатическогоуправяения где Ис(/со) — ам»ыилсудсса-с/сссзоссая чаатигтпсая характеристика липеи пой чисти аисте чы При наличии одного нулевого полюса требуется еще, ч тобы 1щ И'(/со) — з — нри со — з О, а нри двух нулевых полюсах Кс И'(/то) — з — прн со-зО, а 1щ % (/со) <О при малыхин.
И *(со) =Кейт*0со) = КеИ'0ео), У'(со) =!а И'" Ца) = соТ !го И()со), (17.85) глс То -1 с — нормирующнй множитель. График И'" (/со) имеет вил (рнг. 17. ! 6, а), похожий на И'(но), когда нри отсутствии в И (р) пулевых полюсов в выражениях Я (р) н //(р) разность степеней и — т > 1. Гели жс разность степеней и — т " 1, за конец графика Ис" (/со) будет на мнимой осн ниже начала коорлинат(рнс.17 16,б), Преобразуем левую часть ис равенства (1781): ~Кс(! + ссо/с)й'( /со)1+ — = Ке Иг( /со) — со/с!ш И'( /со) + —, 1 1 /св /гв '1огла, положив И~» (/со) 17 (со)».
/1/ (со) и использовав соотношения (17.85), получим вместо(17.84) для теоремы В. М. Попова услоние (/ *(со) — — (/ *(со)+ — = (/ ' (со) — /со)с ' (со)+ — > О Т„ йв " йе (17.86) при всех со я О. Очевидно, что равенство 1 1/*(со) /со)' *(со)+ =О (1787) представляет уравнение прямой па нлос. кости Иг" (/св. Отсюда вытекает следую нсвя графи. ческая интерпретация теоремы В. М, По. нова: дяя уст апосьзессия усто йчиссасти яе- Теорема справедлива также и при наличии в знаменателе 0 (р) ~срелаточ ной функции линейной час ги не более двух чисто мнимых корней, но при о том требуются нс которые другие пйостые добавочные услония 12~, называемые услоннями предельной устойчивости. Другая формулировка той же теоремы, лающая улобную графическую ннтернрстанию, связана с внеденисм аидоиэмепеппои частотпссойха/сактеристики И" (/со), которая определяется следующим образом; Глава! 7.
Точные методы исследования устойчивости иавтоколебаиий 529 лияеигюй сисгпемы, достаточно подобрать такую прямую на плоскости 11г' (гто), проходящую через точку с 1 —,)О 1, чтобы, вся кривая 'иг" (гто) лежала справа от Аг ' этой прямой, На рнс. 17,17 показаны случаи выполнения тсорсмьг. В этих случаях нелинейная система устойчива при любой форме однозначной нелинейности, ограниченной лишь условием (17.83). На рис. 17.18 показаны случаи, когда теорема не выполнятся, т.
е. нелинейная система пе имеет абсолютной устойчивости. Заметим, что, например, в зада и о самолете с автопилотом (4 17 2) условис (1754) означает любое расположение нелинейной характеристики во всем первом (и третьем) квадранте. Во всех подобных случаях согласно рис. 17.15 имеем гг = . В теореме В.М. Попова при этом вместо (17.8г1) получаем условие Ке(1+ )гой)Вг(уо) > О, (17.88) а вместо (17,86) (17.89) П*(ю) — Ьсу*(ог) >О при всех ю > О.
Поэтому в графической интерпретации прямая должна проходить пе так, как показано па рис. 17. 17, а через начало координат. В частности, лля указанного примера(917.2) уравнения (17.63) можно преобразовать к виду у Г(хз), (1 + р) р хз = '1гр + (1 + г) р е у1у, где обозначено у - -рхто причем р — производная по т. Передаточная фупкпия линейной части системы будет гр ~ + (1+ г) р е у ь'(р) = р (1ер) Отсюда -гоге +)(1+ г)ю+у )к'(уо) = -оР(1+ гто) 530 Нелинейные системы автоматического управления Умножив числитель и знаменатель па 1 — !от, получим а 3 У+ ю 1 йг, (1+ Р— У)от+ гю -ота(1+оза)' -отз(1+отз) а согласно (17.85) 2 у+от -от (1+о!а)' (1ог-у)ы его 1+г-у+гтс 7о (г (17.90) Неравенство (17.89) принимает вил -(у+ отх) + Ьотз (1 + г — у + по~) > О.
(17.91) Очевидно, что зто неравенство может быть выполнено при любом от > О, если (17.92) 1. г — у>0 и если л берется сколь угодно большим, чтобы обеспечить неравенство (17.91) прн сколь угодно малых ш Полученное условие (17.92) выполняется при г>у-1, еслиу>1, г>0, если О<у<1, что точно совпадает с найденными ранее условиями абсолютной устойчивости данной системы (17.69) и (17.70). Смысл практической реализации этих условий' бтлл разъяснен в з 17.2. Графически критерий устойчивости выражается в том, что вся кривая И" (!то) = (7" (от) +ур" (ю), построенная согласно (17 90), расположена(рис.
17 19 а) справа от прямой Гт" — л г'" - О, обозначенной штрих-пунктиром, со сколь угодно малым наклоном, если 1 + г — у > О, Если же 1 + г — у < 0 (рис. 17.19, 6), то такую прямую провести невозможно и, следовательно, нелинейная система пе будет абсолютно устойчивой. Здесь был приведен простой пример, в котором условия устойчивости по методу В. М.
Попова выража- ются в общем буквенном виде. В боль- Глава 17. Точные методы исследования устойчивости и автоколебаний 531 9 \7.4. Исследование систем с переменной структурой 1'! онятис о системах с переменной структурой было дано в главе 2, а об нх уравнениях — в конце главы 16. Покажем методику исследования систем с переменной струк ту рой при отсутствии внешнего воздействия на примере системы второго порядка при линейном обьекте и линейных структурах управля|ошего устройства, так что нелинейность системы будет заключаться в автоматическом псреьцпочении этих структур.
Имея в виду второй порядок системы, используем изображение процессов на фазовой, плоскости, которое для линейных систем представлю ю было выше на рис. 16 8- 16.13. Рассмотрим систему (риг., 17 20), не облалакгщую при постоянной структуре собственной устойчивостью 1321. В самом дслс, если Ч' = сопле, то уравнение системы будет т( х —,+слх =0 г(гг и получатся н свату хающие колебания, изображаемые на фазовой плоскости концентрическими эллипсами (рис. 16.8).
лх Если же звену ~Л придать вид, как па рис. 16.27, глс х~ = — с переключением со- Й гласно формуле (16.71), где а = /с,, 8 лг, причем й, > л, > О, то получим уравнения системы ,(г —;+й/сх=О при х х>0, 1 1 (17.93) йгх — +/ггйх=О нри х~х<0. (гг (17.94) шинствс технических задач этого не получится. Олнако видно, что описшшый часто и ный критерий устойчивости В. М.
Попова лля систем с олной однозначной нслинсйностью в его графической форме может быть применен при любой сложности линейной части системы и численно запанпых коэффициентах уравнений. Более того, он может быть применен в случае, когда нс заланы уравнения, но известна экспсриментальпо снятая амплитудно-фазовая частотная характеристика линейной части иг(до). Чтобы установить устойчивость системы согласно рис. 17.17, Огата) надо перестроить в характеристику В'" (тгв), пол~ эуясь формулами (17.85). Очертание нелинейности может быть неизвестным. Необходимо лишь знать, в пределах какого угла (рис. 17.15) она расположена.
Для конкретно заданных форм нелинейности область устойчивости, вооб где говоря, будет несколько шире, но данным методом это не определяется (см. гл. 18). 532 Нелинейныесистемыавтоматического управления Первое из них будет действовать в первом н третьем квадрантах фазовой плоскости (рис. 17 21), а второе — в четвертом и втором квадрантах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
