Бесекерский (950612), страница 131
Текст из файла (страница 131)
ь! Величину эквивалентно>.о коэффициента усиления >)"" случайной составляющей в формуле (22 3) рскомснлуе гся определи гь одним из следующих двух способов. П е р в и й с п ос об нгходнтнеш>средственно из величинсреднсква>гратичных отклонений о,. и ок переменной хи нелинейной функции !) а именно; о>; ~М1(Е'") 1 о,. )Г> М1(х'") ~ (22.8) что в случае однозначной нелинейности В(х) дает Д' о~ (22.9) Для общего случая Е(х, рх) и в случае пстлсвой нелинейности Е(х) получая>тся ботве сложные выражения, которые можно >и>лучить для д'", обобщив (22 9) kо тому жс образцу, как обобщены выражснпя (22.6) и (22.7) но сравнении> с (22Л). В то р о й с и о с об закл>очается в определении коэффициента>)"' из условия минимума математического ожидания квадрата разности истинной нелинейной функции Е(х, рх) и сс заменякнцсй (22 3), т, е, минимума среднеквадратичного отклонения.
Записав это условие М(1Е(х, рх) — à — 9" хс"~ ) = пй>п, получим где гг„— значение взаимной коррслянно>нюй функции нсрсмениь>х г их при т = О. Отсюда в случае однозначной нелинейности Е'(х) нахо- дим Ч = е 1 р(х+х )™(х)~т (22.11) 670 Непинейныв системыавтоматичесгогоуправления г"=сф(и), и= гт, Г2 гдеобозначено 2" > ф(и)= — ~е к ф чп о (22.12) Аналогично предыдущему легко получить также выражение коэффициента д>> для общего случая г'(х, рх) н для пеглевой нелинейности Г(х).
Второй способ опрелеления коэффициента г>"' приводит к более простым расчетным формулам. С этой точки зрения его использование предпочтительнее. По точности жс оба способа примерно равноценны и соответствуют обшей степени приближенности всего метода в целом. Замечено, что во многих случаях, когда первый из этих шкжобовдаетзавьнцснпысзпачсниякоррсляциошюйфуцкции нелинейном> процесса Е(г) по сравнению сточными, второй даст занижсннысзначения. Поэтому часто может получиться болсс хорошее приближение, если в качестве величины г)"" взять среднее арифметическое из двух: (22.8) н (22.10). Важно иметь ввиду,что велич>ипы Г и >)"" взаимосвязаны тем,чтокаждая изцих зависит от обеих рассматриваемых характсригти к случай ного т>ропесса: х и гг, (вхолящих в закон рагпрелсленпя и>).
Сам факт наличия этих зависимостей и нх взаимосвязь позволяют, несмотря пал ицеаризаци>о задачи, уловить сушествеш ю цели ней ныс особенности случайных процессов, подобно тому как в прежних главах зависимость величин гэ, г> и ц' от всех трех неизвестных х, а и о> (или по крайней морс от первых двух нз них) и взаимосвязь этих величин позволялп исследовать существенно нелинейные особов<ос > и регулярных процессов во времени моголом гармонической линеаризации. Приведем выражения величин га и у" н их графики лля некоторых типовых нелинсйностей, составленные по формулам (22А), (22.9) н (22.1!) при условии нормальногс> закона раси рслслсния (22.5) случайной ц ереме п пой х (и рп других законах распрелсления величины Г и д>э имели бы дру> ие выражения).
1. Илеальная релейная характеристика (рнс, 22.3, а). Из формулы (224) похолим Глава 22. Случайные процессы а нелинейных системах б71 (числовые значения этого интеграла вероятностей име~отся в снравочниках, а также приведены в табл. 11.2). Зависимость величины Р /с от отноглсния х,'о,. показана графически на рис. 22З, б. По формулам (22.9) и (22.11) находим соответственно (22.13) где ср~'~ =~76-Ф~(и), ср1~1= — е " . /2х Зависимости ~ры1н <р1т1 иоказаны на рис.
22.3, е. ' 2. Однозначная релейная характеристика с зоной нечувствительности (рис. 22А, а). 1!о формуле (22А) с учетом обозначения (22.12) находим Р =-'(Ф(,)-Ф(ла Я, 2 где 1+х~ 1-х, х о, о1чГ2 о, /2 2Ь Ь ' (22.14) Функция г",/с изображена графически на рис. 22А, б в зависимости от х, при разных значениях ггь Б72 Нелинейные системыавтоматического управления По формулам (22 9) и (22.11) получаем выражения ти ~ и (22 13), где и) ,«р ~= — (е '+е '), /2кк что изображено 1рафичсски па рис. 22.4, в и с 3. Пстлсвая релейная характеристика общего вида (рнс. 22.5, а).
По формулам (22.7) находим 77 =-[Ф(и,)-Ф(из)+Ф(из)-Ф(и„)~, где кроме (22.14) и (22.12) введены еще обозначения и+х, гн-х, о,Г2 о,Г2 Зависимость Р,медля случая т - 0,5 показана на рнс. 22.5, б. Далее получаем выражения типа (22.13), где (и -и~ -а~ -ь -и <р(~1= (е '+е '+е +е "), 2ч2кк оз <>, =0 О.С О,С е>- о х< х Ь > г <><=-л о.с О,< о,а ог 2< Эти функции для случая и< - 6,5 изображена< на рис. 225, е и г.
4. Характеристика типа насыщения (рис, 22.6, и). По формуле (22А) с учетом обозначений (22.12) н (22,14) находим что показано в зависимое <и от 20< при разных в, на рис. 22 6, б. По формулам жс (22 9) и (22.11) находим выражение (22.13), гдс 2 ),)г 1 — — + — (1 — 2и<иг)<|ф(и>)+ ф(иг) — — >(иге +и<е а'< ( 4п '1 'по изображено на рис.
22.6, е н г. 5 22.2. Простейшие случайные процессы в нелинейных системах В дан о ом параграфе рассматриваются та кис задачи, в к<>тор ы х ре>уля рная составляк>шая процесса зт (математическое ожидание) <н>стоя пна илп медленно меняется во времени по сраннению с составлякнпими основных частот спектра случайной состав- <со о) о,в Глава 22. Случайные процессы в нелинейных системах 673 ои 0,2 0 0><2> 2) оо 2 >-< О Рие, 22.Б (2 х< е 1 х, — ! а< ( о> „г ) — — — Ф(и,)+ Ф(иг) '- — <(е ' -е г 2 ' 2 72я Ч") = — '' )Ф(и<).Ф( г)), 2 874 Нелинейные системыавтоматическогоуправленил ля ющсй х"".
Обратимся к пел иней п ы и системам, динамика которых описываетс я уравн- ениямии вида Я (р) х ж й (р) г" (х, рх) = 5 (р) г'(г), (22.15) где('(г) — внешнее воздействие, представляющее собой случайный процесс, причем „г(с) = / +с'"(г) (22.16) Здесь у — заданное математическое ожидание (рсгулярная составляюсцая), ау ""— центрированная случайная составляющая.
Пусть параметры системы таковы, что автоколсбапия отсутствуют и система устойчива относительно равновесного состояния. Применив статистическую линеаризацию (22.3) и подставив полученное выражение в вассал нос уравнение (22.15), разобьем последнее надва уравнения: Я0» "й(р) Р =5(р)У: [Я(р) + сс(р) с)"'"[х' =5(р)у""", (22.17) (22.18) соответственно для регулярных (матеъсатическ их ожидании) и случайных (центриро- ванпых) составляющих. При этом Р(х,а„.), с7 '(х,о,) определяются лля каждой заданной нелинейности, как указано в ~ 22.1.
Рассмотрим в общем виде две различные задачи. П е р в а я з а д а ч а. Если имсетместостапионарный процесс,то величины у', т, а являются постоянными (имеет место некоторый установи впшйся режим) н уравнение (22. 17) принимает алгебраический вид; Я (0) х + Я (0) Г ( х, о,.) - 5 (0) у . (22.19) Здесь фигурируют две неизвестные: х и о,. Поэтому в принципе отсюда можно лишь выразить величину х как функцию о, (22.20) х (ох). оз = —, ~ „, у«4с(сц 1 ( ~ 5(усо) 2п ~ 1ИФ)+с7'"Й0со) (22.21) где в выражении (22.22) су"'(х,а ) Далее по линейной теории случайных процессов, описанной в главе 11, производится исследование уравнения (22.18). В этом уравнении величинас"'ч задана спектральнойй плотностью ау(ас) или корреляционной функцией гс(т).
Линейная теория дает Глава 22. Случайные процессы в нелинейных системах 675 необходимо х заменить найденной выше функцией (22.20). Тогда в уравнении (22.21) останется олпа неиз- вестная величина а,. Учитывая формулы (11.91) и (11 92), уравнение (22.21) можно записать в в иле а„. =Ы„(х, а,), (22.23) где Л вЂ” постоянный множитель, выносимый за знак интеграла (формулы для вычисления интеграла 1„пр инедеи ы в приложении 1). Таким образом, путем регнепия уравнения (22.23) с полста нонкой (22,20) будет найдено среднеквадратичное отклонение а„а затем по формуле (22.20) будет вычислено и математическое ожидание х, т. е. полностью определится искомое приближенное рспгение' уравнения (22.15): х = х ч- х'э.
(22.24) Это решение справедливо для случая установившегося режима при стационарном случайном процессе. Однако зависимость х (ах) далеко нс всегда можно выразить из уравнения (22,19) в янном виде ввиду сложности выражения Р ( х, ах). Поэтому в большинстве случаев придется решать совместно два уравнения, (22.! 9) и (22.23), либо численно, путем последовательных приближений, либо графически.
Можно применять, например, слсдуюший графический прием. Представим уран~~ение (22.19) н виде днух уравнений: у) мХ; ЩО) Я(0) (22.25) ' Во игсх ээлачех здесь и делос булем искать нриближеннос рс~нснис только лля переменной .т, стоя~ней иод энском нелинейности. Когда оно найдено, всегда л~ожно чсрсэ соотвсггтяумыис нерслаточоыс функини найти приближенное ~кижнис и лтя яру~ их переменных системы. Первое из пих даст прямую 1(рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
