Бесекерский (950612), страница 123
Текст из файла (страница 123)
Медяенно меняющиеся процессываяоколебагельныхсистемах 629 Вычисляя кооффиннснт г! (а, хо), получаем ! 2 21= — ) Е(хо+аяпЧг)япЧгг(212= па о ~ Я-2г2 Я вЂ” Ч2 1~ — ~ !г~аяпгг'-(Ь вЂ” х ))япЧЫ2!г- )г Ь(аяпг12 — (Ь+х )1япг1гг(2!г = .о о ю т2 1 .. 11 2Ь О О =-~п-(2!г, +Чгг)+ — (яп221г, +яп22122) — — 1(Ь-х )созг!г, +(Ь+х )созг1г. 1, п~ 2 кй что с учетом значений углов даст Ь( . Ь-хо .
Ь+х г! = Ь - — агсяп — + агсяп + Ь-.О, (Ь- ')2 Ь+.', (Ьех')' а а2 а а2 (19.84) (Ь+хо) (Ь-х )2 о . Ь+хо о . Ь хо1 +(Ь+х )агсяп — '+(Ь-х )агсяп а и Ь ( . Ь вЂ” " . Ь+.хо г! = — агсяп — +агсяп ' + 22 и й (19.85) Ь вЂ” х" (Ь вЂ” хо)2 Ь+х (Ь+х ) а й2 а и г 1 Ь + ! Про л юстрирусм на примере данной нелинейной характеристики графики Г х „,! (й1,О ,о о с Ь Ь ' Ь ~ Ь = Г! 'прнразных — =сопзг н -=уг приразпых — =сопзг,вычисленные по формулам (19.85) и представленные на рис. 19.13. при а > Ь+ (х~ (.
Нелинейная характеристика с насыщением. Для нелинейной характеристики с насыщением (рис, 19.8) нри несимметричных колебаниях апалогичпыаг путем получаем слелу2опгис значения постоянной составляющей е (й х ) н козффипиента гармонической линсаризании Г! (й, х ). 630 Нелинейные системыавтоматическогоуправлення Р = йх .
Из графиков Лля Е (рис. 19.13, а) винно, что при наличии колебаний входной величины нелинейногозвенаегосгатическая характеристика лля мсллснно меняющегося воздействия (функция смещения) сглаживаегся, нричсм увеличение амнлитуды колебаний вхолной величины нрнволиткумсньшснию козффициснта усиления нелинейного звена по ностоянпому или медленно менявшемуся входному воздействию. Графики лля о (рис. 19.13, б) характеризуют прохождение через ислинг йное звено колебательной составляюшс11 в зависимости от амплитуды на входе и смешения центра колебаний. Как вияно, унсличснне смещения приводит к уменьшению коэффициента усиления лля колебательной составляющей.
Нелинейнаяхарактсристика тиналюфтаилнзазора. Вслучас несимметричных колебаний нелинейная характсригтикатииалюфта или зазора (рис. 19.14) смешается вдоль средней линни, так что ее прежний центр О переходит в положение О'. Постоянная составляющая в атом случае определяется нростой формулой Колебательная составляющая функции г(хо + а гйп ~у) относнтелыю нового центра колсбаний не зависит от всличины смешениях". Так, например, зубчатая пара, имеющая люфт, передает движение с тем жс нерслаточным числом для люоых углов новорота ведущей шестерни, В случае колебаний в книематическойнсредачс,включающсйдаииую нару,люфтбулет проявлять себя одинаково для любых углов поворота. Поэтомулля козйх)зициснтов гармонической линсаризании характеристики типа люфта или згсюра в с л учао смегнешюго центра колебаний относительно начала отсчета будем иметь те жс формулы (18.27), что и лля случая симметричных колебаний.
Глааа20. Оценкакачества нелинейныхлроцессовулравления 631 Глава 20 ОЦЕНКА КАЧЕСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ 5 20.1. Приближенное исследование колебательных переходных процессов х =- аоео >3 п(шг е о>). (20.1) Если же частота о> и показатель затухания Г в нроцессе колебаний меняются с течением времени, то решенно следует записывать в лру> ом виде. Во-первых, следует писа > ь ейп»> (г) и определять текущее значение частоты в произвольный момент времени в вндс (20.2) причем = ~ гвг(~+в>о, о (20.3) где >у,> — постоянная (начальная фаза), Суцгествуот дру- гой способ, когда полагают >и = >лог ч.
>(>(г) при о>о "соозц причем согласно (20.2) теку шсс значение частоты (20А) Однако в данной задаче целесообразно придерживаться первого представления ((20.2) и (20.3)). Во-вторых, лрн переменном во времени показателе затухания следует онрслслять тскуи>сс значение амплитудь> а (рис. 20.1) цс в виде аое~', как сделано в (20.1), аз виде дифференциальной зависимости г>а — = а». г>г (20.5) Рассмотрим симметрнчныс относительно ос и времени колсбатсльныс нсрсходныс цроцессь> в нелинейной автоматической системс, которые в псрвом грубом приближении мо>.ут оыть описаны затухал>щей или расхода>лейся синусоидой с медленно меняющимися во времени показателем затухания и частотой (рнс. 20.1).
Преждс чем записать это х>втеки>тически, обратим внимание ца два существенных обстоятельства. Для линейных систем, когла показатель затухания à — — соиле и частота о> - сопзц пишут 632 Нелинейные системыавтоматического управления Тесла в случае линейной системы, когда С .= сопзц получаем как частный случай Ыа — =~й, а=псе'~, а а в случае нелинейной системы, когда Г меняется в процессе колебаний, текущее значе- ние амплитуды согласно (20.5) булст гга — =ГЙ, а=а,е" а (20.6) т.
е. огибающая колебаний (рис. 20.1) состоит из элементарных отрезков акспонент с непрерывно меняюгциыся показателем Г. Итак, будем искать решение для церехолпого процесса в нелинейной системе как первое приближение в вилс х-аз1п ~у, (20.7) Ыа Йу — =аГ, ш= —, й ' й (20.8) причем искомыми неизвестными будем считать медленно меняющиеся величины ~ и ш «Показатель затухания» может характеризовать быстроту не только затухания, но и расхожлспия колсбаши й: аа — >О при Г>0;~ й аа — <О при Г<0, й (20.9) (20.10) рх - ага соз Чг + аГ ей и чг.
Отсюла и из (20.7) получаем х рх Гх р — Ь япц/ ю —, созе = — — — = — х. а ао1 аш аш (20.11) т. е. положительным значок ~ням «показателя затухания» ~ соответствуют расхоцягцисся колебания. Как уже было сказано, величины Г н гп считаются медленно меняющимися функциями. Олнако поскольку постоянные значения Г, могу1 соответствовать в линейных системах как медленному, таки быстрому аатуханию колебаний, то и медленно меняю нц«еся значения ~ могут харакгеризовать как тс, так и другие процессы. Формулы гармонической линсаризации нелинейности лля рассматриваемого случая булут иметь некоторую особенность по сравнению с прежними.
В самом лслс, если величина показателя затухания Г нс мю1а, то, лиф~1юренцнруя выражение (20.7) по времени как пронзвсленис двух функций, с учетом (20,8) пахолим Гневай). Оценка качества нелинейныхпроцесоое управление 633 Позтому первая «гармоника» (затухакнцая цли расходящаяся) пели цейс сой функции Е(х, рх) при х = а (г) з1п чс (г) вкюсто (18.6) здесь будет Е(х,рх)=дх+д' х= сс — — сс1х+ — рх, с( (20.12) где 1 2» ос= — ) Е(аяпдс, аюсощ+асз1пчс)япчсс(ес; ла о 1 су'= — ~Е(аз)пф, асосозвс+асзсоос)соз~1сйу. ла о (20.13) Здесь в обпсем случае козффициецты гармонической линеаризации будут зависеть от трех неизвестных; а, со и ч.
Если же рассматривается нелинейность Е (х), как чаще всего бывает, то с7 и с)' сохраняют прежний вид: 12 2к су = — 1 Е(аз)п ос)Я пассос, ст'= — 1 Е(аюпчс)соззсссчс, (20 14) лсс „ ла о и в атом случае можно целиком использовать материал главы 18 в виде готовых выражений су (а) и су'(а) для различных конкретных цслинейцостей, учитывая, однако, новук> форму (20.12) замены нелинейной функции, В случае нелинейных систем цсрвсжо класса дифференциальное уравпсцне колебательного переходного процесса (20.15) Я( р)х е Я( р) Е(х рх) = 0 Ир)х+Й(р) сс+ — сс' х=О. р — с, (20.16) Коле батсльцый процесс в линейной системе, описываемый решением (20.1), соответствует паре комплексных корней характеристического уравнен ня р = С, +)со с постоянными значениями с, н щ Аналогично и колебательны й процесс в нелинейной системе, описываемый приближенно формулами (20 7) и (20 8), определяется медленно меняющимися значениями с, и со, которые можно цахочить нутом определения пары комплексных корней р = с + ссо характеристического у) звнения гармонически лицсаризованной системы (20.16).
В соотвстствии с зтим в характеристическое уравнение Я(р)+Я(р) сс+ — а' =0 (20.17) при наличии свойства фильтра Ц 18.2) после гармсцсичсс кой л инеаризации согласно (20.12) принимает вид 634 Нелинейныесистемыавтоматичесхогоупрзвления ~ содстави и р = с, +уса для определения значений Ь и со, удовлетворяющих этому уравнениюю. В результате получим Я((о3а)о)с(с",,+)со)(с(+Я')с ц (20.18) Подстановку значения с', + усо вместо р в лсобой многочлсн удобно вьнюлнять путем разложения его в ряд по степенямусо, например: (20.
(ИЦ') . 1(с('а1 ., 1(.г"Ц1 Я("+)со) =ЯОсо)+~ — ч;1 ( (а'1 ~ с1р '. (с("с,е)то) = Я(уо)+~ —, 1' И~ ~м„,' (20.20) где индекс7со означает подстановку усо вместо р в вьсражсн ия для производных. В комплексном уравнении (20.18) солсржатся трн нензвестныс: с„со и а, причем последняя входит в с7 и с)'. Поэтому указанное комплексное уравнение позволяет найти две перемени гое как функцию трстьси: с =с,(а) и со=со(а), (20.21) т. е. изменение показателя затухания С и частоты со с изменением амплитуды а затухающего или расхоляигсгося колебательного процесса в нелинейной системе.
Когда функции (20.21) найдены, можно, пользуясь двумя дифференциальными уравнениями первого порядка (20.8), найти а (г) и цс (с) для первого приближения искомого решения нелинейного уравнения (20.15) в форме (20.7). Интегралы уравнения (20.8) имеют при заданных начальных условиях (а = ао, цс = цсо при с -О) следующие выражения; а — — цс = ~со(а) с(г+цсо, ас",(а) (20.22) где ь (а) и со (а) — найденные ранее функции (20.21).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
