Бесекерский (950612), страница 108
Текст из файла (страница 108)
С помощьк> уравнений (18 36) можно не только определять частоту соч и амплитуду ач автоколсбаиий ирн заданных параметрах спстсмы, но и построить графики зависимостей соч и а„от какого-либо параметра системы, например ко:>ффициента усиления /т. Для зтого нужно считать в уравнениях (18 36) параметр А переменным и записывать зги уравнения в видо 546 Нелинейные системы автоматического управления су и ц, входящие в уравнение (18.34), сложно зависят от амплитуды а, а в ряде случаев и с>т частоты о>, В таких случаях удобнее указанное уравнение зал исыва и в виде Я(усо) ч уу(ус>) (су ч-усу') = О, (1839) не подставляя зависимости су и су от а и е>. Тогда вместо уравнени>1 (!8.36) получим лля определения периодического решения уравнения: Х(с>, су, су' ) = О, У(со, су, су' ) = О.
(18АО) Для об>него случая задач, в когорых ксокдый из коэффициентов гармонической лсснсар>сзации су и 6 завис и г сложным образом от обеих неизвестных и и о>, т. с. су=су(а,о>), су' = су' (и,со), (18.41) можно применить следующий прием решешся. Задаваясь различными значениями и и о>, построим но формулам (18.41) две серии кривых:су(со) и су'(о>) ври разныхи =сопгн(рис.186).
Затем изуравнений(1840) выразим су = 7, Оо), су = 7з (со) (18Л2) и зти две кривые панессм на тех жс графиках. Теперь остается на этих лвух кривых найти так ис точкн С и В, в которых кривые 7, (со) н 7в (со) псресекак>т линии с одинаковымии значениями и при одном и том же зна гении ю. Полученные величины и и со будут решением задачи, т. с. амплитудой а, и частотой ы„искомого периодического решения. Во лсногих встречающихся иа практике залачах вместо (18.41) будет (18.43) су=су(и) и су = су'(и).
Тогда кривые су и су' на рис, 18.6 лля разных амнлитул булут иметь вид горизонтальных прямых линий. В простейшем случае, когда в системе имеется с>дно;шачная нечстно-симметричнаяя нелинейность Е(к), для которой су = су (и) и су = О, из уравнений (18АО) мо>к>н> найти (18А4) у (и) = 7 (е>). Тогда, исключив сУ из УРавнений (18.40), найлем частотУ со = е>с> как фУнкнию иаРа метров системы. Затем, изобразив график зависимости су (и) (рис. 18,7), ироведеь> яа нем согласно (1844) горизонтальные линии су = 7(со) для разных постоянных значении ю = с>а, т. е.
лла Разных соотношений паРаметРов системы. Точки пеРесечениЯ этих Глава 18. Приближенные методы исследования устойяивости и автоколебаиий 547 прямых (<о - о>«) с кривой <у (а) (например, па рис. 18.7 точки и<п и и<а) определяют в каждом случае амплитуды периодических решений. Если пересечений пст, то и периодических решений в системе не будет. В простейших случаях уравнение (18А4) решастся а пал нтичс< ки. Графический способ.
Лля гармонически линеаризовапного характеристического уравнения (18.33) нож> п> написать выражение кривой Михайлова 1731 0(у<о)= О(уГл)+ У<(у<о) <у(а,ю)+ ' у<о, (18 45) .у'(<о) = я(уоэ)+ ><(у<о) (<у(и <о)» у<у'(а, <о)) = О, (18А6) которые в общем случае пе будут совпадать с кривыми Михайлова. Прн этом надо выбрать такое значснне а, при котором кривая > й>ойдет через начало координат.
Если,например,для каких-нибудьтрех различныхзначенийа кривыс /(о>)проходят указанным на рис. 18 8, 6 образом, то искомые значения а = и„и оэ = <о„мож> ю найти путем следу>ошей интерполяции; АО а„= и> ~- — (аз — а. ), АВ СО <о = <о> '< (<о> <о> ). СО Этот способ целесообразен лишь в самых сложных случаях, когда изложенные вьппс способы не удается применить. Использование коэффициентных соотношений для определения периодическогорешения.Дляобнаружсппя факта наличия пары чисто мнимых корней в характеристическом уравнспии (18 33) можно также применить известные алгебраические критерии устойчн- где знак «-» введен, чтобы отличать текущий параметр о>, изменяюп<и йся вдоль кривой Михайлова, от частоты <о, входя<пей в выражение гармонической линсаризапии нелинейности.
Искомос периодическое решение х, = а» яп о>»<, т. с. неизвестные и„и о>» опрсу<слятся прохождением кривой Михайлова через начало координат (рис. 18 8, а). Поскольку в точке прохождения кривой Михайлова через начало координат тскушсс зпачсппе о> должно совпадать со значением <о = о>,е вхолящим в коэффициенты гармонической липсаризации, то для удобства решения можно заранее отождествить в выражении (1845) значения б> и о>.
Тогда искомые частоту <о - <о„и амплитуду а = а„авток<и>ебаний можно будет определить путем построения кривых 548 Нелинейные системы автоматического управления востн лицсйных спетом. Так, если гармонически линеаризовгшнос уравнение (18.ЗЗ) нелинейной системы имеет тре гьк> степень относительно р, то его можно записать н виде аоРз ч.а,Рг + аггг- аз = О, (18А7) причем коэффициенты его будут содержать в себе искомыс значения частоты соь т1 амплнтулы а„автоколсбаппй.
Условие наличия нары чисто мнимых корней по критерию Рурвнпа (см. 9 6.2) бу- дет (18А8) а1аг = аоаз. Оно даст только одно уравнение с лвумя неизвестными а„и ш„. Чтобы па!пи второе, представим уравнение (18.47) прн наличии мнимых корней р =- +уо„в вилс (р е ш„)(аор -6) =О. Рагкрыв злссь скобки и приравняв коэффициенты этого уравнения соответствующим коэффицие~ггам (18А7), найлсм аоот„= а„. г (18А9) а„р -а,р еагр +азгг ах — -О, ч 3 г (18.50) то условие наличия пары чисто мнимых корней согласно 9 8.2 будет аз(а,аг — аоаз) — а,а, -О. г Кроме того, записывая уравнение (18.50) в виде (18,51) (Р е ш„) (асйг 6>Р— Ьг) =О, ралсры воя здесь скобки и приравнивая пол уче~ ~ ные коэффициенты соответствующим коэффициентам (18,50), находим (18.52) г а1соп = аз С цомощьюдвух уравнений (! 8 51) н (1852) решаются все вышеуказанные задачи для нелинейной системы четвер ~ ого порялка.
Из двух уравнений (18АЯ) н (18А9) определяются неизвестные амплитуда а„н частота со„автоколебаяпй, входящие в состав коэффипнснтов(18А7). При этом точно так жс, как в основном способе, здесь на основании уравнений (18Л8) и (18А9) можно строить графики зависимостей а„н от„от одного параметра системы или на плоскости двух параметров с целью их выбора. Если гармонически линсаризован нос уравнение (18.33) нелинейной системы имеет четвертую степень отяоси тел ьно р: Глава)6. Приближенные методы исследования устойчивости и автоколебаний 549 Заметим, что для систем с целиней постыл вида ха = Р(х,) без гистсрсзис>н>й пстли частота ю це входит н коэффициенты характеристического уранпсппя. Поэтому из уравнения (18 48) или (18 51) сразу определяем я амплитуда ал, а затем из (18 49) или (18 52) — частота <о„Для систем с более сложными цел ииейностями получакл ся два уравнения сдвумя неизвестными Учет временного запаздь>ваиия в иелииейиой системе.
В нелинейной системс, как и в линейной, может иметь< я постоянное по времени запаздывание т. 1! ри этом уравнение лицей ной части (1831) получит вид Я(р)х> = — К(р) е > хэ Выражен ие (18.34) при этом буде г () (>о>) + К (>о>) (сов то> — у яп то>) (<1 + ~ д' ) .= О. (18,53) К уравнении>о (18.53) можно применить основной способ <л ыскаиия периоличе<- ких решений или другой из изложенных ньнпс Устойчивость периодических решений.
Выше уже указывалось, что не всякое периодическое рсшсцис уравнений собственного движения пел ипсйпой системы будет соотвстствоватьавтоколебапиям,атолькоустойчивое. В коцкретцыхзалачахчасто из физических соображений бывает сразу видно, возникал>т автоколсбания или нет. Поэтому иногда пст нужды в математическом исследовании устойчивости найденного периолцческого решс> <ия.
Однако н ряде случаев все же приходится этот вопрос исследовать. Задача исследования уегойчивостн периодического решения сводится, вообще говоря, к анализу линейного уравнения с периодическими переменными коэффициентами. А. М. Ляпуновым (58) разработаны соответству>ощис методы Но их использование во мпоп>х < тучаях представляет пока еше большие трудности.
Поэтому здесь строгое исследование устойчивости периодических решений излагаться не будет. Опишем три приближенных способа и< следования устойчивости периодического решения: 1) осредпеиие коэфф>тциептов; 2) использование кривой Михайлова; 3) аналитический критерий. Осредпеиие коэффициентов при исследовании устойчивости периодического решения. Запишем г<ий>фсрспциальное уравнение замкнутой системы в малых отклонениях охот исследуемого периодического решения: х = а„а>п о>„П Для липейпой части системы на основан ни уравнения (18.31) получим (18.54) Я (17)<)х> = Й (Р) Ьхз . Уравнение нелинейного звена, иапрпмсрх> =! (хн рх ), примет при этом для малых отклонений вид ' (18.55) Ага — — — <.'>х> е — <>рх> (аналогично и для других типов нелинейных уравнений), где индекс «п» означает, что в частные произволпыс нужно подставить х, = а» э)по>„г и рх, = а» ц>» сов ы„г .
Эти 550 Нелинейные системыавтоматического упраавения частные произш>дные и являются периолнческими переменными коз<)>фицисптами, В залачах теории управления опн могут меняться как плавно, так и скачками (см прнмсры в 9 183). Осредпим полученные периодические коэффициенты, после чего вместо (18 55) будем иметь линейное уравнение с постоянными козффипиентами <>хх =( ><(а„, ц>„) + >« (ц„а>а )р )Лх<, (18.56) <лс (18.57) 2п )(д~,! 2 ~~~О~~,,) Характеристическое уравнение системы, определяющее ус гойчивость псриолического решения, согласно (1854) и (18,56) будет Я (р) " 8 (р) [ и (и„, а>„) и, (и„, о>„) 1>) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
