Бесекерский (950612), страница 112
Текст из файла (страница 112)
В слсдугощсм примере произведем также учет нс гистерсзнсного, а временного запаздывания реле. Гармоническая линсаризания характсристнки реле рис. 18.20, а согласно формулам (18.9) и (18.15) лает Глава 18. Приближенные методы исследования устойчивости н автоколебаинй 588 Отсюгса после подстановки р -)со получаем выражения: Х=Ьс~ц(а)-(Т, +Тз'1о =О, г.[~-м "~"~] -ть '=о.~ (18.100) сг(ак ) (Т, + Тз )со"„ (18.101) сг (а„) 1 — Т,Т ог„ откуда после подстановки (18.99) находим (и +Ьс +Ьг) 4Ьсбг ак 4ог (18.102) где (Ьг — Ьс )(7; + Т, )соа 1 Т~Тз 'о Тогда из второго уравнения (18.100) с учетом (18.99) получаем л(1- Т1тло)2)ог„з " а„.
2сЬ,(Ь -Ь,) (18.103) На основании формул (18.102) н (18.103) можно построить графики для ам илитуды а„в зависимости от параметра й по точкам, соответствующим различным значениям частоты со„, как ато делалось в нредылусцих примерах. При этом, исходя нз положительности Ь, согласно (18.103) нужно задавать значения со, в интервале г 1 0<ага < —. Т,Т, (18.104) Рассмотрим частные случаи.
Пусть реле имеет характеристику вида рис. 18.20, б, где Ь, = Ьг - Ь, Для зтоп> случая из (18.99) получаем: сг= —, са — Ь,, сг'=О. 4с сг г (18.105) Исследуем влияние параметра Ь на устойчивость и автоколебания данной системы. Из (18.100) имеем 566 Нелинейные системыавтоматическогоуправления 11озтому второс из уравнений (18 100) даст постоя и нос значение частоты псрцодичсского решения 2 7;Т, (18,106) Подставляя его в первое уравнение (18.100), с учетом (18,105) находим я(Тг ьТМ Ы,Т,ТзД:Р (18,107) яЬ(Т, + 7з) 2сИ~Т,Тз (18.108) ири а„=Ь /2.
Соответствующий график зависимсюти амплитуды ас от параметра изображен на рис. 18 21, и. В этом частном случае релейной характеристики (рис. 18 20, б) для исследоваиия устойчивости воспользуемся критерием (18 63), для которого прсдвари ~ ельно находим ('ОЛ', (сЬ,Ь (2Ьз с дХ ~ /> 0 ири а < Ь,(2, да 7„~ < 0 при а > Ь /2, ~ — ") =о, '( — ") о. Следовательно, нижняя ветвь кривой иа рис. 18.21, а соответствует неустойчивому периодическому решению, а верхняя -- устойчивому (автоколсбаиия). Пусть в другом частном случае характеристика реле имеет идеальный вид (рис. 18.20. а).
т. е. Ь, = Ьз = Ь - О, Здесь получается прежнее постоянное значспие гое (18.106) и согласно (18.107) -- прямолинейиая зависимость Ас(ЬТ~Тз а„= я(7;+Тз) (18.109) Здесь/г = в двух случаях: и„- Ь и а„= .! 1айдсм Ь„„„из условия равенства нулю производной й по а„: Глава 18. Приближенные методы исследования устойчивости и автоколебаний 58/ (18.110) /г г '/= ь/~ " г/ = гЧ 1/ри этом из (18.102) находим (1+ Т, оь,', )(1ч-'/ гьл,', ) (1-Т, Т,ш,)' (18.111) а нз (18.103) тт/хд,(1+Ть'о~ ) (1+ Тз'о1', ) Л,./ч( -Т, Тз,~ ) (18.1 12) По этим формулам построены кривые на рцс.
18 21, з и г, он редел я ющис ам ил ц тулу и частоту периодическогоо решения в зависимости от величины параметра/г. Устон ьивость периодического решения определим здесь по мстолу осрсднсния нсриодичсскнх коаффициснтов. Для вычисления козь1ьфш[иситэ гг(а) согласно (18.80) цужью знать производную от (/ н ох, которая, однако, обрашастс в бесконечность яр их = Ь, когда рх > О, и при х = = — Ь, когда рх< О. Чтобы избежать этого, заменим заданную характеристику (рис.
18.20, г) новой (рис. 18.22, а), из которой заланная получается предельным переходом Ь вЂ” ~ 0(другой сцособ, с дельта-функцией, см. в 9 18.5, рис. 18.37). Для характеристики ца рис. 18.22, а цри ььзмепсиии величины изображенная на рцс. 18.21, б. Злесь возможен только авгоколебательцый процесс; область устойчивости равновесного ь ьютояция, имевшаяся па рцс. 18.21, а, ььропалае ц Как видим, зона нечувствительности имеет стабилизируюшее значение лля релейной системы, причем ширина области устойчивости (О < /г < Ь ь,) согласно (18Л08) яро лорциопальца ширине зоны цечувствительпости 2Ь.
Сравнение данного решения, учнтывшоьцего инерционность Тз, с решсццсм без учета Тз показывает прин ципиал ьцуьо важность учета этого фактора. Например, лля характеристики вида рис. 18.20, е без учета Ть получится точько устойчивость (а„= 0) лри любых числовых значениях параметров (что нереально), а с учетом Тт — только автоколебания (рис. 18.21, 6). Для характеристики вида рис.
18.20, б вместо неограниченной области устойчивогти (без уче та Тз) получается ограпичсьшая и вози икает еше область а втоколсбап ий с большой амплитудой при олноврсмеш ем сушество ванин устойчивости в малом (рцс. 18 21, а). Далее, в третьем час гном случае, когда характеристика реле чисто гистсрезис лая (рис. 18.20, г), т. е. Ь, = — Ьг = -Ь, из (18.99) имеем 588 Ненинейные системыавтсматическогоуправления дУ х по закону х" и сйп юг(рис. 18 22, б) производная — принимает значения, показан- пые па рис.
18.22, в, где Ь нг, =агссйп —, и Ь+Ь Чгг —— агсьйп —, и (18. 113) Осреднепное ее значение (18.60) согласно рис. 18.22, в с предельным переходом к заданной характеристике (Ь вЂ” ~ 0) будет 2с 2--(~на -у~) у(а)=!1щ = 11щ в-с 2п ч, ч, па(з1плг -з1пу,) так какй - а аш ыз — а з1п ~уь Обозначин Чгг =. нг, -' Ляг и нзян произнодные от числителя и знаменателя по Л~р, получим 2с 2с у(а)= 11щ вю юнасов(~I~ + Ллг) пД2 Ьг (18.114) (~~ ~ 1з)р +р+й Ау(а) =О (18.115) Условие устойчивости пер иолич еского решения, следовательно, по критерию 1урвина будет (Т, + Т,) >ТТзЙ,МХ(а). Полставин сюда м(а) из (18.114) и значения а~ и Ь из (18.111) и (18,112), убелимся, что оно выполняется.
Следовательно, в системе будут автоколсбания х = аа гйп ю„д амплитуда и частота которых определяются графиками рис. 18.21, в и г или формулами (18.111), (18.112). П р и и е р 6. Пусть нтой же системе характеристика рсдс имеет простс1пппй вид рис. 18 20, в, но имеется постоянное по времени запаздывание т.
Тогда согласно (18.110), где Ь = О, уравнение нелинейного знепа будет и= — «- '. 4с пи В результате получим характеристическое уравнение системы (Т р+1)(Трч 1) р+Ь,Ь вЂ” в х=О, -и Итак, для исслсдонания устойчивости получаем следующее характеристическое уравнение: Глава!8. Приближенные методы исследования устойчивости и автаколебаний ббд Подстановкар-7юс учетом выражения с '"'= сгж тш .у з1п тш ластдва уравнения Х= ' совтгэ-(7; еТз)ю =О, 4с)йй ., в пи 4с117г, з У = — гйптю+ю-ТТзю =О, яо из которых находим два соотношения: (7; ч- Тз )ю„гйтю„= 1- 7;Тзшз„ 4 ей,/г а яге„ Первое из них определяет частоту (решается графически), а второе — амплитуду автоколсбаний в зависимости от козффипиента усиления lг и от других параметров системы. Заметим, что во всех случаях, рассмотренных в примере 5 и в данном примере релейной системы, через а„обозначалась амплитуда автоколебапий величины х.
Амплитула же автоколебапий ие управляемой величины 6 (температуры) будет П а ае = )гв 1! р и м е р 7. Рассмотрим систему автоматического управления с приводом регулирующего органа в виде двухфазного двигателя переменного тока. Характеристика атого двигателя для разных значений управляющего напряжения (7 имеет вид, представленнглй па рис. 18 23, а. Липеаризуя характеристики, обычно считают М - с, У вЂ” схюль . (18.116) Но это справедливо в первом приближении только для левого участка характеристики.
Если же используется большая часть характеристики, то необходимо учесть ее нелинейность. Имея в виду, что на рис. 18.23, а с увеличением ю„, коэффициент с, уменьшается, а коэффициент с, увеличивается, примем для описания этой характеристики вместо (! 8.116) следующее нелинейное выражение; И= "' и-(';+;~ Д л„(18,117) 1+ сз ~гоа„~ (абсолютные значения гол, в козффппиентах пес гавлены потому, что сея„меняет знак, а сами коэффи шил пы должны оставаться положительными). Аналогично можно под- 570 Нелинейные системы автоматического управпения би рать и л клят й другой болсе иод ходя ший нели ней вы и закон для описания характсрисгикдвигателя. Внсдехт для дальцсйшсго обозначение (18.118) .т = отлв То~ Ла дифференциальное уравнение двигателя г!з с, — — и-сг — с,]х]х Ыг 1-.
с.„Ц (гле / — момецт инерции всех врастаем ых двигателсм масс, цривсденнгях к валу двига- тсля) можно записать в виде У +.!оз]4 ьсгх +(сгсз + ст )]х]х+ озс4х = сР. (18.119) г(х т)х з Здесь имссм три нелинейные функции: 71 Ц ' рг Цх г)г Гармоттическая их лннеаризация по правилам 9 18.1 даст: 4~ г(т . 8а Заг Г,= — —, Гг= — х, Г,= — х. Зя г)т = Зя ' 4 Лодставляя зто в (18.119), пол уча си следу кнцсе уравнение двухфазного лв и гатсля (для колсбатсльных процессов): (18.120) ] 7:, (! -ь Ь, а) р ь (1 ь Ьга + Ьза )] х = ЬзК вместо обычноголинейцого(Т,р+ 1)х Ьз(т,где с, 4сз 8сх Зсзс, Тз=, Йз= —, Ь,=, Ьг=2Ь,+ — ', Ьз= ' (18821) сг ' сг ' Зя ' Зясг ' 4сг Здесь а обозначастамплитуду колебаний угловой скорости лвигатсля х стаж г(ачсс,скортктьпсремсщепня упрааля!огцсгоорганадЬсучетом персдаточногочисла роду!гтора и с обозначенном (18.118) будет (18.122) р1 = Ь1х.
Уравт!сцис объскта и уравнен нс чувствительного злсмента возьмсм соответствсино в внлс (18.123) (тр ~ !)я!='-!йд, и=й,ю, глс 9 — отклонен ис ун!тааляг мой ясли |ин ы. Глава 18. Приближенные методы исследования устойчивости и автохолебаний 571 Характеристическое уравнение всей замкнутой спг гомы будет ~ 7з (1 ь Ь,а) р е (1 + Ьга + Ьзав) !(Т,р + 1)р ч Й,Ь вЂ”. О, (18.124) где После подстановки р =уо получаем: Х=ЙЙ-~7з(1+Ьа)+7~(1+Ь а+Ь!аз) но =О, У = (1+ Ь;а+ Ьза в )и — Тз Т (1+ о а)ш' = О.
( ! 8.125) Рассмотрим при этом влияние параметра Ь . Бторое из уравнений (18.125) дает ( 18.12(!) Из (18.121) вилно, что Ьв > Ьн Поэтому полученная формула лает зависимость амплитуды аа от частоты ш„искомого периодического решения н виде графика, показанного на рис. 18.23, б, где (18 127) Далее, нервов нз выражений (18 125) при оэ = ш„и а = ач с нсцользованием второго приводит к формуле Лля параметра й, влияние которого рассматрн вастся: Ь = — з(1+ Ь~а, )(1+ Твшз, )ш~. 1 (18.128) Поэтойформулс, используяпредылушиерезультаты,получаем графнкзависимости амплитуды автоколебаний а„от величины параметра К показанный на рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
