Бесекерский (950612), страница 119
Текст из файла (страница 119)
18А5, д. В заключение заметим, что цри исследовании нелинейных автоматических систем применяются также приближенные методы Б. В. Булгакова (см. [171 или 1701), которые здесь цс излагаются. Глава 19 МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ В АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ 5 19.1. Статические и скоростные ошибки автоколебательных систем В предыдуших главах исследовались симметри чц ыс автоколебания, как результат свободного движения системы (т. е. без внешнего воздействия) при симметричных нслинейностях. Однако, как будет показано, важноепрактичсскосзцаченисиместтакжс рассмотрение несимметричных автоколебаний.
Неснммстрия автоколебаний может вызываться различными причинами: 1) несиммстричцостью нелинейной характеристики как прн наличии, так ц ири отсутствии внешних воздействий; . 2) наличием постояндого или медленно меня>ощегося внешнего воздействия при симметричных цслинейностях; 3) наличием постоянной или медленно меняющейся скорое~и изменения внешнего воздействия при сиь>л>етричных нслинейностях (для тех случаев, когда постоянное воздействие цс вызывает смещения центра колебаний; обычно зто имеет место в следя>цих системах и вообще в астатичсских системах). В самом деле, если имеется несимметричная нелинейная характеристика (например, рис.
19.1, а, б), то даже при симметричных колебаниях переменной х - а з>п шг возникал>т несимметричные по амплитуде >толе бания переменной г(рис. 19.1, б). Если же нелинейность симметрична (напрнмер, рис, 19 2, а, б), то цри наличии постоянного внешнего воздействия (или в астатичсских системах при наличии постоянной скорости изменения вцгшнего возлсйствия) смен>ается центр колебаний переменной х - х + а з!и шг, вслелствие чего колебания переменной г становятся несиммстричцыо ми по амплитуде и по времени (рис. 19 2, а) или только по времени (рис. 19 2, б). Пусть задана автоматическая система, динамика которой онис>ивастся уравнением (19.1) Д(р)х+ )7 (р) р(х, рх) = 5(р)/ (г) 608 Нелинейные системы автоматическогоуправления В данном параграфе будем считагьг'(г) = сонат = г' для статических систем нли жс ру (Г) = сонат = Г, для астатических систем.
Лстатической системой называется такая, о. в которой миогочлеп 5'(р) имеет обший множитель р, т. с, 5 (р) = р5, (р). Позтому запишем уравнение (19.1) в виде Я(р)х+ г((р) Г(х,рх) =Мо, (19,2) гдесоответствсино Мо = .т (О) г' о или Мо = 5, (О) (;о (19.3) При зтом решение нелт1исйно~ о уравнения (19.1), в отличие от прежнего Ц 18.2), ишется в форме х = хо е х". где х* = а ей и гог, (19.4) причем х, а, со являются неизвестными постоя~пгыми.
0 Глава 19. Медленно меняющиеся процессы вавтоколебательныхснстемах 609 Р(х Рх) =" +~Ух + — Рх + высшие гармотшки, л в Ч е) где при обозначении у = юг (19.5) ро = — ус(х +лайлат, аотсозу)Ичг; 2я О 1 2п а= — 1Р(х +азупцт, ашсозчу)з)лцзр; па о 2~ гу'= — ) г"(х~+азупцу, аюсощ)созцгк(цг. кг' о (19.6) Отсюда видно, что в обшсм случае всс три коэффициента являются функциями трех неизвестных: Ф(х" а ш), а(хс,а,со), д'(хс,а,от). (19.7) В частных случаях этн зависимости могут быть более простыми. Подстановка выражений (19 4) и (19 5) в заданное дифференциальное уравнение (19.1) с учстом свойгтва фнлы ра (см. 9 18,2) дает я(р)(х" +х*)+)у(р) р +сух'е — рх* =М .
Это уравнение разбивается на два а (0)хс - УУ (О) /Я = Л40 Я(р)х*+УУ(р) ту+ — р х'=О. (19.8) (19,9) При таком разделении сохраняются сушсствеццо нслинейныс свойства и отсутствие супсрцозиции ршнений, так как остается нелинейная взаимосвязь обоих уравнений через соотношения (19.7). Можно предложить два метода решения задачи. П е р в ы й м с т о д состоит вследукнцем.
Уравнение(199) совпадает с прежним уравнением (18.33); отличие состоит лишь в том, что теперь коэффициенты д и гу' согласно (19.7) зависят не только от а и щ но и от сме~цен ня х . Поэтому, написан как о прежде характеристическое уран непис Я(р)ьУУ(р) ту+ — р =О, гу (19.10) С учетом величины смеи1епия х первые члены разложения в ряд Фурье вместо о (18.6) и (18.7) следует записать в виде заменив р наро н выделив вспьсстнснную и мнимую части, в отличие от (18.36), получим здесь два алгебраических уравнения с тремя неизвестны ми: Х (ха, а„, со„) = О, У(ха, ан, оэ„) = О. Эти уравнения дают возможность опрелслить амплитуду а„н частоту юк авто колебанийй как функции постоянной составляющей х: о.
и„(х ), сок (х~). (19.12) Для решения втой задачи можно применятьлюбой из способов, описанных в 9 18.2, в зависимости оттого, какой нз них лучше подходит к условиям заданной конкретной задачи. Таким жс способом можно определить зависимость и и оо не только от х, но и а от параметров системы с целью выбора последних. Что касается тех способов 6 18.2, где исполы~уются графики д (и) и а' (и), то здесь их необходимо строить в виде серии кривых при разных постоянных значениях х (рис. 19.3). После того как из уравнений (19. 11) опрелслеп ы зависимости (19.12), можно, воспользовавшись первым из выражений (19 7), найти функцию смещения Ро ~, о (19.13) Подставив ее в (19.8), получим алгебраическое уравнение Д (О) л+ Л (О) гР ( ') = И' (19.14) с одной неизвестной ха, которая отсюда и онрслслястся.
Чаще всего зто уравнение относительно х является трансцснлентпым и решается графически, Затем согласно (19.12) определяютсятакжеамплцтудаи„и часготаоо,. Указанную зависимость (19.12) амнлитулы и частоты авто колебаний от величины смещения центра колебаний пало вссгла иметь в вилу. Прп олних нели нейностях опа может быть весьма существенной, при других — менее существенной. В т о р о й м с год решения той жезадачисостоит, наоборот, атом, что сначала решается уравнение (19 8), где согласно (19 7) будет Е (ха, а, оо) или часто Г о (хо, а). Решение получает вид хо(и, го) или х (и).
(19.15) 610 Нелинейные системыавтоматического управления Это рсшспнс подставляется затем в уравнения (19.11), которые, таким образом, будут содержать только две неизвестные: а„и шн. Определив последние (но лкн бому из способов 9 18.2), вычисляем потом но (19,15) н величину ха, кап орая будет в результате зависеть о г формы нелинейности, от параметров системы и от впс~ппего воздействия М . а Глава19. Медленно меняющиесяпроцессы вавтохолвбательиыхсистомах 611 Величинах и является искомой стаглическои нли скоростнгш ошибкой соответо ствснно для статичсской и астатической систем. В тех случаях, когда передаточная функция линейной части системы Я (р)/Я (р) имеет нулевой корень в знаменателе, т.
е. когда Я (0) -. О, вгяесто (19.14) получаем уравнение Мо Ф(х )=— Я(0) (19.16) откуда определяется статическое отклонение или скоростная ошибках (М ). В случае, когда при отсутствии внешнего воздействия (М = 0) определяются автоколсбания в системс с несимметричной нелипейностью, т. е. нелпнейпостьюр(х) или же р (х, рх), для которой ~ Р(и ейп вг, ишсоз ог) Йр и 0 о (19.17) вместо уравнения (19.8) получаем 0 (О) хо + )г (0) ро = О. (19.18) Оно решается любым пз тех жс двух методов, описанных выше для уравнспия (19.8). Одновременно согласно (19.11) определяются хо, а„, соа.
Если в зтом случае знаменатель Я(р) передаточной функции линейной части спстемы имеет нулевой корснь, то Я(0) 0 н, следовательно, уравнение(19 18) с учетом (19.13) принимает вид Ф (хо) - О, (19.19) откупа определяется хо. Это означает, что в указанных системах возникает такое смещение х колебаний переменной х, которос ликвидирует свойственную данной нслинейности нссиммстрию колебаний псремсппой р(т. с. обеспечивается р" = 0), как показано, например, па рис. 19А в отличис от рис. 19.1, б. Приведем пример исслелования совместного влияния двух внешних воздействий, причем из дальнейшего будет видно, что, в отличие от линейных систем, здссь нельзя просто склалы вать статичсс кис ошибки от отдельно взятых воздействий. где Г(х) — простейшая силтлтстричиая релейная характеристика показанная на рис. 19.5; Г(х) =сз18пх.
(19.23) Чтобы воспользоваться выведспными вьсше обпсими формулами, пало сначала привести заданную систему уравнений (19.20) — (19.22) к одному уравненисо тина (19. 1). В результате получаем ПустьЯГ) является задающим воздействием, изменяющимся с постоянной скоростьюо; Л(г)= У,'г (19.25) которое требуется воспроизвести на выходе систелсы в виде хл (г). Допустим также, что второе внешнее воздействиеЛ (г) является возмущающим и имеет постоянную вел ичи ну (например, постоянная нагрузка на выходном валу с истемы): ,та (с) = сопля /з . (19.26) Его влияние трсбуется свести к минимуму. 11айдслс установившуюся ошибку па выходе системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
