Бесекерский (950612), страница 96
Текст из файла (страница 96)
С л у ч а й 1. Б первом случае получаются, как извест~ю, незатухагоп!ие колебания (рис, 16.8, и) ох х = А ейп (юг + !3), у = — = шЛ сов (сгг. 1)), гв = .„Iа, ог и г (16.26) с постоя ппой амплитудой А и начальной фазой р, которые зависят от начал ьпых усло- вий. Для фазовой плоскости уравнения (16,26) представая 1от собой параметрические уравнения зллипса с полуосямпЛ и гоЛ (рис.! 6 8.
б). Уравпсппс эллипса г уг — ', «- —,=! Л- (гсА)' 484 Неяииейныесисгемыавтомагического управления можно получить непосредствен- ным решением лиффсреипиаль ного уравнения фаювы х траскто. г рий (16.25) при а, = 0 и аг = сг причем Л -- произвольная посто яппая интегрирования. Глава !6.Соотавлениеуравненийнелинейныхсистемавтоматичесхогоуправления 465 1'! так, псриодпчгс опи колебаниям системы (рпс, 16.8, и) соотнсгстнуст лвпжспис изображщоп!сй точки по замкнутой кривой (рис.
16.8, 6), Сз у чай 2.Взтомслуие (комплсксиыс корни с отрипательпымп всщс< твсппымп частями), как известно, цмеюг место затухало п)щ колсбаппя (рпс 16.9, а) х=Ае гйп(си тб), у= — Г)Ае ы сох(с!г+!)+6), Й глс гх= —, щ= аз — ~ —, у=Я, Ь=агсгй —, 2' ~2у'' ' оз' а произвольные постоя цныс А ~ ~ 6 опрслсля ются пз начал ьпых условий: х=хо .~-!уо- хо при 1=.О.
Зпачепия хи у не возврап!аются за период колеоапия к прежним, а становятся ыспгипе.!)то даст на фазовой плоскости (х, у) кривую (рпс. 16.9, б), которая за один оборот не иозврап!естся в прсжпкпо точку Мо, а подходит ближе к началу координат. Итак, затулагощим колебаниям системы (рис. 16 9, а) отвечают фазовыс т раекторпп в виде спиралей, по которым изображающая точка приближается к началу коорлипат ( рис. 16.9, б). С з у ч а й 3.,"-)тгп лоуча!! (комплскспыс корпи с положительными вещественными частями) соотвс гствуст расходящимся колебаниям (рис.
16.10, а). Рассуждая апа:пл ичпо предыду!псму, получим вскз совокупность возможных фазовых траекторий толи в виде спиралей, ~о только изоб!ражающая точка бутст двигаться по ним пс к началу кос!и!пцаг, вот пего (рис. 16.10, б). С л у ч а й 4. Эгоз случай (вещественные отршгатсльпыс корпи) соответствует апериоличсскому процессу х С е-ап чС е-ав 1 2' гаях „,, (16.27) У = — =-и С е оп -а С.е ои, г а где о1 о1 аьа= — * ! — -ах 2 !14 486 Нелинейные системы автоматического управления На рис. 16.! 1, а показаны два возможных вариапта (кривые 1 и 2) протекания такого процесса. Легко випе гь, что па фазовой плоскости (х, у) зто изобразится кривыми 1 и 2 соответственно (рис. 16.11, б), так как в»срвом варианте всс время х > О и у < О, а во втором вариацтс знаки х и у меняются по одному рази 1раницы областсй 1 и 2 прслставляют собой прямые у = -а,х и у = — азх получающиеся из урав пений (! 6 27) соответственно при аз = О и цри а, = О (обращение одного из корней в нуль).
В отличие от прежнего зисов все фазовыс траекз ории вливаются непосредственно в начало коорлинат О фазовой плоскости. Олпако изображакицая точка М не попадает в начало координат в коцсчпос время, а приближастся асимптотичсски. Итак, затухающим апериодическим процессам в системе отвечают фазовые траектории, вливающиеся в начало координат. С л у ч а й 5.
Этот случай (вещественные положите.чьпыс корни) соотвстствует также апсриодичсскому процессу, опрслслясмому теми же уравнсниями (16.27), по Ори гх, < О и аа < О. Аналогично предыдущему получаем кривыс цроцещ а и фазовые траектории, изобра;ксп ные па рис, 16 12. С л у ч а й 6. В этом случас (вещественные корни разных знаков) также имеет место апсриодический процесс (16 2?) (рис. 16 13, а), где и, паз имеют разныс знаки, по картина фазовых траекторий здесь иная.
Так как аз < О, то введем обозначение гк = — ам причем для простоты построений рассмотрим случай а, = О, что соответствует з <~у согласно (16.23) уравнению системы — — гк х = О и согласно (! 625) — уравпепию Тг фазовых траекторий ~ =аз — (1628) (г у' Интегрирование последних аналогично случаю 1 лает хз уа , =1, т.е.ссмсйствоги- С' (иС)з псрбол, изображенное па ряс 16.13, б. Направления движения изоб ражающсй точки М по фазов™ траекториям, показанные па рис 16.13, 6, легко опрелеляю~сл в Глава!6, Составление уравнений нелинейных систем автоматического управления 487 каждой четверти плоскости но з и ак у Ыу/гух (16.28).
Аналогичная картина фазовых траекторий получится в данном случае и прн а, ~ О. Итак, расходящимся апериолическим процессам в системе отвечают фазовыс траектории типа рис. 16.12, б илн типа рис. 16.13, б, причем изображаюгцая точка, двигаясь по ним, в конечном итоге удаляется от начала координат. Особые точки. В точках, которые соответствуктт устан получаем согласно (16.25) неопределенное выражение овнвшемуся состоятгию, тур Я Йт тух ' 0 Особые линии для нелинейных систем. Реальные системы автоматического управления можно считать линейными чаще всего в ~~редположеггни малости отклонений переменных от их значений в определенном установнвп~екгся состоянии.
За прелелами указанной области вследствие значительного отклонения характеристик от линейных картина фазовых траекторий может сильно измениться и стать качественно иной. В частности, если по линейной теории система оказывается неустойчивой н процесс начинает расхолиться, то может оказаться, что нз-за фактической нелинейности характеристик он нс будет расходящимся неограниченно. Амплитуда расхолящнхся колебаний может увеличиваться только до определенного значения, а затем оставаться постоянной, т. е, неустойчивая линейная автоматическая система как бы превращается в устойчивую нелинейную автоколебательную систему (система «генерирует» устойчивые колебания опрелеленной формы). Картина фазовых траекторий для такой сгистемы изображена на рнс, 16.14, а. Здесь вблизи начала координат получаются спирали, как в неустойчивой линейной системс (1нтс.
16.10, б), но далее все опн расходятся не до бесконечности, а приближаются т.с. неопределенное направление касательных к интегральным кривым (фазовым траекториям). Такие точки называются особыми точками, причем для них сугцествует следующая классификация: а) особые то гни тина точки О на рис, 16 8, б н азы вакп ся центрами, б) особые точки типа рнс. 16,9, б называются устойчивыми фокусами, в) особгве точки типа рпс. 16.10, б называются неустойчивыми фокусами, г) особые точки типа рис. 16.11, 6 называются устойчивыми узламн, д) особые точки тина рис.
16,12, 6 называготся неустойчивыми узлами, е) особые точки типа рис. 16.13, 6 называются седлами (седло всегла неустойчиво). 488 Нелинейные системыавтоматическогоуправления асимптоти чески к некоторому замкнутому контуру ограниченных размеров, как показано па рпг. 16.14, и. К нему жс приближа<озся и все сииралц, находящиеся впе контура. Это соответствует картине процессов воврсмсии, изображенной па рис. 16.3, и '1акого вида замкнутый коитур, представляющий собой паиболсс важный для теории тип <юобых линий на фазовой плоскости, называется устойчивы и предельнымм циклом. Устойчивый ирсдсльпый цикл соотвептвуст автоколебаниям системы.
Размеры предельного цикла А и В (рис. 16.14, и) представляют аъ< влит уды колебаний самой величины х и скорост~ сс «х изыспепп5< у= —. Для <1< определения псриодаавг<нолебаппй иапо обратиться к решен шо уравпспий во врсмспп. Сзуча<о устойчивости системы «н малом» и неустойчивости «в большом» (рпс, 1Гх3, б) соответствует картина фазовых траекторий, изображенная на рис. 16,14, б. Граница начальных условий, до которой сигтемаустойчива, имеет чаще всего па фазовой плоскости вид неустойчивого предел< пото ппкла как на рис.
16.14, б, от которого в обе стороны улаля<огся спиралсвплные фазовыс траектории. Это — второй важный тип особых линий, онрсделя<ощий устойчпвост< системы «в малом» и пеустойчивость «вболыпом». Заметим, что в атом случае моха,т быть гакже с<це более удалецпый устойчивы<' предельный цикл (рпс. 16.14, е), соотвстстнующий автоколебаниям с большой амплп тудой. Это соответствует пропсс< ам во времени, пзображснпым па рис. 16,3, г. Такпс жс при пи и и иальп ыс качественпыс пзмепсппя карт>ш ы фазовь<х траекторий при поста точно больших откл<шсниях мо< у< цаблюда< ься и и случаях апсриоличсских проц<с сов (рис. 16.12, 6 и 16.13, б), вкчн<чая превращения их в колсбательиыс и наоборот 11апрпмср, картине процессов во времени, показанной на рпс.
163, в, соответствует картина фазовых траекторий па рис. 16.14, е. Глава 16. Составление уравнений нелинейных систем автоматического управления 489 <<0 х=0 ц у= сг'< (16.29) 1! ели у > О, то согласно (16.! 0) и рис. 16А, а цсрсклгочецие управляющего устройс-гва происходит ври 0= «0(ливня ГГ парис. 16,15); если же у< О,то при В = -Ь (лишгя СН).
Справа отлипни цереклгочсция ЕГСНсправсдливо уравггецис системы (16.12), а слева — (16.13). Уравнение (16 12) в обозначениях (16 29) примет вцд <(х, с(у у = — ', Г< — + у = -с<с с, Й' '<0 откуда получаем дифференциал ьцос уравненцс фазовых траекторий <л< 1 /~с 1;у' ( 16,30) Апалогичгсо для системы, находящейся согласно лицесшой теории ца границе ус.
тойчивости (при чисто ми имых корцях), картина фазовых траекторий, изображен<<а»< ца рцс. 16 8, б, может иметь место лишь вблизи состояния установившегося режима О. При больцшх отклонениях, если линейность характеристик звеньев системы царуцыется, картина фазовых траекторий булет другой. Один из возможных вариаг<тов измсцецця фазовых траекторий при боггыцих отклоцсциях в этом случае показан ца рцс. 16.14, к Здесь, кроме особой точки О типа центра, появляются два седла С, и Сь ч.го цриводцт фактически к неустойчивости системы.
Но чожст иметь место и устойчивый предельный цикл. Особыслиции такого типа, как С<А<Сз и СзЛзС< (рис 16 14, г), ца фазовой плоскости называются сецаратрисами (трстий тип особых линий). Огобыс л или и более сложного очертания рассматриваться це булут. Здесь говорилось пока о системах, которые цри малых «тклоцсццях рассматрива<отся как линейные. Но совершен цо аналогичная картина получается и для таких нелинейных систем автоматического управления, которые лаже «в малом» нельзя рассматривать как лицейцыс. Таковыми являются мцогочисл<"иные типы релсйцых систем, атака<с системы с зоной всчувствцтсльпости, с гистерезисцой истлей, с сухим трением, с зазором. Интересно отметить, что цекоторыс из таких сцстси скорее, в большом», чем «в малом», могут приближаться к линейным, когда зова цсчувствительцости или зазор о<сазывакг<ся малглми но сравнению с величиной отклонений х, В системах с зоной нечувствительности и с сухим трением существуют, как известно, области застоя, когда уставов цвшемуся состояци го при данных внешних условиях (данной нагрузке) соответствует цс одна точка, а целая область возможных равновесных состояний системы.
На фазовой цлоскости зто вьгражаст< я в том, что особая гочка вытягивается в особый отрезок (рис.!6.14, 0). Заметим, наконец, что координатами (х, у) фазовой цлоскостц могут служить це обязательно отклонения управляемой величины и скорость сс, как было вьпцс, аз<я этой цели могут быть взяты лгобые лвс цсрсмеццыс, одцозцачцо харакгсризу<оггсис состояние системы в < орого поря гка в произвольный момент времеви. П р и м е р. Изобразим на фазовой плоскости переходный процесс и автоколебаиия.в системс стабилизации температуры, рассмотренной вьцце. Коордцггатьг фазовой плоскости буду< Л90 Нелинейные системы автоматического управления Интегрирование его даст х-ИсТ, !ц !У+(,с~ — ТУч Со (1631) где С, — произвольная постоянная.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
