Бесекерский (950612), страница 124
Текст из файла (страница 124)
Из нсрвого уравнения (20.22) определяется а (г), а из второго — цс (Г) после подстановкии в |~его а (Г) из первого. В результате получаем рсгиснис (20.23) х = а (г) ей и цс (г). где индекс с, оз~ сачаст, что в выражения производных надо нодставп гь с, вместо р. 11о такой же формуле разлагается в ряд и многочлсн Й (с, ~-усо). При малых значениях с, (для медленно затухающих процессов) вместо (20 19) удобнее применять раз:южспис по степеням Ь, ограничиваясь его первой степенью, а именно: Глаеа20. Оценка качества нелинейныхпроцессов управления 635 Операция интегрирования (20,22) во мноп<х случаях лля оценки качества псрсхолных процессов в автоматических системах нс нужна.
В большинстве случаев вполне лостаточно бывает ограничиться нахожлением функций (20.21) из комплексного алгсбраического уравнения (20.18), так как качество симметричного колебательного верех олного процесса вполнес может быть охарактеризовано величинами Г, о<и их отношением Г,<<э, а также характером нх изменения в зависимости от амцлитулы колебаний и от параметров системы, Это лостигается построением так называемых диаграмм качества затухания симметричных нелинейныхколсбаций./!иаграмманарис. 20.2 представляет собой семейство линий Г = сопи< нлиний <о =сопэгнаплоск<и'гискоордин агамин /<, а, причем /< означает какой-либо нз основных ноллсжащих выбору параметров Область усто<<чи-, 'Область вости равиовссия, автаковсбаииа а Рис.
20.2 системы (коэффициент усиления или яр.). Да<я линейной систсл<ь< линии <, " сопя< и <о = сопя< в тех же координатах имели бы вил вертикальных прямых, так как показатель затухания н частота кол <бател ьп их нсрехолных процессов в линейной системс нс зависят от величины ам илитулы колебаний а, а менякутся только с изменением параметров системы (в дашпж< случае /г). В нелинейной же системе эти линии искривляются (рис.
20.2) илн пр<юто наклоняют< я в зависимости от формь< нслипсиности и от общей структуры системы. Это выражает собойй изменение показателя затухания " н частоты эу нелинейных колебательных переходць<х процессов с изменением величины амплитуды колебаний а. Значение Г - 0 соответствует отсутствию затухания, т. е. сохранению с течением времени постоянной амплитуды а ®апримср, то <ке С(рис, 20 2) сиутвстствуют колебания с постоянной амплитудой ас(автоколсбания).
Поз гому линия ь = 0 надиаграммс качества (рис. 20 2) нрслставляст собой цс что иное, как зависимость амплитуды автоколебаний от царамстра системы /<, которая опрелслялась в главе 18. По одну сторону от этой линии лежат линии Г = сопв< > О, а по другую — Г, = соле«0.! !орви<с соотэетству<от расходящимся колсбан ням, а вторые — затухающим. Протекании< переходного процесса во времени соответствует лвижецис изображанлцей точки М по вертикали (так как амплитуда а э оерехолном процессе меця ется, а коэффициент усиления /г сохраняется постоянным), как указано на рис.
20 2 нуи ктнром и стрелками. Е!апримср, значению/г в точке б соответствует вертикальная прямая МэА, Поскольку эта прямая пересекает линии только с отрицательнь<ми значениями ь, то колебания в переходном и роцессс будут затухать, т. с, изображающая точка М будет двигаться из некоторого начального положения М„(где залаца начальная амнлитула аэ) вниз. Пр<и<есс изменения амплитуды во времени показан на рис. 203 а. Изменение частоты е<(а) определяется при этом но соответствующей вертикали на нижней части рис. 20.2.
63Б Нелинейныесисгемыавтоматического управления Х(а, <о, <,)=О, ( У(а, щ <",)=О. ) (20.24) Пусть требуется построить диаграмму качества затухания нсл инейных колебаний по некоторому параметру системы ><, который входит в коэффициенты уравнений (20.24). Выразив па основании одного из зтнх уравнений величину В том случае, когда, параметр /< в исследуемой системс имеет значение, соответствук>щес точке Е(рис.
20 2), получается два варпагц а протекания переходного процесса, Гслн начальное положение изображающей точки будет ниже точки С(и„< ас), то ч > О, т. с. колебания расходятся и изображающая точка идет, как показано стрелкой иа прямой ЕС, асимптотически приближаясь к точке С. Это соответствует процессу изменения амплитуды колебаний во времени, изображенному на рис. 20.3, б. Гели же ар < ас, то >", > О, и изображающая точка пойдет по прямой НС вниз (рис.
20.2), что соответствует затухающему переходному проце< су (рис. 20.3, в), асимптотически прнблин<аю>цемуся к автоколебаниям с амплитудой ас, Процессы, аналогичные этому, будут иметь место при любом значении параметра << правее точки О (рнс. 20.2). Следовательно,область значений параз<етраг<,лежащая правее точки Й является областьк> существования авто- колебаний, к которой сходятся колебатсльные переходные процессы с обеих сторон (снизу и сверху). Прн этом положение равновесия системы (любая точка а - 0 на оси абсцисс) в данной области значений параметра выявляется неустойчивым, так как колебания в переходном процессе от исто расходятся, стремясь к другому устойчивому состоя н и к> — а в ток ол обатсл ьпо му режиму.
Левее жс точки 0 (рис, 20 2) лежат значения иарал<стра Ф, при которых псрехолнь>й процесс затухает от любой начальной амплитуды авдо пуля. Это ссть облагть устойчивости равновешюго состояния системы. Левее линии а> = 0 (рнс. 20.2) лежит обычно область монотонных переходных процессовв, Итак, если диаграммы качества для разных структурных схем какой-либо автоматической системы построены по различным параметрам (>< и др.), то они могут служить хорошим материалом для выбора наилучших параметров нелинейной системы цри ес нроектировании или синтезе. Обратимся теперь к способам построения этих диаграмм. 1!е р в ы й с и особ. Выделив в уравнении(20 18) всществснну>оХимнимую Участи, подобно тому как это делалось в главе 18, получим два уравнения: Гяава20.
Оценхахачесгванеяинейныхпроцессовуправпения 637 и подставив ее в лругое из уравнений (20.24), найдем ) =Л( .") (20.26) Тогда, придавая ~ различныс постоянные значения, по (20.26) можно легко построить семейство линий ~ - сопзг на диаграмме качества (рнс. 20.2). Затем, используя (20.25), можно построить также семейство линий го = сопи. В т о р о й с п о с о б. Характеристическое уравнение (20.17) можно записать в развернутом виде: ю 1 л-1 ь 1 и-2 + + 1 + (20.27) где все коэффициенты Ан Аи ..., А„или часть из ннх являются функциями искомых величин а, ю н Г (в простейших задачах только от а).
Разложим левую часть уравнения (20,27) на два сомножителя: (р" +Ср" +-+С. )(В+В р+Вз), (20.28) послеДний из котоРых соотвстствУет основной паРс комплексных коРней Р, т - Г +)со, определяющей колебательпый псрехолный процесс в исследуемой системс. Тогда по- лучаем — го =Ва — ~, 4 2 2 2 (20. 29) А, = С, +Вн Лз Сз — В,+В,Сн...,А„=С„зВи ' Для нахождения величин Г и ы необходимо, очевидно, в формулах(20.29) выразить коэффициенты В, н Вт через коэффициенты первоначального уравнения (20.27). В частности, для характерисз ического уравнения, тре'гьей степени р' А,р ~- Лье+ Аз =- (р ~- С~)(р е В,р+Вз) = 0 имеем: (20.30) А, "С, ь Во Аз = Вз+ В,Сн Аз- С,Вз Чтобы значения ~ и ю (20 29) определяли основную часть решения, а третий корень уравнения можно было нс учитывать, нужно, чтобы или А, » ~ ь ~, В,~ (20.31) чем онрелелястся верхний предел для апачей ~ий,~ ~ (, которые следует брать при постро- ении диаграммы качества.
Первый изсомножнте гсй (20 28) должен имею значительно большие по модулю корни, чем второй, чтобы колебательное решение, соответствующее искомым корням р, з при принятых начальных условиях, было основным. Коэффициенты разложения (20.28) связаны слслующими соотношениями: 636 Нелинейные системыавтоматнческогоуправяення Составим предпоследний определитель Гурвина Нл ! Л!Аз — Аз = (С, е В,)(Взч В,С,) — С!Вз= В!(Вз е С! <-С!В!) Нл-! (А! Аз Аз ( 2~А, +(А, + 2ь) ]~ 2~А, +(А, + 2ь)')1 (2002) Далее, поскольку из (20.30) следует, что В! = А! Л! С, А,— В, то из (20.29) получаем формулу для квадрата частоты: 2 Лз ~з Л, +2Г (20.33) Формулы (20.22) и (20.23) позволяя!т строить диаграммы качества лля систем третьего порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
