Бесекерский (950612), страница 120
Текст из файла (страница 120)
Правая часть уравнения (19.24) будет при атом постоянной, и установившееся рещение для х с учетом автоколсбапий следует искать в виде х - х" + х', глс х* = а ейп шг. (19.27) Гармоническая линсаризация нелинейности (19.23) нри атом согласно (196) даст (19.28) В данной задаче согласно (19.24) уравнение (19.9) для периодических составляющих получит вид (Т г1)(Ту.г1)рх +(ь Т,р+й,+7г„,)йзс)х*=0, (1929) (19.30) 612 Нелинейкыесистемыавтоматическогоуправления Уравнения выл оматической системы (рнс. 19.5) заданы в виде (Ту + 1) хз = Й1хс, х~ =Д1 (г) — хл, хз (х) х х2 тое хос 'тосхл' (Ту- 1)рхз - йзхз-Ха(г), (Т Р + 1) ( ГУ + 1)Рх+ ( 7с, Т,Р + Я, -:- Я, ) аз Р(х) - Яс ( ТУ+ 1)Р 7; (Г) + + Я,лТ,р -~ й1 ~ й„„) гз(с).
е з 2с . х~ 4с (х Г = — агсз|п —, д = — 1-— и а яа (а! а уравнение (19.8) для постоя нных составляю свих будет (7г1 )г~н) 2г =Лт (19.20) (19.21) (19.22) Глава 19. Медленна меняющиеся процессы вавтокопебатепьныхсистемах 613 гле согласно (19.24) —. (19.26) Мс - й, ?," (4, + й ) Тзо.
(19.31) Т Тзрз+ (Т, + Тз) р ч. ( ! + Т~й~й д) р+ (й, + й, ) й~д = О, (19 32) и уравнения (19.11) поэтому примут вид Х=(?г, +4„,)?ьд-(Т, +Та)о> =О, (1+ ТЫпсд) ю ?\Та~~ (19.33) Исключая отсюда д, находим частоту авто колебаний lг, +й ш;,= Т,(тай, -Тй,) (19.34) Частота со в данной задаче оказалась нс зависящей от смеьцеп ия хо, а следовательно, и от величины внешнего воздействия.
Затем, подставляя в исрвое из уравнений (19.33) выражение д из (19.28) и го~ из (19.34), получаем бнквадратнос уравнение для отыскания зависимости амплитуды авто колебаний и„от смещения хо: — — — =О, (19.35) где величина 4йзт! (Т21 ТА .) п(Т, +?:,) (19.36) представляет собой амплитуду авто колебаний в данной системе при отсутствии смещения(ирихо О). Отсюла (19.37) Лолучецное выражениеможпозаиисатьтакжс в виде а а 4 АСОХ вЂ”, 2 (19.38) Выше были указаны два метода решения задачи.
Для иллюстрации обоих методов решим данную задачу каждым из них. Согласно первому методу сначала решается уравнение ( ! 9.29) для определения зависимостей а(х ) и оз(х ). о Характсристичсскос ура в псине здесь будет 614 Нелинейныесистемыавгоматического управления если обозначить 2хо а = агсейп —. Л (19.39) Результат (19.37) или (19З8) и представляет собой искомую зависимость а„(хо), Далее, согласно первому методу решения задачи, подставим полученное значение амплитуды ао из (19 38) в выражение (1928) для то, откуда с использованием (19 39) найдем функцию смешения о Р =Ф(х )=-а=-агсз1п — 04(х ~< —, о о с с 2х Г ~о! Л (19АО) (19А1) Сравнивая это с формулой (19.39), видим, что для искусственно введспной ранее величины а можно записать слсдуюгпее выражение: (19А2) Эта величина характеризует совокупное п приложенных к системс внсппгих воздействий.
Учитывая это, из формулы (19 38) находим амплитуду автоколебапий ао =Лсоз — ьЛ (19.43) Сушественно то, что амплитуда автоколсбаний зависит нс только от параметров системы (см. (19.36)), но еше и от величины внешних возлсйствий.
Эта зависимость нелинейная. В данном случае цри увеличении в пепи~их воздействий амплитуда умспьшас гся по закону косипуса, в то время как частота пе зависит от внешних воздействий. Из формулы (19 43) видно, что автоколсбан и я существуют до тех пор, пока величины внсшиих воздействий удовлстворяют условию ь го О< '"4 +)о <сй /г, +lг„. (19.44) При этом амплитуда авто колебаний изменяется в пропела х Л > ао > О, о Таков первый мстоЛ определения установившихся величии сме1цепия х, амплитуды ао и частоты ооо автоколсбапий при наличии впешп их . воздействий. где А определястся через параметры системы формулой (19 36).
Подставив величину (19.40) в уравпсние (19.30) для постояипых составлякпцих, с учетом (19.31) и (19.36) получим Глава19. Медленно меняющивсяпроцессы вавтоколебательныхснстемах 615 или, с учетом (19.31), (19Л5) Для отыскания входящей сюда амплитуды а воспользуемся уравнением (19.29).
Характеристическое уравнение для него будет (19.32), и уравнения (19,11) поэтому примут вил: Х=(Й, + ч„)лад-(Т1+7а)ш =0; У=(1- Т~1Д,д)ш — Т17ыв =О, (19.46) где согласно (19.28) и (19.45) ц= — з1п — ' „' +/~" (19.47) Исключая из уравнений (19.46) величину о, находим частоту авто колебаний а й1+Ф„,.
Т1(7;и, -Т1(;„.)' (19.48) Подставив найленные выражения д и ао~ в первое из уравнений (19А6), найдем амплитулу автоколебаний а„=Асов — ' ' +/; (19.49) глс величина 4сйхТ,(ТД вЂ” Тф . ) (19.50) н(Т, +Та) является амплитудой автоколебаиий при отсутствии внешних воздействии (прн Я'=о, Я=о). Подставив найденное выражение амплитулы (19А9) в формулу(19.45), получим окончательно величину смещения (19.51) Проиллюстрируеы также и второй метод. Согласно второму методу сначала решастсн уравнение (19.30). По (19.30) и первой из формул (19.28) находим о пра Мо — = вш — = айп а 2с 2с()о,+л,.)Ц 616 Нелинейные системы автоматического управления хо .
(1 2хо1 — = з1п — агсз1п— а (2 А! (19.52) а подставив это в первую из формул (19.28), сразу получим искомую функцию смешения о Р =Ф(х )= — агсгйл — ' о о с . 2х п А (19.53) где А выражается только через параметры слстем и согласно (19.50). Важно отметить, что функция смешения Ф (х") не зависит ни от числа внешних воздействий, пи от характера их изменения (если они постоянные или медленно меняющиеся), что наиболее наглядно было видно из первого метода решения задачи.
Итак,двумя разнымн методамиопределена всличипасмс~гтснияхлантоколебаний па входе реле. Найдем теперь установившуюся ошибку па ныходе системы хе Поскольку на выхолс должно носгйикизводиться вггепгнсе ноздействис (, (г), то согласно рис. 19 5 и второму уравнению (19 20) ошибка данной системы выражается величиной хп установившееся решение лля которой, следовательно, и надо нскап. Выразив переменную хо через х, которая уже известна, нз заданных уравнений системы (19.20) и (! 9.21) получаем Я.,Т~р + lг, + й, ) х~ = ( Т1!т + 1) х + й„,. (Т1 р + 1) р (1 (г).
Учитывая (19.25) и (19.27), перепишем данное уравнение в виде (~ Т1р+й, + й, )х, =хо+(Три 1) х*+ й,„,Т; (~ ей„,. (! г, (!954) В соответствии с видом правой части установивгпееся рещение этого линейного уравнения следует искать н виде (19.55) х, =х, +с,!+х,, о а где хг и с, — постоянные, а х, — периодическая составляющая. Как видно, второй метод в данной залаче приводит к тем жс самым результатам значительно более коротким путем, чем первый, что очсш нажно для практических расчетов (прин пинию! ьно жс оба метода э к ни валенпгы друг другу). По-вил имомов ббл ьшая простота второго метода будет иметь место и в большнпстнс других задач, В этом в ~ ором методе, в отличие от первого, функция смещения Ф (х ) не опрсдео ляется.
Однако последняя может понадобиться в дальнейшем лля других целей. Но се тоже легко можно определить при использовании второго метода. Здесь величины хо, а„и их отношение выражены через величины внешних нозлействий. Функция же смещения Ф (х ) ие должна содержать ни величии ннепших воздействий, ни амплитуды а„зависящей от них. Подставив значение квадратной скобки из (19.51) в (19А5), получим Гяава19. Меднение меняющиеся процессы а аатоколебательных системах 617 11одставив это в (19.54), получим трн уравнения для отыскания указанных величин; о Я„,.Тгр + )гг + lг„г) хг - (Тгр -г 1) х . (19.56) (19.57) (19.58) Второе из них даст lгг;)г .
(19.59) Тогда из (19.56) находим (19.60) гдех определяется формулой (19.51) через внснгннс воздействия. Наконец, из урав, о пения (19 58) получаем амплитуду антоколебаннй перемен ной х,: (19.61) () Тр'+й +( р) +(Т,р+1) (19.62) Как видим, составляющая, пропорциональная времени, в правой части уравнения исчезла, вследствие чего установившееся решение для ошибки х, в отличие от (19.55). будет х, =х, +х,. (19.63) гдс а„оггределястся формулой (19А9) через внешнее воздействие, а ог„— формулой (19А8).
Итак, в данной системе имеются все три составляющие ошибки (19.55), зависяпще от величины внепших воздействий и от параметров системы Наиболее нежелательной из них является составляющая с,г, возрастающая пропорционально времени. Поэтому систему необходимо видоизменить в первую очередь так, чтобы уничтожить эту составляющую ошибки, т. е. сделать с, - О.
Для этого можно было бы вовсе изъять лополнитсльную обратную связь (рис, 19.5), так как прн 1г . = О соггчаспо (19.59) будет с, - О, Однако при этом существенно возрастает ам пл итуда авто колебаний (19 61), г. е. периодическая составляющая ошибки.
Поэтому более целесообразной мерой будет замена жесткой обратной связи х,„- )г„,хг на гибкую х„- гг,„рхе Тогда в уравнении (19.54) величина/г,заменится нагг р; 618 Нелииейцыесистемыавтоматцческогоуправлеция При этом из (19.62) находим: (19.64) (19.65) причем изменяются, коцсчпо, и формулы лля х, а„и оз„(их можно получить таким же .о способом). Подбором параметров системы амплитуду автоколсбаций ошибки а, можцо сделать весьма малой. 9 19.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
