Бесекерский (950612), страница 116
Текст из файла (страница 116)
В результате приходим к весьма про- стым соотношениям: (18.190) о<7 = ссзбз созсРя о<7'- Згзбз Яп <Рз, глс в велено новое со краше и и ос обоз иачеп и с сся причем д~~2 а ссз = — ) — Г(аяп<р)яс<З<ряп<рссх, и" дх Iг гз = — )Г )с(аз1п <р) япЗ<р с(х. ка „ (18. 191) линейной части системы, Однако можно заранее вычислить лля различных копкрстцыхформ пслицсйцостсй всномогатсльнысвеличины г< иль О том, какой состав выси<их гармоник (18.175) в каждой конкретной залачс следует учесть, можно судить по разложению залаиной нелинейной функции г"(лтрх) в ряд Фурье.
Так, например, в часто вгтрсчаницсмся ца практике случае однозначной нсчстцо-симметричпой нелинейности Р(х) цаиболсс существенной из вьн ших гармоник будет третья. Учитывая се, црелставляем искомое периодическое рсшсцис (автоколсбания), согласно (18.175), в виде 590 Нелинейныесистемыавгоматического)правления Из формул (18.179) определяются относительная амплитуда и фаза третьей гармоники: ЛОЗа) [ -Л( уЗго) Ьз = гз „, сРз —— агй 0(7'3 ) ' ' Я(73оэ) ' (18.192) Таким образом, достаточно просто определяется уточненное периодическое рсгцение для случая однозначной нелинейности Г (х) с учетом третьей гарлюники в виде х =а, [з!поз,г+Ьзэ!п(Зго,г+<рз)).
(! 8.193) янгу ! Б!п~(г 1яц/ дх асовс а д!у (18.194) Поскольку подынтегральнос выражение в формуле ( ! 8.191) для Ьз на участке интегрирования (О, и/2) согласно рис.18.37, д будет нулем везде, кроме одной точки Л!= я!о то зту формулу в лаппом примере можно переписать в виде 4 ., г7Г 1 Й„= — сйпЗу, 18~!г,)à — Ых= — гйпЗу, 181у,[Г(а) — Г(0)]. о ггх Но из рис. 18.37, в имеем Ь 6 . Зба -46 айпи = —, 18щ =, з!пЗщ = а Дз бз а (18.195) аиз рис. 18.37, а при а > 6 г(а) = с, г(о) о. Окончательно получаем 4сЬ~(Заа -46~) "з = г — — при а > Ь. па" ха а' — 6~ (18.196) Проведем вычисление коэффициентов Ьз и гз по формулам (18.191) для релейны х характеристик, где оно представляет некоторые особенности.
Рассмотрим релейную характеристику с зоной нечувствительности (рнс.18.37, а). Входя гцая под интеграл в формуле для йз величина производной г7~/г(х буд<."г для этой нелинейности равна нулю везде, кроме двух точек х " ХЬ, где она равна мгновенному импульсу, нлосцадь которого равна с (рис. 18.37, б), т. е. величине с, умноженной на дельта-функцию. Выражение гйп Л! гбр при х = а гйп !у можно преобразовать к виду Глава 18.
Приближенные методы исследования устойчивости и автоколебаний 591 Формула (18.191) для гз согласно рис. 18.37, г принимает вид лГ 4с г, 4с гз = — 1 в(пЗчт<7чт= — созЗтр<, па Зла откуда с учетом соотношений (18.195) находим 4с(а -4Ь ) < а — ча -Ь приа>Ь. Зка' (18.197) В частности, для идеальной релейной характеристики из формул (18.196) и (18197),полагая Ь = О,получим: 4с Л =О, 3 в 3— Зпа (18.197) Рассмотрим два примера, иллюстрирующих процесс отыскания высших гармоник при автоколебаниях, а также уточнения первой гармоники за счет учста низших. П р и м е р 1.
Исследуем следяшую систему с нелинейностью типа насышения, авт<жолсбани я в которой в первом приближении х = а гйп юг уже были <тайдены ранее. в примере 1 в 18,3, в об<цем виде. Пусть теперь заданы параметры системы: Т„= 0,005 с, Те - 0,4 с, Ь - 140 с, Ь< = 100 с, lгв = 0,5 с. Они удовлетворя к<т соотношению (18 76).
Следовательно, здесь имеет место случай, изображенный на рпс.18.14, 6, причем согласно (18.79) и (18.74) Ь„= 166 с, Ь ы = 125 с. Заданное значение << лежит между ними, что соответствуетобласти наличия лвух псриодическнхрежил<ов. Выведенные выше формулы первого приближения (18.70) и (18.71) при атом дают для неустойчивого режима а = 2,29Л,ю = 118,2 с ',алляустойчивого режима а = 21,4 Л, <о -- 44,8 с ', причем а„- 7,08 Л (в точке от„рис. 18.14, 6). Ианбольшпй интерес представляетт первое ( неустойчивое) периодическое решение. Оно указывает границу для начальных условий, вне которой переходный процесс в системс будет расходиться, стремясь к автоко- 592 Нелинейныесистемыавтоматическогоуправления лсбпцям со гонь болыпой вмяли >улой а -.
21 4 в. что практически можно считать неустойчивость>о системы в болыпом. Поэтому уточнение решения с нычислс»нем высгпих гармоник произведем только для первого псрнопичсского рсгиепи, Для ланной нелинейности (рис. 18.13, а) по формулам (18.191) пахолим выражения: 48'ь ~ Ьз 4>Ьь ( Ь'')' 3('з паз 1( а ' Зла( а (18.199) Из формул (18.192) и (18.68) гк>лучаем отпосптельну>о амплитуду б„и фазу (рз третьей гармоники в ниле бз =, гз За> и 3/ген) Л>з = — е агс[8( -ага[8(ЗТ((о- агст8ЗТзсх 2 ' /г — 9Т,Ьеа> Вычисление по этим формулам да(.
г бз - О,ОЗ!7, (рз- — 1,875. Для уточнения и( рвой ( армопи ки за счет только что вычислен пой третьей гармоники находим согласно (18.190) добавки к коэффициентам гармонической лнпсаризапии: дд=Ь(>бз р, дд'=Зй>баз[п р, подставляя которые в (18.188) согласно (18.68) придем к уточненному характеристи- ческому уравнепи>о (тй в))(т>+))Р+[> (т>+))))1[)( ° ()+[) (т> ()ь>1((,)=О, ()82)О) Лд' гдс аналогично (18 66) имеем гг = /г> н рн а, < Ь, гу= — ' агс>йп — + — ~1- —, при а, >Ь. ~~ а, а>)( аг) (18.201) Глава 18. Приближенные методы исследования устойчивости и автохсяебаний 593 11одставпв в уравнение (18.200) р =ущ и выделив веществе!шую и мнимую части, получим два уравнения: Ьтт(а! )+ ЬДу-'(Т„+ 7'„т Тй тт(а!)1!о~ — ~ 7„'дгт+ 9 1Ь щ =0 то ) ~1+йнв(а!) !го!+~ЬедтутЬ вЂ” 1!о! — ТсТнто; — Т„Ьа — сз; =0 Эти уточ не он ь!с уравнения отличаются от прежних уравнений верного приближения несколькими добавочными членами, по способ решения их остается прежним.
И.! последнего уравнения находим 1+ Ьв!7(а! ) + /г! Дс! + Ь дат з го Т„Т„+ Т„Ьн — ~. (18.202) а из первого Т„.ь Т„+ Т„Ьсг7(а! ) + Т„дд + — ! Ьв Д!7 ) (18.203) то! ц(а!)+ДЧ Т,= 05 с, Т! 0,1с, Ь!й-285с с двумя вариантами нелинейности: а) слабая нелинейность Ь, 0,01, Ьт - 0,1, Ьз - 0,002; б) сильная нелинейность Задаваясь разными значениями амплитуды а, и вычисляя каждый раз по формулам (18 201)-(18 203) значения т! (а!), оз, и /г, получим графики а, (Ь) тина рис, 18 14, но уже Лля уточненного значения амплитуды ан первой гармоники периодического решения. ,- 1 Для заданного значения Ь = 140 зто уточнение дает а, =- 2,39 В, от! - ! 17,8 с Значения эти достаточно близки к величинам первого приближепи», а подсчитанная выше амплитуда третьей гармоники достаточно мала.
П р и м е р 2. Пусть н системс антоматичсского управления используется двухфазный двигатель, описываемый нелинейным уравнением (18.119). В примере 7 й 18 3 найдены автоколебания для первого приближения в общем виде, Рассмотрим следующий числовой пример: 594 Нелинейныесистемыавтоматическогоупрааления Расчет но формулам первого приближения (18.126) и (18.128) дает автоколебания в видех= аз1пгег, гдсдля вариантаслабой нелинейности а = 8,14, ез = 6 с ', адля варианта сильной нелинейности и=0,834, се-бс '.
Вычисщим теперь высшие гармоники. Для учета второй и третьей гармоник воспользуемся формулой (18.178). Для рассматриваемой в настоящем примере нелинейности Ь'(х рк) коэффициенты гз и зз, подсчитанные по формулам (18,177), оказываются нулями. Поэтому остается только третья гармоника, для которой но формулам (18.177) для данной нелинейности с учетом обозначений (18.121) находим: 2 1 з 3 гз — — — Ь1а — — Ьзп, зз — — — Тзбгяоз. 5 3 (18,204) Тогда по формулам (18.179) с учетом того, что согласно (18.124) Я (р) - (7у -" 1) (Т р + 1)р е И Ь, А (р) = (Т р е 1)р, находим относительную амплитуду и фазу третьей гармоники: рз — — — + агс183Т,гэ- агс18 ' +агс18 †' = Л 3ез(1 9Т~Т.
го') зз г ' Ь,Ь-9(Т, ~тз) з При указанных выше пашнях получаем для варианта слабой нелинейности Бз =. 0,041, <рз - — 0,377, а Юля сильной нелинейности бз = 0 042 грз 0 384. 3 . (2 Лд =-Тзбаозбз з(пгрз -~ — Ьз е Ьза абз союз,' 2 (3 Ьсу'= — ТзЬ аыб созчзз -~ — Ьз + Ьза абз сцпгрз. 5' з (5 После этого уточняется первая гармоника автоколебаний а, ейп оз~г. Для этого цо формулам (18,183) находим величины добавок Лд и Лд' к коэффициентам гармонической линеаризации: Глава!8.
Г1риближеиные методы исследоюния устойчивости и автокойебаний 595 Поэтому новос характеристическое уравнснис для опредслешия уточненной первой гармоники будет ,"(Тзр+1)ч-(ТзЬ1а1р.ьбта1-ьЬзц )1(Т1р +1)р+И1Ье~ ЬЧе р (Т1р+1)р=О. 2 1 гхЧ ш / Полставляя р =)ш1 и выделяя вещественную и мнимую части, получим Ь1 72 — ~Тз (1+ Ь1 а1 ) -ь Т1 (1+ Ьза1 + Ь1ц ) 1ш, — ~71 ЬЧ.ь р 1ш, = 0; (1+Ьга1 +Ьза1 )ш, +йьЧш1 -7;72(1+Ь ц)ш; -Т, — ш, =О.
2 з 2ьЧ з Эти уравнения решаются тем жс методом, что и (18Л25), а именно: из второго уравнения получаем 1+Ь ц -Ьтц ьоЧ 2 Ш1 = Т1 Тз (1 + ь1 о1 ) - Т,— ЛЧ а из первого, Ь=~~Тз(1+Ь1а1)+Т1(1+Ьзц еЬза1 )е~ Т1саЧ+ — ) ш1. Эти уравнения приводят также к графику а1 (Ь) вида рис, 18 23, в. Лля пр иведе11п ых выше числовых значений параметров системы получаем следуюгдис уточненные значения амплитуды и частоты автоколебапий: — лля слабой нелинейности ц = 8,03, ш, - 5,99 с', — для сильной нелинейности ц =0,820, ш, 5,98 с '.
Как видим, сильная нелинейность' значительно снижает амплитуду автоколсбаний(в линейной системе было бы ц = ). Этот рсзулыат получался выше в рсп1е1шн по первому приближению н подтверждается теперь уточненным реп 1е пнем. ' Нелинейность в ланнон нрннере характеризует степень отклонении реальной криволинейной характе- рнстнкн лвухфааного нплукннонното лвнгатела от пранолннсйной. 598 Нелинейныв системыавтоматичесхогоулравленив 9 18.6. Частотный метод определения автоколебаний Злссгн следуя Л. С.
Гольлфарбу [89), булсм рассматривать1~ростыс цслицей|нжз и х, = р(х, ), так как в других < лучаях цолуча~отся более сложные графические построения. Пусть в цслицсйцой системе вылслецо, как обычно, цслицейиос звено. Разомкнем систему указа~ ги ым иа рис. 18 38, а образом, црцчсм уранцсцис нелинейного звена будет ха - Г(х,), (18.205) алицсйцой части системыв (18. 206) Я(р) хз- Р(р)хв Замыкание сисгемы соответствует замене (18.207) Подадим ца вход нелинейного звена (рцг . 18 38, а) си|гусоилальцые колебания (18.208) х~ а гйн М. На ныхолс нелинейного звена получим согласно (18 205) вынужденные коцеба~ ~ив (18.209) х, = Г(а гйн ск), которые можно найти, например. как показано на рис.
18.38, били е. Разложим (18.209) в рял гцурьс и сохраним только осионцуго сицусоилу (псрвук~ гармонику, отбросив все ьчясглис гармоники. Очевилио, что это цриближсциое црслставлсцис вынужлсги лях колебаний эквивалентно гармонической лицсариаации целииейцосзт41, рассмотрено ной в В 18 1. На основании этого для оцрсцсления верной гармоники вынужденных колебаний величины хе мгэкцо восцользоваться частотным аццаратом, который цримг цялся ранее лля лицей иых систем слелугоцгим обрааом. Согласно формулам (189) приближенная церслаточцая функция нелинейно~ ознсна с уравнением х, = Р(х,) булст )!Гн =а(а)э — р гу (а) (О !$'„= 7(а) соответственно при вали ~ии гистерезисцой петли и цри се огсутствии. При этом выраже~ н ия гу (а) и г) (а) определи~отеяя формулам и (18.10).
Глава 18. Приближенные методы исследования устойчивости и автоколебаний 59у Приближенный комплексный козффпцпснт усиления, или приближенная амплитудно-фазовая характеристика нелинейного виспа с уравнением хт = Р(х, ), при нал ичии гистерези спой петли, следовательно, оудет ИУ„= (у(а) + у(у (а), (18.210) а без гистерезисной пстли— И'„(а) - (у (а). (18.211) Эта характеристика опрелеляет амплитуду и фазу первой гармоники па выхолс нелинейного звена (если на его вход попастся синусоида), а именно выражение (18 210) можно препставить н виде ИГ„(а) = Ла(а)Е'В" ("1, глс Следовательно, амплитула первой гармоники на выхолсбулет аз аА„(а), а фазовый сдвиг — 11„(а), глс а — амплитуу(а на вхолс пел иней ного звена.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
