Бесекерский (950612), страница 101
Текст из файла (страница 101)
Лмплитуда жс а! определяется как ординат а пересечения кривой предельного никла < прямой у = lтэх(ибо, как было показано ранее, в точках этой прямой касатслы!ые к фазовым траекториям горизонтальны). Из чертежа (рис, 17,4) видно, что прслсльный цикл лежит лсвсс точки ! н охватывает точ ку С. Поэтому хс < и!г < х„т. е, амплитуда автокол оба ний напряжения закл хи чена в интервале ! +!3 < "и < !тг тдс а и т! определяются формулами (17 34); ам ил!пула жс ал будет немного больше!!. г П р и м е р 5.?'ассмотрим сэюлящую систему с сухим трением в управляемом объекте, лля которой уравнения были написань! в 9 16 3. Уравнение объекта(16 52) как нелинейного звена при отсутствии линейного трепля (сг = 0) нмсст вид „/р !3+се!Нп р(3=с!(„ири 743 иО нли !гД =0 ц !1„)> —, э с с, (17.39) с О=сола! нрн р!3=0 и '!', ~с —.
е, При написании уравнения линейной части системы ( ! 6 53) пренебрежем постояннымии времени (чтобы иметь возможность рассматривать уравнение всей системы как уравнение второго порядка), а именно: „= — (!то р э )т) р. Подставив это в уравнения объекта (1739) и обозначив с! с,тг с тг!= — Йл, аг= —, Ь!= —, ,! ' (17.40) получим уравнение всей следяшей системы в целом: (р'+а!р ч-аг) )3= -Ь! в!яп рВ при рбиО нлп при р!3=0 и ~В~> — (174!) г с ! (3=сонэ! прн )!5=0 и!Р!< —. с с!л (! 7.4!2) Определить фазову ю траектория>, образую!дую этот прелел ьн ый пикл, можно как такую кривун! (17.33), у которой Глава 17.
Точные методы исследования устойчивости и автохолебаний 513 За координаты фазовой плоскости примем, как обыч- но, х = 13. у = р!3. Условие у = О и при котором соглас- с,у но(17.42) будет (3 = <.опэт, <. с система бу<<ст в равновесии, изображается па фазовой пл<х— кости отрезком ЛВ (рис. 17.5). Вне этого отрезка согласно (17.41) необхолимо отдельно рассмотреть два случая: у = р)3 > О и у = рб < О, т. е. верхшо<о и нижн<о<о половины фазовой плоскости. При у < О из (17А!) имеем (р +а,р+аз)х=бе (17АЗ) Ь< Это уразпсппс совпадает с ураннеписм (16.23), но со сдвигом на величину х = < 'Следовательно, ниже осп х надо нанести такис жс кривыс, как на рис.
16.9, б (сели '< < а, < 4аз) или как па рпс. 16.11, б (сели а, > 4аз), но со сдвигом начала координат в точку Л, что и сделано на рис. 17.5, а и бсоответствснпо. Лпалогичпые кри лыс наносятся и вь<шс осп х, но только со сднигом начала координат в точку В (рис. 175). так как согласно (! 7А1) при у > О имеем уравнение (р +а<рч-аз)х -Ье (17.44) В обоих случаях (рис.
17.5, и и б) система устойчива, причем в первом случае переходный процесс состоит нз конечного числа затухаю<них колебаний, а во втором случае их<сет(апсриодическое ли<!жение. Положение равновесия объекта определяется неоднозначно, он может остановиться в л<обой точке особого отрезка ЛВ (рнс, 17 5), как это было уже раисе при наличии зоны нечувствительности (см. пример 1).
Особый отрезок ЛВ определяется соотношением ~ Мч! - )с<< „! < с, где с — абсолютнос значение момента сухого трения при движении управляемого объекта. Заметим, что произведенное здесь упрощение уравнений системы хотя и позволило рсп<нть их точно, но зто решение, дающее в результате устойчивость системы при лн<бых числовых значениях параметров системы, неполно отражает действ ительну<о картину явлений вданной нелипсйнойсистемс, Й 17.2.
Теоремы прямого метода Ляпунова и их применение Предварительно замети л<, ч го прп изложении прямого метода Ляпунова, именуемого также второй мст<шой Ляпунова, будем пользоваться дифференциальными уравнениями автоматической системы в форме уравнений первого порядка, или уравнс- 514 Нелинейныесистемыавтоматическогоупрааяения ний состояния, полагая, что они записаны лля цереходного процесса в отклонениях всех переменных от их значений в установившемся процессе при новых постоянных значениях возму щакицсгот - /с и задах>щего т(- йс возлействий. Следовательно, зтн уравнения для нелинейной сиш емы и-го порядка будут: г(х> = Х>(х>,хз,...,х„), г(г олз — =Хт(-т> хз -"-г„) >тг (17.45) — "=Х (хох,, йк ), » где функции Х, Хм..., Х„произвольны и содержат любого вила нелинейности, но всегда удовлетворяют уело в>ию Х, - Хз —...
= Х„- О нри х, = х> -... = х„= О, (17.4б) так как в установившемся состоянии все отклонения переменных и нх производные равны, очсвилцо, нулю но самому определению понятия этих отклонений. Наьт понадобятся в дальнейшем еще следующие сведения. Понятие о знакоопределенных, знакопостоянных и знакоперсменных функциях. Пусть имеется функция нескольких переменных У= У(хою„..., х„). Представим себе л-хтернос фазовос пространство (см. В 16.1), в котором л >, хз..., х„являются прямоугольнымн координатами (зто будут, в частности, фазовая плос- кость при п = 2 и обычнос трехмерное пространство цри п = 3). Тогда в ка кдой точке указанного пространства функция У будет иметь некоторое определенное значение. Пам понадобятся в дальнейшем функции У(хц хв..., х,), которые обращаются в цуль в начале координат (т.
е, при х, — хз =... = х„- 0) и непрерывны в нскоторой области вокруг него. Функ>4ия У называется знгткаоиределеяной в некоторой области, если она во всех точках атой области вокруг начала координат сохраняет один и тот же знак и нигде не обращается в нуль, кроме только самого началз координат. Фу>тхттия У называется знихопосл>оянной, если оца сохраняет один и тот же знак, но может обращаться в нуль не только в цачалс координат, но и в других точках данной области, Функция У назывигттся дни холере иенлой, если она в данной области вокруг начала координат может иметь разные знаки.
г Приведем примеры всех трех типов функций У. Пусть и - 2 и У- х, +хз. Это булет знакоопрсделсш>ая (положительная) функция, так как У=- 0 только тогла, когда одновременно х = 0 и х = О, и У> 0 цри всех вещественных значениях л, и лз. А>тало з т гично пРи л>обом п фУнкциЯ У= т> +да+.,.х„бУЛет з~акоопРсЛслешюй полоз<и тельной, а У = -(х, + хт е...х„) — знакоопрелеленной отрицательной. .2 2 2 Глава 17. Точные мепцЕм исследования устойчивости и аатокояебаяий 515 Если взять функцию У=х, +х2 при 2 2 и = 3, то опа уже не булст знакоопрсделеп ной, так как, оставаясь положительной при любых хп х2 и хз опа может обРащатьса в пУль нс только при х, -х, =-хз = О, но также и при любом значении хж если х, =- х2 = О (т.
е. на всей оси х'ь рис. 17.9, а). Следовательно, это будет зпакопостоянная (положительная) функция. Наконец, функция У = х, + х2 булст знаконеремеппой. так как опа положительна лля всск точек плоскости справа от прямой хе -х2 (рис.!7 9, б) н отрицательна слева от этой прямой. Заметим, что в некоторых частных залачах нам понадобится также функция У, которая обращается в нуль не в начале координат, а на зааапном конечном отрезке Ае2 (рис. 17 9, в).
Тогда знакоопределеппость функции Убулет обозначать ее неизлееннеяй знак и необращспие в нуль в некоторой области вокруг этого отрсзка. Функция Ляпунова и ее производная по времени. Любую функцию У= У(хах2,, Х. ) (17А7) тождсствснно обраецаео~цуюся в нуль при х, = хе = ... -х„О, будем называть функцией Ляпунова, сели в пей в качсствс велич инхп х2, ..., х„взяты те отклонения переменных в п срехопном процессе Х~ Х| (Е), Х2 Х2 (Е), ..., Хц = Ха (Е), в которых записываются уравнения (17А5) для этой системы. Производная от функции Ляпунова (17А7) по времени булет ееУ дУ е(х, ЭУ ИХ2 дУ еЕХ„ — = — — + — — + + —— еее дх, еее дх еее дх„е(е ' (17.48) Их~ пх, Попставив сеода значспия — ...
из заданных уравнсний система в общем ЭЕ ' ЕЕ случае (17А5), получим пронзводпуео от фупкпии Ляпунова по времени в виде е(У ЭУ дУ дУ вЂ” = — Х, + — Х2+...+ — Х„, Эх, Эх Эх„ (17А9) тле Хп Х2,..., Մ— правые части уравнений (1?А5), представляющие собой задапныс функции от отклонений хох2,...,х„. Слеловательно, производная от функции Ляпунова по времени, также как и сама У, является некоторой функцией отклонений, т.
с. ЕЕ'У вЂ” = )У(хихз,...,х„), Е(Е (17.50) 515 Нелинейныесистемыавтоматическогоуправления ат, = Х1(х1 хгскз) дг д г Л г (хц хг ' хз ) ' дг дхэ — = Хз(хохг,хз). дс (17.51) Возьмем знакоопределен пуго цоложнтелыгую функцию Ляпунова в виде у=а х, +6 хг+с хз, гг, гг,гг (17.52) глс и, Ь, с — произвольно заданные вещественные числа. Будем прцлавать величине 1 возрастающие постоянные значения: гг= О, Сц Сг Сз ..., что означает сггхг+бгхг+сгхг О а хг+Ьг г+с х — С агхг+бгхг+сгхг =С, 1 г 3 г причем согласно свойству (17А6) ага функция иг, так же как и сама 1', тожлсственно обращается в нуль при хг -хг - ...
-х„= О. Поэтому к цсй волццаковой стсцсци можцо применять все те жс понятия зцакооцрсясленцсюти, знакопосгоя истаа и знакоцеремен. ности в некоторой облабти вокруг начала координат, о которых говорилось вьцце по отношению кфуцкции К Здесь шла речь только оо уравнениях (нелинейных), в которые нс входит в явном виде время г, так как только этот случай булст рассматриваться в пал ьнсйшем. Вообще жс метод Ляпунова может применяться и цри наличии времени е в явном виде, в частности Лля уравнений с переменными коаффицисцтами (линейных и пели нсйцых).
Базируясь на этих предварительных г ведениях, ладим общую формулировку теорем Ляпунова об устойчивости и неустойчивости нелинейных систем и покажем их справедливость. Теоремы эти годятся для цсслеловацня устойчивости систем управления не только при малых, цо и при болыцих отклонениях, соли для них справедливы исходные уравнения данной системы управления. Устойчивость системы прп лк>бых больших начальных отклонениях называется коротко — устойчивостью ецелом. Теорема Ляпунова об устойчивости нелинейных систем. Теорема чюрмулирустся следующим образом: если при зади пиых е форме (1 7 А 5) ури анен икх системы п-со поРлдка можно подобРать такУю знакоопРеделеннУю с(гУггкцию ЛлпУноеа Ъг(хо хг,...,х„), чгпобы ее произеодпия по времени И' (хь хг,..., х„) пгоже была зникоопределенной (или знакопостоянкой), но икела знак, противоположный знаку 1', то данная система устойчива.
При зцакоопрелслеццой функции нгбудет иметь место асимптотичсская устойчивость, Проиллюстрирусм сцраведливосз ь этой тсорсмы ца наглядных геометрических образах. Для простоты возьмем систему третьего порядка (и - 3). Уравнения (17А5) для нсе в щгщем аиде будут !"лава17. Точные методы исследования устойчивости и автоколебаний 517 Первое из этих выражений соответствует одной точке х, = хя - х„= 0 (началу координат фазового пр<>стран<тва), а остальные — поверхностям элли цсоидов в фазовом пространстве, причем каждый последукшпсй эллипсоил га>держит внутри себя целиком прсдыду<ций (рис. 17.10).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
