Бесекерский (950612), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Зададим начальиыс условия процесса: <р-О, <о-соо при с =О. ишкй, что по углу <р фазовая плоскость ограничепа зиачсниями чя и -я, так как это составляет олин п<>ли ый оборот тела (рис. 17 2). Изобразим процссс управления иа фазовой плоасости. Уравиенис всей системы согласно (17.11) и (17.12) будет 506 Нелинейиь>есистемы автоматическогоуправления с> = сопзс - с><>. Этот участок движения с постоянной скоростью заканчивается в точке 1 (рис. 17 2), где происходит вкл >оч ение исполнительного органа (Ф = — 1).
Следовательно, для второго участка процесса (после точки 1) из(17.15) получим уравнение фазовой траекто- рии <о = ге,> — 2г(>р — Ь), т (17,16) так как в на гальпой точке 1 этого участка >ра = Ь, со„= сом сРазовая траектория (17.16) — парабола, ось которои совпадает с ось>о >р. >' »'>л Это соответствует равпозамедлепномудвижению ~, = с~. Изображая парабо> г>2 /' лу графически, доводим ее до границы Ф = л(участок 1-2 на рис.
17 2), причем в точке 2 согласно (17.16) (17. 17) Это значение переносим в точку 2' (для врапшкяцегося тела Ф = >-и — ато одна и та же точка). Здесь происходит выключение исполпителшнжо органа (Ф = 0). 11озтому дальнейшее лвижеп не согласно (17. 15) пойдет с постоянной скоростью ш = сопят - ше до точки 3 (рис. 17.2).
Таким образом, в рассмотренной начальной части процесса управления тело совершило один полный оборот, но в конце этого оборота скоросгь вра>пения его стала >иеньше начальной. В точке 3 снова включается исполнительный орган (Ф = — 1), в результате чего фазовая траектория будет со = о>> — 2с(Ф вЂ” Ь), г (17.18) так как в точке 3 ср„= Ь, а>„= сеэ Допустим, что соответствующая уравнению (17.18) парабола 3 — 4 не доходит до границы е> = я.
Это означает, что телобольше не совершит полного оборота, а начнет (с точки А) возвращаться в сторону пулевого положения. В точке 4 (рис. 17.2) имеем скг рость е>> - — Ь е Следовательно, нз (17,18) угловая координата ее будет г Ьз г 2с где е>> определяется по формуле (17.17). Для данной начальной точки процесса (см.
рнс. 17.2) имеем Ф вЂ” — О, Поэтому па первом участке процесса со>пасло (17.15) уравнение фазовой траектория будет Глава 17. Точные методы исследования устойчивости и автоколебаний 507 2 Ь2 ' = — с(ят — Ь). 2 Отсюда амплитуда угловых автоколебаннй а„, как значение <р при ы О, будет Ьз не =Ь+ — ', 2с (17.! 9) а амплитуда колебаний скорости ач = Ьп Оца равна зоне нечувствительности датчика угловой скорости Ь и в то время как амплитуда угловых колебаний (17.19) несколько больше зоны нечувствительности измерителя угла Ь.
Период автоколебаний г, можно вычислить как сумму времен: га гхол гя,~б где г„„„н гр,о — времена участков (6-7) + (8-5) и (5-6) + (7 — 8) соответственно. По законам равномерного и равпозамедленно~ о движений соответственно получаем г„=4 — + — ~ Итак, установившийся режим стабилизации в данной системе является автоколебательцым. Однакоуравцениесистсмы(17,13) справсдлнвотолькодляндеальнойсистемы стабилизации.
Всякое реально имеющееся запаздывание в райоте усил|пелыюпреобразовательного и исполнительного устройств приведет к увеличению ам плитуд автоколсбаний по сравнен и1о с полученными здесь значениями. Решение задачи с учетом постоянных времени системы управления будет дано в следу1ощсй главе. П р и м е р 3. Уравнения системы автоматического управления курсом торпеды в упрощенном варианте имеют вил: линейная часть (16АО) и (16А!), т. е. (17.20) и нелинейное звено (возьмем сначала один случай — рис.
16.18, в) б=сяйп(з-Ь) прн рз>0, '1 6=се(йп(зч.Ь) при да<0. ~ (17.21) „Цальшс (4 — 5) процесс пойдет с постоянной скоростью (так как Ф = О), после чего тело войдет в установившийся автоколсбательцый режим, определяемый предельным циклом (5-6-7-8). Уравнение параболы 7 — 8 согласно (17.16) будет 508 Нелинейныеснстемыавтоматнческагоуправления Покаж< м, что здесь равновесное установившееся состояние системы с постоянным значением чг = 0 неустойчиво, цо булст иметь место азгоколсбатсльпый прож сс.
Возьмем фазовую плоскость (х. у) с коордннатами.т = вг, у = рц~ (угол отклонения и угловая скорость отклонения оси торпеды от заданного курса). Уравнения (17 20) и (17.21) перепншутся в виде — =у, — = —,— — 6, пх йу у й ог 7; Т, ь') 6=се!Вп х- — прн у>0, ь') б=са!йп х+ — ~ прп у>0. ', е2 ! (17.22) Из сравнения зтих уравнений с упрощенными уравнениями системы стабилизации темпера гуры в коппс 6 16.1 видна их полная аналогия. Р!оэтому здесь, так же как и в случае рнс. 16.15, установившийся процесс лвижения торпеды будет автоколсбатсльпым, причем картина фазовых траекторий будет иметь внл, показанный па рис.
17.3, а. При этом кривая АВ предельного цикла, соотвстствукпцая автоколсбательному процессу о~ ~рслслястся ~ ~з уравнения (16 31) с таким значением произвольной постоянной Сн чтобы выполнялось условие (17.23) уд = — ув, т. с. (у) ь -— -(у) ь, так как только в этом случае н получится замкнутая кривая прелельного цикла АВ(7 (рнс, 17.3, и). Определив таким образом Со найдем амплитуду автоколебапий а как значение хирну =-О, т. е. согласно(16.31) и =(г,сТ, !пlг,се Се Глава 17. Точные методы исследования устойчивости и автоколебаиий 509 Значения же(! 7.23) дают амг>литуду г? колебаний скорости у..'з!о>кис всея>ос»рсделять и графичс< кп прямо по чертежу (рпс.
17.:1, и). Период автоколсбап ой остается неизвестным. Введем теперь в хара ктеристцку пел ипсшпп о звеня (рулсной машинки) зону нечувствительности, как показано ца рпс. 17.3, б, в Так, па том участке характеристики 6 -- ?'(з) (рпс. 17.3, б), где 6 = О, гю (17.22) следует, что х У= — +Сг, ?; (?; ?> ч-1)г>(? = -?т> г>г, '( (?гР+ 1)б?г = ?ггб(? / (17.24) причем уравнение нелинейного звена (уира ел яки Пего органа) гйг ?» =>. з!йп(г>?г — ! ) при — >О, > ' бг б?г гз» =1 з!йп(б?г+!г) при г <О. г?т (17.25) Б качестве ордипаты фазоной плоскости здесь улоопсе взять пс скорость отклоне- Ж/ ция управляемой величины —, как де пшось раиыпе, а втору>о перев>сину>о>>?г.
Итак, г(г ' примем лля етой задачи (17.26) ?>?Е У >->?г Тогда уравнения (17.24) преобразук>тся к виду г?х 1 — = — — (х е Й>Лг), т?г 7; (17.27) что соответствует наклонным прямым нпутрп полосы ЕГГ,Е, па фазоной плоскости (рпс. 17.3, б), Аналог>тяпал полоса НС(*'>Н, будет и н пцжией части плоскости. Бге ос>азы>оспы>олияетсл такими жс «рива>мп, «ак па рпс.
17 3, и. В рсзулнгатес увеличением зоны нечувствительности размеры пред> льпого цикла, а значит, п амплитуда антоколебапий уменьшаются. При ?>> = О предельный пикл вырождается в точку О. ! !ри дальнейшем увеличении зоны пс >увствительиост>т характеристика >тшшиейпого виспа и карт>л>та фазовых тра< кторий принимал>т вид, показанный па рис. 17 3, в.
З,>ее ь а втоколсба пня отсутствуют и становится устойчивым установившийся процесс с постоянным значением т!т Раисе неустойчивый особый оз резок Е Г'теперь стал устойчивым. Дачьпейшее увеличение золы псчунгтнгисльпости приводит к расо>иронию отрезка 1>> С,.г. е. к увеличсцшо установившей>я опшбки системы из-за слишком широкого участка равновесия. П р и м е р 4. Рассмотрим систему стабилизации напряжения, уравнения которой были составлены и й 16.2, а пмсппо: 510 Нелинейные системы автоматического управления Рис. 17Л г(р 1 (у 'г2.т) г)г (17.28) где согласно (17.25), (17.26) н (17.28) имеем Л! = !! з!8п(у !!) ПРи У (кзх, ~ Лг = !; а!8п(у е !! ) и рн у > )ге ад ) (17.29) следовательно, первое из этих условий имеет место ниже прямой ВВ,(рис.
17А), а второе — выше нее. В первом случае перскл!оченис реле пронсхопит при у - — го т. е. на прямой С0 (рнс. 17.4), а во втором случае — при у " — г!, т. с. па прямой ЕГ. Чертеж сделан в предположении, что lгфзг! >1е В результате получаем, что выше линии ЕгС7) будет (17.30) а ниже линии ЕГС() Л! = -г;.
(17.31) Рассмотрим сначала верхнюю область. Для нес, деля (17.28) па (17.27), с учетом (17.30) получим уравнение фазовых траекторий (17.32) которое можно представить в вндс оу т В+ЕА !ь( +)! ) ( т, и проинтегрировать, применив вспомогатсльную подстановку у+ к!Изг! - г(х+ гг!г!), Глава 17. Точные методы исследования устойчивости н автоколебаннй 511 где х — новая переменная вместо у. В рсзультатс найдем слсдуюшсс уравнение фазовых траекторий (при Т, > Т, ): у = ох+ Р+ С,(х+ йгг1)т (у> 1), (17.33) где С, — произвольная постоянная, 21 лн 1212, 1>1 йт йьггт Т Т, - 7' Т, - Тг (17.34) (при у - 1 решение будет иметь лругой вид, а и рн у < 1 булст а < О и Д < О; атн решения нс будут исслеловаться). Чтобы представить себс всю совокупность фазовых траекторий, можно провести на фазовой плоскости прямуго (17.
35) и ко всем орлинатам этой прямой добавлять уг - С,(х+ /21г1)у, (17.36) придавая С, произвольные значения (каждому значению С, будет соответсгвовать определенная 11>азовая траектория). Это будут параболы степени у с осью х= -й,г 1 (17.37) н с единым началом в точке //(рис. 17А), име1ощей координаты Х= -/2111, у= — /21йггн На рис.
17 4 показаны все ветви этих парабол, лежащие выше линии ЕЕС0 (так как только там справ слл и вы данные выкладки). Направления стрслок па полученных фа- зовых траекториях определяются тем, что проскция скорости изображающей точки г/х — справа от прямой (17З7) согласно (17.27) будет отрицательна, а слева— г/г 1гу положительна; проекция жс н = — согласно (17.28) выше прямой у - /2 х будет М /г " ' 2 отрицательна, а ниже — положительна (во всех точках прямой у - /гг х касательные к фановым траскгориям горизонтальны), Аналогично строятся и все фазовые траектории ниже линии ЕЕС/7, так как нх лифферсщщальное уравнение отличается от (17.32) только заменой ег, на -г, соглас- но (17,31), В результате на рис.
17А вялим, что асс фазовые траектории, нсходягцие из особо- го огрезка ТОС, расхолятся, а все траектории, идущие от краев чертежа, схолятся. Как тс,так идругиеасимптотическиприближаются кустановнвшемуся црсдсльпому цик- лу, обозпачсгщому па чертеже жирной замкнутой кривой (чичевицеобразцой). Это соответствует тому, что установивпгийся процесс в системе является автоколсбатсл- ь11ьг, причем размеры предельного цикла ац и аг, нрелставляют собой амплитуды авто- колебаний соответственно напряжения Ь(/и тока в обмотке магнита реле Ь/2. 5! 2 Нелинейные системы автоматического управления (!7.38) чем опрслелястся значение произвольной постоянной Сс Значение х(! 7 38) лля этой кривой и лает искомую амплитуду сто.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
