Бесекерский (950612), страница 128
Текст из файла (страница 128)
Уравнение анагснтического метода (21,17) примет вил 2 Х2(сов)ч )а (с»в) Вг и„= Хо(ог,а,хо)+У~(со„ав,х ) (21.35) где Хц Ув и Х, У обозначают веществен ныс и чним ыс части соответственно для выраженияя 5з (гсо„) и выражения () (гцг„) + А (гаг,) (д (ав, цг„, хо) в-)с)' (ив, сов, х )1. Оба уравссегсня содержат все три неизвестные а, ср и хо. Второе из зтнх уравнений совпадает с прежним уравнением (213), но только с ниымц козффнциснтамн гармонической линеаризации с) и сг', зависясцими от велич ипы смссгссния х . Поотому уравнение (21.32) до конца решается толысо совместно с о уравнением (21.31), хотя, как будет видно пз дальней снего, возможны н более п)эостые случаи. Пока жс можно, написав характеристическое уравнение вида (21.12), после подстановки р =уса„привести уравнение (2132) к следующему: 656 Нелинейные системы автоматического управления Уравнецис (21.35) нс решается так просто, как (21.17).
Однако можно применить следуювнгй графический прием сторон>ения. Разбив (21.35) надва уравнения: а,,=»; К~(го„,нюхе)+у'(ю„,аюхс) построим цо первому из них на плоскости (;, а„) криву>о 1(рис 21.7), а по второму— серию кривых 2 для разных значений х = соне> нри заланных 1> и а> . Перенося полу- - .0 чснныс точки пересечения кривых нцраво на цлоскогть х, ам получаем сразу искомую о зависимость а„(х ) Лля занан>к>го ннсшнсго цсриоличсского воздействия, т, е, лля заданной пары зцачспнй т> н гс„.
Эту зависимость легко получи > ь таким же цу гслг и для л>обыхдругихзаданных В и ю„. Подставив теперь значение ампл>пуцы а„в верное из выражений (21.29), найдем функцию гыс>цсния В вн'чс 7 с гР(та с> т>) (21 36) которая является характеристикой ла>пп>го нелинейного звена систел>ы поотноп>сник> кмедленцо менякнцимся составляющим переменных Е их Эти мсцленно хн>пяюшисся с оставляющие онрсдсляготгя затем путем решения лиффсрспциалынио уравнения (21.31), в.которое надо полста- вить найяец ную функцию смещения (21.36).
Независимость очес>>тания функции сме>г>ен>гя Ф (х ) от характера изменения н места приложения медленно меняющихся в певших возлсйгтвий зхссь остастгя в силе, как Г>ыло и при автоколсбан иях ( глана 19), О;шако прнпцнциачьным отличием функции смешения (21.36), оцрслеляющей прохожление мс>>ленво менягошихся сигпалов через нелинейную систему при наличии вынужденных колебаний, от функции смещения (19,13) цри автоколсбапиях является существенная завнси- Глава 21. Вынужденные колебания нелинейных систем 657 ность ее от частоты и ам сслитуды внссннсго нсриоличсского возлсйствия (в то время как прп автоколебапиях вид функции смешения зависел толыцо от структуры и от соотношения цараметрон самой системы).
В результате для каждой зассагшой частоты выпужленпых колебаний ю„ссолучается серия кривых Р = Ф (х ) лля разных значений амплитуды В внешнего перноднчссо о кого воздействия /з (г), как показано, например, ца рис. 21.8, а. Прн заданных со„и В получается вполне определенное очертание функции смен сония Ф (х" ), зависящее только от ст руктуры и паране гров самой с истомы, входящих в уравнение (21,33) Злесь, так же как н в главе 19, возможен и второй метод отыскания функции смещения. При этом методе попутно опредслясотся также статические и установившиеся ошибки.
Метод состснст в глсдукпцсм. Поскольку функция сменсенпя Г - Ф (х ) пеззвисит от характера изменения и ,о о места приложения медленно мспякнцихся воздействий, то сс можно оссредсл>сть для прюстсйшсго случаяу с - сопле = /, (или при астатической системс дляр/, - сопзг = дс ). о о Тогда урависссис (21.3! ) прпнимаст вид Д(0) о + В(0) Ро Мо (21.37) гдеМ 5с(0) 7с нлплляастатнчсскпхснстсм о о М о ~Р о г-о Ищсол ьзуя первое выражение пз (21 29), т. с, (при заданной частоте со„) Е~ (х, а„), (21.38) из уравнения (21.37) находим (21.39) х (а„,М ). Подставив зто в выражения для су и су', определяемые второй и третьей нз форму. с (21.29), получим зависимости су(а„,М ) н с)'(а„,М ).
Вводя их в уравнение (21.33), эквивалентное (21.32), и решая его любым из двух спс собов, указашпях выше, при заданных В и со„находим амплитуду вынужденных колебаний а, (Мо). Г1одставляя а„(Мо) в (2138) и (21.39), получаем зависимости Во(.о Мо) и о(Мо) (21.40) Этн зависимости представляютсамостоятельный интерес, так как ими определяется статическая ошибка (а для астатич секо й системы — установившаяся оп с нбка п)пс постоянной скорос ти) нелинейно!1 системы по медленно м сия сон сейся составляю спей, на которую паклалываегся еще ~стассовившаяся периодическая ошибка вынужден п ьсх колебаний с амплитудой а, (М ).
Все эти ошибки оссрсдсля сотся, как видим, в зависимости от вел ичшсы цостояш ей правой части М "уравнения (21 37), т. с. от величины 658 Нелинейные системы автоматического управления впеншсго возлсйстния (постояииого и равного >; или меняющегося с постоянной скоко ростьк> д> ). Но, кроме того, что очень важно лля ислиисйиых систем, нслпчипа статичсо си<и о отклонения х (М ) может существенно зависеть от амплитуды В и частоты ю о о внешнего периодического ноздейстния, так как выражения (21АО) выводились с по- мощью уравнения (21.33), в которое входят В и о>,. В свою очередь амплитуда вынуж- денных колебаний а„зависит через Мо от величины постоянного впеп>пего воздей- ствия.
Это яркий пример неприменимости принципа суцсрпозиции для нелинейных систем и в то же время иллюстрация достоинства развиваемого злесь метода, который позволяет это уловить, несмотря иа приближенность ре>пения задачи, Далее, исключая из выражений (21АО) величину М, находим фуикцшо смсщсо иця )г~ = Ф (х ) для заданных В и о>„(рис. 21.8, а), Итак, наличие н нелинейной системе вынужденных колебаний с частотой внешне- го псриолич еского воздействия приводит к эффекту нпб рад ион ного сглаживания не- линейности, как и прп антоколсбаииях.
При этом согласно (21.31) для медленно прот с- кагоших процес>ч>в в условиях вынужденных вибраций исходное дифферсппп альцос уравнение системы (2!.24) заменяется уравнением О (р) хе ч- Й (р) Ф (хо) - Г> (р) /'> (г), (21Л1) т, е. заданная нелинейность В (х, рх) залтеиясття функ>> ивй смещения Ф (хо) и отбрасываетсяя внешнее периодическое воздействие)з (Г), по сравнению с которым /> (г) является мсллеиио меня>ошимся. Функция смещения Ф (х ) обы шо па определенном участке изменения величины хл изображается олнозиачпой плавной кривой (рпс.
21.8, а), в то время как заданная нелинейность Г(х, рх) или Р(х) может быть скачкообразной (релсйпой), пстлсэой. с зоной нечувствительности и т. и, Этот эффект сглаживания характеристики пел иисйного знспа позволяет, елслонатсльио, лика илировать алия ицс нрслцых гистерсзисиых петель, зоны нечувствительности, эффекта сухого трения и»р, по отцошеиик> к медленно меняющимся сигиалам.
В некоторых же случаях вибрациоииос сглаживание может оказаться отри нательным явлением, как было в случае рис. 19.8, где получался эфг!>ект снижения коэффициента усиления. Кроме этих явлений, аналогичных вибрациопиому с»лажинапию при автоколебаииях, здесь появляются и приипипиалыц>»овыс явления вслслствие зависимогти характеристики Ф (х ) от В и о>„, что будет поло робпсс рассмотрено ниже. Плавность функции смещения Ф (хо) (рцс, 21.8, а) позволяет произвести обычную лииенризацию, а пмспио иа некотором участке вблизи начала коорлипат можно цри»ять (21.42) где (21.43) Гнала 21. Вынужденные колебания нелинейных систем 659 Теплица 21.1.
Нелинейные коэффициенты усиления Выра»кение й„(а,) Форманеаинейности ~ ~кь ь, ь, а нкь ь »ныь » »н;»Ь» »и та и/и 2Ь( . Ь, . Ь) Й» = — агсяп — ~ — агсагп л( и„ а„) 2Ь . Ь А» = — агса(ив л и„ 2Ь . Ь /г» =Ь вЂ” — агсвпп гт а„ 2(А,— А) . Ь е =ла — — ' — агсяп— И и и» 2с 1 2 2с Ь» =— ла„ 660 Нелиивйиыв системы автоматического управления то>тла вге медленно протекакнппе процессы в данной пелипсйпой системе можно будет рассчитывать пс по уран непщо (2!А1), а по липе йиому уравпеии ю !(2(р) йчЯ(р)~.Р = 5, (р)К (г) (21А4) ! (ри этом очсиь существе шц> то„что коэффи циеит усилсиия 2>„(рис.
21.8, а) будет зависеть ос только от структуры и параметров самой системы, как было при автоколсбаипях, по также и от амплитуды В и част>» ы о>ч впецп>его цсриоди >еского воздействия, ко>орые могут меля гься в извсстиых пределах независимо от самой системы, 1!озтому вибрациоииос сглаживаиие нели исйцых характеристик прп помощи выиу>кдеппых колебаний обладает зиачительиоболыцими практическими возможпостями, чем при автоколебаииях, и ловольно часто применяется в технике, особспио в релсйпых системах автоматического управлщшя.
Однако в пекоторых случаях вибра>>иоппос сглаживаиис может приводить и врслцым последствиям, вплоть до потери устойчивости системы. С точки зрешгя упрощения рспп>ппя задачи важно иметь в ви>г~, что для оссх цсчстпо-симметричных ислицейцгктей Г(х), как однозначных, так и ветл ель>х, вы число†нпе козффициспта йч при лицсарпзации фупкцип смс>цеиия можно произвопить, как бьщо показано в в 19.2, це по формуле (21.48), а цо более простои формуле: (21Л5) т.
е. непосредственно по первому из выражений (21.29], це определяя вовсе самой функции смещения Ф (х ). Выражспия !га (и„), иайлспцые по формуле (21.45), для о искоторых целпцейпостей привсдспы в табл. 21.1. 1еометричсеки велпчипа (гч б>удст крутизиой кривой В (х ) в начале координат, паприки р кривой В (х ) па рис. 21.6, и ,-о о в начале коорли дат. Чтобы взять при этом определеииую кривую из изображенной иа рис. 21.6, и серии кривых для различных и„, нужно прелваритсльно цо запал цыц зцачсипям амц>штуды В и частоты о> впешисго периодического воздействия найти величицу амплитуды вьшуждепиых колебаний ич црих -.
О. Но эта задача была уже рещсца в в 21.1, причем рсзультщ решсппя прелставлен в виде графи>са рис. 21,4. Следовательно, > еперь для полстаиовкц в формулу (21,45) или для рис. 21.6, а нужно взять просто им овмс зиачепия и„из рис. 21А для зада|шых В и о>„. При этом легко могут би >ть погтросиы зависимости величины >г„не только от В и го„ (рис. 2! .8, б), по также и от лк>бого параметра системы я (рис. 21 8, в), влияние которого желательно исследовать и от которого завис ит амплитуда вы пуждеи иь>х колебаний а„(рис. 21.'2, о), фш.урирующая па рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
