Бесекерский (950612), страница 135
Текст из файла (страница 135)
Метод гармонической лииеаризации при его применении для исследования нелинейных дискретных систем в значительной степени утрачивает свои ценные качества. Рассмотрим основы этого метода. 690 Нелинейныесистемыавтоматическогоуправяенин Пусть в системе (рис. 23.2, б) существует периодический режим с частотой (23.1). Положим, по на входе нелинейного звена значения и (1) изменяются по гармоническому закону: (23.21) Тогда на его выходе получим сигнал и,(г) = с[и(1)]= Е' Аз(п~ — 1+ср .
(п. (23 22) Один н тот же тип последовательности (23.22) может существовать при различных значениях фазы ср сигнала (23 21). Например, если характеристика нелинейного звена идеальная релейная (см. рис. 23 4, 6 при 6 - 0), т, е, Г [ и (1)! = с 51 8п и (1), (23.23) я О«р< —. дг (23. 24) Последовательность (23.22) не может быть представлена рядом Фурье, как зто делалось в 5 18,1 для непрерывных функций. Поэтому воспользуемся формулами Бесселя для приближенного гармонического анализа. Выделив в получакяпсйся при этом то (рис. 23.6) при У 1 фаза может измсняться от0 до и, при У= 2 — от О дои/2, а в общем случае ГлаеаЖ. Нелинейные дискретныесистемы 691 и,(с)= — + — сох — 6 Л =1; Сс С, л.
2 2 Лс (23.25) С, .л.. л. и,(!) = — + С, соь — 1+ Р, яп — г', Л' = 2, 2 Лс ъ,с где 1 зч ' , 1 зи-' ул 1 зк-' ул Со =,5' Г1и(г)), Сс — — — ~ рсси(бассов —, Р! -- —, ~ Гс!и(!)са!и —. (2326) ч=е Л' ьОе й! Л' „е М Для симметричных периодических режимов (см., например, рис. 23.6) Сс = О. В качестве примера определим коэффициенты гармонической линеарнзации для нелинейности (23.23).
В соответствии с рнс, 23.6 по формулам (23.26) находим: С, =2с, 1), =О, Л'=1; (23.27) (2Л!-1 ) (2Лс-! С, =Анв!п~ л), Р, =Ам сов~ — л, Л! >2, 2Лс ) ' !, 2!'у' где 2с(. л Л,у = —,~а!п —. Х х 2Ю) (23,28) С учетом (23.27) выражения (23,25) прин имагот вид: (л лт и,(!) = Ах а!и ~ — с сь — 1, ~У 2М) (23,29) где амплитУда Аи= С пРи Лг = 1 н опРеделЯетсЯ по фоРмУле (23 28) пРи Л! ~ 2. СлсдУет отметить, что при Лс 1 и Лс= 2 выражение (23.29) является точным.
Из (23.21) н (23.29), используя снмволичесссусст запись !~ ус-Ф) ! -"с и(!)=Ле ' '=Ле''Ре и; ~сс. л ) .д .к. !г: ! и,(с)=Л,,е ' ' ' =Лие зие х, с учетом (2324) опрсде чяем коэффициент гармонической линеарпзапии л п=д(л,д,)У) = — ' ° ~хи, О< р —. Л ' Лс (23.30) В отличие от. (18 18) оп зависит не только от амплитуды Л, но и от ср и Л( тригонометрической сумме слагаемые с частотой (23.1), гоотвстствукпдис первой гар- монике, получим: 692 Нелинейные системыавтоматическогоуправлення 2 ИТ 2 л Ля= — гй, = —,гй— Т 2 Т 2М (23.31) Так как»а входе линейной части (см, рис, 23.2, б) действуст гармоничсская нос лсдоватсльност» (23.29), то при отсутствии задающего воздействия х (1) .-. — у (1) ц на входе нелинсйного звона образуется сигнал .(и.
л >>>-А />>>>>х)/.' ~ — > ° — +фХи> ], ~2М 2М (23.32) где Й"()Л) — частотная персдаточная функция линейной части (23.8), а >р(Л) "- се аргумент. Фазовый сдвиг на величину п вносится сравнивающим устройством, Сопоставив (23.32) с(23.21) сразу получим; А = Ах]В'(7'Лк )], (23.33) и ~р= — +>р(Лм)+л. 2>"т' (23ЗЛ) Так как фаза <р может изменяться в прсдслах (23.24) то и и -и — — < ц>(Лн ) <-л+ —. 2М 2Ж (23.35) Из (23.35) следует, что псриодпческнй режим с М З 2 может сущсствовать, если ЛФХ И'(~Л) нафиксированных частотах Лл заходит в се к го р с углом п раствора У =— М (рис.
23.7, а). Для режима л>'- 1 псевдочастота Л „= . Следовательно, ои возможен, если ]й'(у )]м0, т. е, ссли АФХ закапчинастся на осп абсцисс. Далее для опредслеп ця периодических режимов можно было бы использовать способы, аналогичные рассмотренным в 9 18 2. Однако даже в данном случас при цростсйщей характеристике нелинейного звена зтоз процссс оказывастся трудоемким. Кроме того, для других цсл и ней ностей при получсции козффициентов > армонпчсской линеаризации возникают большие сложности. Вместе с тем в ряде случаен исследование периодических режимон можно произнести более простым способом. Пусть, например, характеристика нелинейного звена имсст впд (23.23).
Будем ис- пользоватыксвдочастоту Л(14.100), значения которой на фиксированных частотах (23.1) Глава 23. Нелинейные дискретные системы 693 Из рис, 23.7, а видно, что в одной и той же системе могут сушсствовать периодические режимы с различными значениями полунериода У, причем с течением времени может происходить переход от олного значения Мк дру> ому. Следует также отметить, что при возникновении периодического режима в системс может появляться постоя ш>ая или медленно изменя юшаяся состаел я юн(ая он>ибки хе, величина которой зависит от начальных условий. Это объясняется тем (см.
рнс. 23.6), что одна и та жс последовательность и, (>) может существовать и нри смешении последовательности и (>) на некоторую величину ие. Например, па рис. 23 5, б хе = -О 06. Формулы (23.31)-(23.35) применимы для определения периодических режимов и в системах с другими нслинсйностями, отличными от (23 31), если зги нелинейностии имеют ограничение (насыщение), т. с. если при определенных условиях сигнал и, (1) может прин имать лишь два фиксированных значения: ~ьс или — с.
Пусть, например, характеристика нелинейного звена является релейной с зоной нечувств ителыюсти (рис. 23.4, б). Тогда лля сушествования в системс рассмотренных выше режимов с М- 1, 2, ... кроме фазового условия (23.35) должно выполняться дополнительное амгпнтуд нее ушювнс (23.36) и(/г),„н, ЭЬ, где и (а),„ы — минимальная из ординат последовательности (23.21): н()>)=Лв1н~ — А+В>, я=О, 1,...,М вЂ” 1. . (н (.к (23.37) Если же при >>» 2 для с из ординат (2337) нрнч < 7>г — 1 условие (23 36) нс выполняетсяя, то соответствуюн>ис значения последовательности и, (г) становятся равнымн нуля> (рис.
23.8). Тогда по формулам (23.25) и (23.26) вместо (23.28) получим: 2СГ к ) ку Лн = — ~з(н — ~ соз, М>2, с=0,1,...,М-1. (23.38) дг (' 2дГ,1 ' 2д(' Выражение (23 28) представляет собой частный случай (23 38) н рис - О. Послсдователы[ость на выхолс нелинейного звена . (н. у+1 и,(1)=Лмз1н~ — 1+ — к, ~М 2Д1 (23.39) 694 Нелииейныесистемыавтоматического управления а фазовый сдвиг <р в (23.21) ч+! гр = я+ я+ т'(Лл ). 2Лг (23.40) Фаза гр может изменяться в прслелах (см. рис. 23.8) яч я уя — < гр < — е —, 2Лг Х 2Л! (23.41) Отсюда с учетом (23.40) находим фазовое условие сугцествования периодических режимов и л -я- —,<цг,(Лл)<-л+ —, 2Л' ' 2Л! (23.42) совпадающие с (23.35).
Амплитудные условия можно получить непосредственно из рнс. 23 8. Так, при Л' = 3, э = 1 они имеют види (О) < Ь, и (1) > Ь, и (2) > Ь, глеорлинаты и(Уг) определяются по формуле (23.37) с учетом новых выражений для А и гр. Во многих слу'щях вопрос об отыскании периодических режимов нс ставится. Наоборот, может быль поставлена задача так синтезировать систем), чтобы исключить возможность появления этих режимов, что часто (см. гл. 18) гарантирует обеспечения устойчивости системы.
Для системы с нслинейцостью релейного типа с зоной нечувствительности (рис, 23 4, 6) периодические режимы с любыми значсниями Лги э невозможны, если пс выполняются фазовос условие (23.42) или сформулированные выше амплитудные условия. Можно показать, что это с некоторым запасом обеспечивается, если АФХ линейной части с присоединенлылг к пей коэффициентом Ьг с/Ь, т, е. !глИг(р ), на фиксированных частотах Лл не попадает в запретную область, изображенную на рис.
23.7, б. В качестве иллюстрации на рис. 23.9 построены АФХ для системы, исследованной в примере 2. При ЬТ = 4 достаточное условие устойчивости не выполняется (см. рис. 23.5, а). При этом, как следует из рис. 23.9, в системе могут возникать Глава 23. Нелинейныедискретиыесисгемы 695 9 23.3. Системы с широтно-импульсной модуляцией В процессе широтно-импульсной модуляции (см, 9 14 1) изменяется скважпость (ширина) им нул ьсов, а их амплитуда (высота) ос гается погтояшюй. В зависимости от того, как осуществляется изменение скважности, разли <ают (гм.
рис. 14 3) ширкггпоимпульсную модуляпи1о 1-го рода (?ПИМ-1) и 2-го рода (ШИМ-2). Структурная схема цифровой системы с Ш ИМ-1 с учетом сделанных в 6 23.1 допушений представлена на рис. 23,10, где широтно-импульсную модуляцию огушсствляет ЦАП. При отсутствии ЦВМ В( ) =. 1 и система превршцаетгя в импульсную, в которой широтно-импульсный лнкдулятор представляет собой самостоятельное копструкти в но закопченное устройство. Сигнал на выходе модулятора согласно (14.3) и (14.4) нри 4„, =! УВ Йз1йпи(1) при!Туг<(!+у)Т; и (!)=( '(0 при(|ау;)Т -г<(141)Т; (23А3) ~ — ! и(1)! (1, !1 1 при-!и(г)!<1; Р 1 и ри — ) и(1) ~ > 1. (23А4) При ШИМ-2 (см. рис.
14,3, б) скважность импульсов определяется в результате сравнения непрерывного входного сигнала с опорным сигналом. Поэтому широтпоимпульсный модулятор «нс вписывается» в структуру ЦАП н представляет собой самостоятельное устройство. Сама система в этом случае строится как импульсная (рис. 23.11, а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
