Бесекерский (950612), страница 114
Текст из файла (страница 114)
Поэтому включение си> паза г(> в лою>- ческом устройстве при данной логике бу>тот происходить от величины и (прп и = -> иь т. е. в точках Л и С), а вык почсние "- от величины с (при с = + сп т, е. в точках 0 и В; рис, 18,29). Этот щюцесс во времени (>1> = пя) изображен на риг.
18.30. Точки вклк>чепия и выкл>очспия определяются па оси абснисг величинами >у> и >уж причем и, 1>>> ) з>п(>У> -13)= — ', соз(>ра — 7)= — — . а„' (и, ! рис. 18.28, б). Точка пересечения этих лвух кривых дает искомос значение частоты автоколебаппй о>э как ре>лс»ис уравнения (18.145). После э> ого становится известной и амплитуда ав>околсбапий а„, па входе усилителя-прсобразовагсля, вычисляемая по формуле (18,147) при найденном значении о> = с>э.
Г1 р и и с р 3. Рассмотрим систему,вкоторойнслинейпым звеном является логичсскос устройство (риг. 16.25) с простсйпп>м законом формирования сигнала управления (рпс. 16 26). Уравнения системы залапы н вилс (16.66) — (16.69). Установивп>ийся режим в такой сис>еме будет ав>оког>сбатсльпых>. Искать его будем црпближенно в сипусоплал ьной форме 578 Нелинейные системы автоматического управления Отсюда япнг, = яп(лт, -Р)сов()+сов(лт, -Г))зйт1т; сощ~ - — сов(нт1 — ())соз() — яп(вт, — ())яп() (аналогично чгг выражается через у). Учитывая, что согласно (18 149) 1 . Т1от соз1т=, яп11= ДЯ+~' ' ГТг ге1 (аналогично у выражается через Тгш), находим з1п 11т1 1 г г г),а 1 Тг„г+1 ~(г,а ~ ! "'Нг= Тг„Р,1 (18.151) Ю~ 1 п~ сов чгг —— + Тгот п,аот Тгщг+1 г)гаю г (;,~ Тг, з1плтг = т,' г+1 (18.152) (18.153) где д= — ~ з1пвтт(вт = — (совет, — созтуг), па па ю (18.
154) д' = — ~ соз втг(вг = — (я и втг — я и гу, ). па ' wа ч1 Теперь по правилам 8 18.1 легко записать результат гармонической линеаризации нелинейной логической функции; Глава!8. Приближенные методы исследования устойчивости и автоколебаний 579 Найденные значения 7 и д' согласно (18 15!) и (18.152) являк>тся вполне определенными функп ням и искомых величин а и ю (амплитуды и частоты авто колебаний перемеппойх). Характеристическое уравнение рассматриваемой системы в Пелом после указанной гармонической линеаризации нелинейности, согласно (16 66) — (16 69) и (18.153), принимает вид 4 з в д'(а,ю) ТсТзТчр +(ТсТз+ТлТ„'-ТзТч)р +(Те+ 7з+Тл)р +р+Ивугф, ' р+ + лолзл49 (а, ш) =- О. (18.155) Для отыскания синусоидального периодического решения подставляем р -Ло.
Получаем вещественную и мнимую части соответственно )Г-йсйАЧ(а ю) -(Тс'Тз'Тн)гов+ТсТзТ ю" =6; г - тгсутзл4гу' (а, ) + ш - (Тетз + Т Т, - Т Т ) ю - О Отсюда Тс + Тз + ТЛ 2 ТОТзТт гу(а,го) = от От; ~ойзйк йсйА (18.156) ,( ТОТт + ТсТч + ТЗТт 3 1 д'(а,со) = от — ш й„й,й, йОФА ' (18.157) Эти два уравнения с двумя неизвестными а и отрешаются графически.
Для этого по формулам (18.154) с учетом (18 !51) и (18.152) строятся графики д (го) и д' (со) при равных значениях а = аь ап аз, ... (рис. 18.31, а). Затем на первом из пих наносится кривая у, определясман правои частью уравнения (18.156), а на втором — кривая (18.157). Решение определится точками пересечения, лля которых значения и = а„и от " ю„ одинаковы па обоих графиках, Найденные значения а„и шь будут иском ыми амплитудой и частотой автоколебаний, опрсделяемых приближенно ввидех - а,з(п оз„г.Полученные конкретные числовысзпачепия а =аз нот - ю» соответствуют всем зада иным параметрам объекта и системы управления.
Если изменить параметры системы, изменятся также а„ 580 Нелинейные системы автоматического управления и о»„. На том жс графикс можш» проследить влияние изменения ~ ~эра»»етров систем ьс для чего нужно менять коэффпцис»п ы правых частей (18.156) и (18.157) при построении пунктирных кривых 1, /' па риг. 18.31, а. Изложенное выше решение улобно, если всс параметры системы заланы.
/!ля изучения жс зависимости а и ло от параметров системы (т. с. лля выбора парамсгр<ш) целесообразнее применить другой путь решения залачи. До»»устих», необходимо выбрать обилий ковффициснт усиления /г»/»з/»» с учетом влияния различных возможных значений постоянной Т„.
Тогда, исключая /года/»л из уравпс~ий (18.156) и (18,157), находим 1 (1- ТоТ»»от) т/(а»о)+(То+ !з) юг/'(а,»о) Т,— о» (Т„+7:,) ох/(а,от)-(1-7о7з»о )»/'(а,»о) а затем з (То +Т )+Т»(1 — ТоТт»о ) ко/»з/»л = 'о »/(а,о») Залаваясь теперь различным н значениями а и о» и вычисляя каж тый раз по этим формулам 7» и /го/»»/го получим сетку линий равных зиачсц ой о» (топ юэ...) и а (ао аэ ...), показанных па рис. 18.31, б. По атой диаграмме удобно выбирать зиачеция параметров /го/ зк» н 7» для получения желаемых а и ох Кроме того, вал»вымя параметрами являются /»и /тз и особенно и, и с~ (сл».
рис. 1829). Ноони входят н выражения»/и»/'. Позтомудля определения их влияния нужно построить графики г/ и д для разных значений указанных параметров, азатом, задаваясь зпачсниями а и о»и используя соотношения (18.156) и (18.157), по «нотрсбныхл» значениям г/ и г/ определять зти параметры (ио го /», или /гз). Прц этом нужно уч иты вать, что из требования веществси мости выражений (18 151) и (18.152) следует выбирать /,з 3 /2 2 з за»о П р и и с р 4. Рассмотриз» систему автоматического управлсц»»я с двумя нслинсйиогтями в случае, когда их гармоническая линсаризация по отлельцости исвозможпа вследствие отсут- ствия свойства фильтра у звена, стоягисго между ними (рис.
18.32). !!рслставим весь блок, включающий обе нелинейностии, изображенный отлсльно на рис. 18.33, как одно нелинейное звсц»х По от»»о~повию к нему система обладает Глава!8. Приближенные методы исследования устойчивости и автоколебаний 581 свойством фильтра. Следовательно, автоколеба~ия в системс можно искать приолнжснно в вилс Х> Н З>в С>К Система уравнений, описываю>них работу всей сист1 мы, имеет Вид 2 С2 рх= с>+ —.тл р) (18.158) Чтобы найти передаточную функцию нового лелиной ного блока(рис. 1888), опрелслим его выхолной сии>ел хе (г) при входном сигнале х, = а >Он с>г.
это представлено на рис. 1834, Отсюда вилно, что вь>холной сигнал ха представляет собой ограничен лыс на уровне Ь трсугольныс колебания, отста>оьчис но фазе от входного сигнала на угол >р < л/2. Если время иерехола выходного сигнала из одного край нсьч> положения в другое составляст г„, угол >р определяется соотношением я г» яг» >р = —— 2 Т>>2 Т С учстом того, что Г„= 26/с, Т 2п/го, получаем (18.15!)) Для того чтобы выходной сигнал достигал уровня ограничения (т. с. чтобы вторая нелинейность участвовала в работе), необходимо выиолненис условия Т и ( 2 с> Таким обрезом, следует рассматривать вхолные сигналы с частотой л лс го< — = —, 2„2Ь (18Л 60) х, = — ( Й, р е /г> ).т, с нри х,>0, 0 х,>0, РХ2 — с х,<0, 0 Х,<0, Х2 ~6' Х2 =6, Х2 > — 6, Х2= Ь.
582 Нелинейные системыавтоматическогоупрааленив Лмплитуда первой гармоники для треугольного сип1ала с ограничением имеет вил ( ! 8.161) Следовательно, первая гармоника сигнала хг будет 46 . . 46, г хг =ага!П(О1г-1Р)= — в1П1Рсов1Рв!пшг- — Яп Усовы. П1Р Щ (18.162) В результате можно записать уравнение нелинейного блока (рис. 18.33) в гармонически липсарпзованпом виде: хг = !1(а,о1) - ' Р х,, а (а,о1) (! 8.163) где па шс„ (18.164) г ОЛ в!п па !р па ш па ы„ Характеристическое уравнение всей замкнутой системы при зтоы получит вид 1+Ьгс! — Р +~ Ьгс)д+(61с1+Йгсг) — Р" + (61с! +Агсг)д+61сг — 'Р+Исгд=О. (18165) 1 Ч'') з О1 Ог О! Лля удобства дальнейших преобразований представим д и — в виде О! (18,166) где Я! и Яг зависят от частоты о1, вот амплитуды а не зависят.
Будем искать частоту !о„ и амплитуду ао автоколсбапий путем подстановки р -уса (18.165), что дает: Х=61сг — — йгс! — — (61с! +Йгсг) — ~о! =О,' й~.а а ~ а а~ (18,167) у = (а!с! + Ьгсг ) — - 61сг — о! — 1- Ьгс! — о! = О. Й Яг1 ! 0г1 з а а~ а ! (18.1618) 2Ь яп2!р 2с ка !р па 46 в1П 1р 4с Я 4Ь . аг = — япчь пгр 26!о яп с 46 в!Пшг„ г ~ло яп с (с! Ч Яг а Ог а Глава)8. Приближенные методы исследования устойчивости и автоколебаний 583 Поскольку а и О, из (18.167) можно найти частоту со„: ФсЯ,-[й,с,Я,-(йсг+й~сг)Я~[ю~ =О.
(18.169) Так как в Я, и Яг вхолитго„иолзнаком тригонометрических функний, решаем зто уравнение графически. Его левая часть изображается кривой, показанной на рис. 18.35. В результате нолучаются Лва значения частоты периодического решения: ю„= ю, и ю„= юг. Преобразуем уравнение (18.168) к виду Яс, +йсг)Я, -йсгОг -(а„— лгсЯ) ег„=О. г (189 70) Х = — Р;(ю), 1 а частная производная так как выражение Е, (ю) представляет собой левую часть уравнения (18.169), обрашаюшуюся в нуль при ш- ю„. ду Для отыскания — представим У в виде да 1 У =-гг(а,ез). а Тогда с 13Р1 з — = —,гг(а,го)+ — — г = — <О так как выражение Вг (а, ю) представляет собой левую часть уравнения (18.170), обра- ~нак>щуюся в нуль при ег = ю„, а = а„, а частная производная д~г з — = -Ю' да Отсюда, подставляя значения оолучснных при решении уравнения (18,169) частот, можно найти амнлитуЛу периодического решения а„сигнала на входе нелинейного звена, Остается онредслить, которое из двух найденных решений соответствует действительным автоколебаниям в системс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
