Бесекерский (950612), страница 103
Текст из файла (страница 103)
функция / (хз) имеет все тс же свойства, что н заданная функция г ((/) (рис. 17.12, б), и отличается лишь маспп абом чертежа по оси абсцисс в связи с заменой переменной (/ на хз согласно третьему нз равенств (17.61). Установившийся процесс полета при данной системе согласно (17.55), (17,59), (17.60) и графику рис, 17.12, б будет иметь место при 5, х,=О, х,=О, !.т,,(с 7,/г,(г (17.66) чему соответствует любая точка отрезка АВ в фазовом пространстве (рис. 17.13, а).
При отыскании условий устойчивости рассмотрим два случаягу> 1 и О <у< !. Случай у > 1,ВозьмемфуцкциюЛяпуноваввиде — хг + 7' У(хз)г(хз. У вЂ” 1 г Т г 2 ' 2 (17.67) Здесь интеграл будет всегда положительным, так как функция Ях!) нечетная (см. условие (17.54)). Поэтому Несть знакооцрсдслсшшя положительная функция, если у > 1, обращагогцаяся в нуль на отрезке установишпегося процесса АВ (рнс. 17.13).
Поверхности 1'(хп хз, х!) - С окружают этот отрезок (рис, 17.13, б), стягиваясь к цсму с уменьшением С. Составим производную от функции Ляпунова: г7М д(г й;г дг' г(т~ дг' Ыхз гг'т дх, гй дх„г(т дхз г7т ' причем частные цроизводныс возьмем цз (17.67), а производные по безразмерному времени — из уравнений системы (17,63).
Тогда Чг = — (7 — 1)х, + (7-1) хатха ) - ухайха ) + г (хз ) [ (7 — 1) х, + уха - ггг(хт )1. Представим это в виде И'=-(у — 1)[у(хз)-хг[ -(г-уч-1)[Дхз)1 . (17,68) Эта функция й" зцакопостояппая, так как оца нс включает в себя координату хг а потому обращается в нуль нс только на отрезке установившегося процесса АВ, а ца всей полосе шиРиной АВ в плоскости хзх, (Рис.
17.13, е). Но вне этой полосы согласно (17.68) она будет вски!у отрицательной цри г > у — 1, если у > 1. (17 69) 522 Нелинейные системыавтомапиескаъ управления т.е. наличие зоны застоя двигателя приводит к тому. что в установившемся процессе курсовой угол может принять любое постоянное значение в пределах (17.65). В новых перемецных (17,6!) установившийся процесс полета определяется значениями.' Глава 17. Точные методы исследования устойчивости и автоколебаний 523 !)сотому согласно теореме Ляпунова об устойчивости выражение (17,69) являет- ся достаточным условием устойчивости рассматриваемой нелинейной системы само- лета с курсовым автопилотом (при любой кривизне и любом наклоне характеристики двигателя, имскнцей вил рис. 17.12, б), Траектория изобралкающсй точки М оулет пересекать поверхности Р= С извне Лг внутрь везле, гле И» = — < О.
!!ужио только проверить, ие «застрянет» ли изображаюг7г щая точка М там, глс 11' обращается в нуль (помимо отрезка установившегося процесса АВ). В даипом случае речь влет о том, не останется ли изображающая точка на полосе (показанопй па рнс. 17.13, в), ~ лс И' = О, если она случайно на иее попадет.
Для рещсння етого вопроса найдем ироскции скорости изображаюл1ей точки М вЂ”, — ', — ', когда зта точка иахолится в любом месте указанной иолосы. ПоНх~ г(хг Нх,, Ыт о'т с(т скольк)' там х, =О, !хз!<, .7(хз)=0, Ь~ 7;1ф„„ то искомые проекции скорости согласно (17.63) булут дх ! т(хг г7хг — =О, — =О, ==ухе, г(т т(т Ыт Таким образом, если изображающая точка М попадет иа указанную полосу вне отрезка ЛВ (рис.
17. 13, в), то она пе останется в ией, а пройдет ее поперек по прямой, паРаллельной осн хм с постоЯииой скоРостью, Равной Тхг как иоказа~о ст Рслкамн иа рис. 173 3, е. Пройдя полосу, изображакщгая точка снова булст пересекать поверхности 'г' = С извне внутрь, т. е. данная система управления будет устойчивой. Сл у ча й 0 < 7 < 1.Для зтогослучая возьмемфуикциюЛяпуиовавниде (Г = — х, + — хг !з /(хз)Нхз.
1 — У.г 7 г 2 ' 2 Производная от иее булет В'= — =-(1-7)х, — гЯхз)] . о1 г г ~ут Отсюда аналогично предыдущему приходим к достаточному условию усг ойчивости системы в вилс г> О, если 0<7< 1. (17.70) О б л1и й в ы в о л. Полученные в данной задачелостаточныс условия устойчивости (17 69) и (17 70) после подстановки выражений 7 и г через параметры системы (17.64) принимают вил соответственно л >(7;А„-й„~)Йо если л <7;Йч, )г . >О, если 7г„„<ТИч.
524 Негмнейныесистемыавтомшическогоуправяения Первое из этих условий устойчивости говорит о том, что передаточное число обратной связи надо сделать достаточно бал ьншм, если производная р~к введена в алгоритм управления псдг)статочно интенсивно. Из второго же условия устойчивое ги следует, что система будет устойчива нри;побой обратной связи, если передаточное число цо произвол~ юй достаточно велико. Как видим, данные условия устойчивости нс зависят от формы характсристнки двигателя (рнс. 17.12, б), т.
с. опи одинаковы ври любой кривизне, любом наклоне и любой зоне застоя (в том числе и г~ри однозначной релейной характеристике двигате. ля постоя иной хкорости, а также и ори линейной характеристике). Та кис условия называются условиями абсолготнойусглойчивости. Они гарантируют, что при их выполнении система будет наверняка устойчива нри любой нелинейности с ограничением лишь (17 54).
В действительности жс система может быть устойчивой и в неког орой области за пределами этих условий устойчивости цри конкретно заданной форме нелинейности (схг. гл, 18). Пример учета нелинейности измерителя управляемой величины. На основании вышеизложенных теорем Ляпунова М. А. Лйзсрмаи показал, что сели уравнение системыы содержит нелинейность Ых, — нных, +агхг+,.ч.аых„+ Е(хь),1 ~Ь~ нг гт! ~ дггхг ~ - + дг~ А~ (17.71) ~~л =дысх1+" гхг+ ..+а„„х„, где Г(хД вЂ” однозначная нелинейная функция, обрашаюшаяся в нуль при хе = О, а А— любое целое число из 1, 2,..., н, то для устойчивости системы досг аточно, чтобы для ли ива ризованной системы (17 71) ври замене Е(хь) - ахь можно было построить функцию Ляпунова У, производная от которой )У является знакоопредслс иной отрицательной функцией при любом значении сс в и нтсрвале д, < а < дг, если кривая Е(хь ) лежит между прямыми Е'" а,хв и Е- агхь как изображено, например, на рис.
17.14, а. Пусть, например, в прежней системе самолета с курсовым автопилотом (рис.17.12, а) уравнение объекта имеет вид (17.55), привод руля имеет линейную характеристику рб = йз(( но потеиниометр чувствительного элемента! (измерителя управляемой величины ~К) имое г нелинейную характеристику, в результате чего получается нелинейное уравнение автопилота рб = Г(чг) + й„рчг — lг„,б, (17.72) Глава 17.
Точные методы исследования устойчивости и автоколебаний 525 где 1рд = 63ЬА Ь к = Ьтйтйз а г (л~) — нелинейная функция, например, вида рис. 17.14, б. Введем обозначения переменных; х, = -5, Тогда уравнения автопилота (17,72) и самолета (17,55) примут вид (17,71), а именно: рх, = — 1г„,.х, -Ьлчхз -р(хг), рхг =ха ~~| 1 рх = — 'х, — — „хз. 1; 1; (17.73) Зададимся функцией Ув виде 1 г 1 г 1 г Р = — Ь х, +-6гх, + — Ь ха +6 гххг+6гзхх, +Ьг„хгхз, 2 2 2 ' где все ~несть коэффициентов 6 неизвестны. Потребуем, чтобы функция ар а~~ ар 11' = — рх, + — рхг + — ттхч ах, ' Вхг ' ахз (17.74) при фиксированном значении Р(хг) = аехг в уравнениях (17.73) имела вид )та = (х~ +хг+хэ). г з (17.75) Тогда путем приравпивания соот.встствующих коэффициентов выражений (17.74) и (17.75) можно найти всс шесть величии Ь пз системы шести алгебраических уравнении.
Здесь приводится результат рен~сиия только для трех коэффициентов, которые понадобятся в дальнейшем, а имс и но: 61 6!г 153 Р, 1 Рш оа ооР (17.76) где Р=(7;Ь, +1)(Ь, +йети)-ас67п Й т ооА%6лч+Ь~)+%6 +1)(по+А) 1!3 =71(нс(73ос ' 1~~сй! Ьлч)+Ьцс(7$6к ' 1)1. (17.77) 526 Нелинейные системы автоматического управления йг = — (с, х1 + ст хт + сз хз ь 2 с, тх хз + 2 с эт х1 +2 стзхэхз), 2 2 3 что дает значения: с~ = сз = 1, с, = (4 тЬа -~- 1, 2сы = -Ь,Ьа, 2сю —— О, 2схз = ЬюЬа (17. 78) Функция Й'будет знакооцределснпой отрицательной, как требуется по условию, если 2 з 2 з сз>0, сзс„— сю >О, с,сзсз+2смс1зсю -с,сз„— стсгз — сзст >О. Эти неравенства с учетом (17.78) приводятся к следующему: бз 1,2 Подставив сюда (17.76), увидим, что зто условие выполняется, если Ьа лежит в интервале Ьа, < Ьа < Ьаз где 12 7)2 Рз (17.79) откуда видно, что Ьа, < 0 и Ьат > О.
При этом трсбуется сщс О > О. Нетрудно проверить, что последнее требование совпадает с критерием устойчивости (ем. 6 6.2) для данной системы в линеаризованном виде при замене Р(д) - азу (рис. 17.14. б), так как харак- теристическое уравнение согласно (17.55) и (17.72) в этом случае будет 7ив +(Тй, +1)о +(й„с+Ар„,/~,)р-ьалй~ =О. (17.80) Итак, для устойчивости рассматриваемой нелинейной системы достаточно, вопервых, чтобы выполнялся критерий устойчивости Гурвица Р > 0 для линеаризованной системы цри г(у) = айаг и, во-вторых, чтобы нелинейная характеристика Г(М измерителя управляемой величины лежала, как указано на Рис.
17.14, б, между прямыми г-а Чг и г аУР, нРичем а, аз+ Ьана2 = ал еЬазгдсзначениЯЬа, зопРсделлкггсл формулой (17 79), в которой величины Р, Оо 0,з согласно (17 77) выражаются через паРаметры данной системы и через первоначально принятое значение аз при лгнюари зац и г (1г') = аешь Как и в цредыдущсгн примере, здесь получаются условия абсолюглной устойчиво сти, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
