Бесекерский (950612), страница 132
Текст из файла (страница 132)
22 7, а), а второе — серию кривых 2 для различных постоянных значений х, а„. Перенеся все точки пересечения этих кривых с прямой 1 на нлоскостысоорлинат х, а,(рис. 22.7, б), получим занисимость ах( х ) н виде кривой 3, так как каждой точке пересечения на верхнем графике соответствовало определенное значение а, После этого построим (рис. 22.7, б) егпе одну зависимость ах( х ) в виде кривой 4 по формуле (22.23), подставляя в правую часть этой формулы значения а„взятыс лля каждого х из кривой 3.
Очевидно, что координаты точки пересечения С кривых 3 и 4 представляют собой искомый результат совгдестного решения уравнений (22.19) и (22,23). 676 Нелниейныесистемыавтоматичесхогоупраалеиия Вторая задача. Перейдем теперь к решению лругой задачи, когда исследуется нсустановнвшнйся нронесс, Часто в автоматических системах управления разложению искомого решсння (22.24) па х н хсв соответствует разложепце его на полезный регулярный си гнал х и случайную помеху х", Когда полезный сигнал управления х изменяется во времени, процесс уже пе будете>ационарцым.
Однако если помехи (флуктуации) характеризуются спектром значительно более высоких частот, чем полезный сиг!>ал, можно считать последний медленно мсняк>щи моя. Тогда можно исследовать случайный процесс в первом приближении как стапиопарный, применяя формулу (22 23) Но при этом для определения регулярной сосгаел я>ошей х нельзя пол ьзова пюя алгебраическимим уравнением (22.19), а надо обращаться к дифференциалы юму уравнению (22.17).
В атом случае описанное выше графическое решснце не п>дится и следует ! юступать иначе, Сначала надо из уравнения (22.23) определить зависимость ак( х ). Л>>я этого по аналогии с графическим решением (21.25) разобьем уравнение (22.23) па два уравнения: ас м9; 2 Ы„(х, ак)=>,, (22,26) (22.27) исключим из него величину пк н получим функцию от заданной переменной 7> =. Ф(х), (22.28) которую, как и в главе 19 и 6 21.2, мож!>о назвать функцией смещения', так как здесь математические ожидания х н Р представляк>т собой смещения центра случайных составляюншх. Когда функция сме>цспия (22.28) найдена, се можно под! тавнть в уравнение (22.17): И )х +)7(7>)г(>(.
) =5'( ) У (г) (22.29) ! По акапопш с ввслеипыми раисе фупкииями смев>еиия вто будет стпажеииая при поможи сяучааомк Фяуктуапии ослииеяиая характер!к!ока аяя меялеппо меняющейся составляюп>ея происсса, Первое из них две г параболу 1 (рнс. 22 8), а второе — серию кривых 2 прн разных постоянных значениях х . Перенеся орли наты их точек пересечения па плоскость х, гу, и отложив для каждой из ннх соответству>ощце кривым 2 абсциссы х, получим в виде кривой 3 (рис.
22.8) искомук> зависимость аа ( х ). Подставив полученнук> зависимость ок( х ) в вычисленн заданной нелинейности согласно 9 22.1 выражение Глава 22. Сл)чайные процессы в нелинейных системах 677 и отскхла по запаниой функции Г (С) найти путем репсения дифференциального уравнения регулярную составля кину со процесса х (г). В большинстве залач фушсспся смещения (22.28) будет иметь вил плавной кривой (рпс. 22.9), которую в некоторых пределах можно подвергнуть обычной линеаризапии (суФ) ~с )- В случае, если система такова, что линейная часть с передаточной функцией !7(7 ) 0(х ) о, = — ) ву(св)с!се, з 1 5(ущ) 2п ЯЦш) (22.31) т. с, о, не будет зависеть от формы нелинейности и от всхшчины х .
В атом случае вместо дифференцирования функции смещения (22.28) можно определить )г„ пспосрслственно из(22.27): Р=а„х, )с„=— (22.32) Здесь ва получается как функция от о, )с„= )са (ок ). (22.33) Затем иапо псцсставить величину о „пайлснную из формулы (22.31). Вместо этого можно воспользоваться кривой на рис. 22.3, 6-22.6, б, соответствую~ пей найденному значению о,, При этом вычисление интеграла (22,31) производится ио готовым формулам о,. )с(„(схс.
приложение 2). з В результате подстановки (22.30) или (22.32) уравнение ля я определения рсгулярноГс ссктавлякцпсй(22.29)стапстлппсйным: (Д(р) -)с„)7(р))л' =5(Р)У(1) (22ЗЛ) Оно решается при помощи обычщи о харасстсристич еского уравнения Я(р) е !с„)7 (р) = О. (22.35) не пропускает спектр частот, соответствуи>щий флуктуацияму" (г) и определяемый гпектРальпой плотпостьсо ху(сс), отыскание величины ок значительно УпРощаетсЯ, а пмесщо из (22 2! ) слелуег 878 Нелинейные системыавтоматического управления Важно отметить, однако, следу>о~псе. Согласно формулам (22,21) и (22.31) величина о,занисит от спектральной плотности помехи эг(то).
Поэтому и определяемая через величину ц,. форма функции смешения (22.28) и крутизна ее >тэ (рис. 22.9) зависят пе только от параметров самой системы, но также и от спектральной плотности помехи эу(о>). Но если й„зависит отей(о>), то согласно (22.34) и (2235) все статические и динамические качества и даже устойчивость системы по полезному сигнату будут .
зависеть пе только от парамегров самой системы, но и от параметров спектральной плотности внешней случайной помехи. Следовательно, устойчивая при отсутствии помех нелинейная система может при определенном уровне помех потерять своп качестна, т. е выйти из строя как система автоматического управления нс по причине того, что системз перестает филю рова> ь полезный сигнал, как оывает обычно, а потому, что основной контур управления меняет свои динамические качества с изменением /гэ нлн даже становится неустойчивым.
Возможны случаи, когда это сцеппфическое для нелинейных систем явление будет наступать раньше, чем система, рассчитанная как ли~ейная, перестанет фильтровать полезный сипил. С этой точки зрения учет фактически имеющихся в системе автоматического управления нелннейностей прп наличии высокочастотных (по сравнению с полезным сигналом) помех является чрезвычайно важным для практики. Это столь жс нажпо, как и учет влияния вибрациопных синусоидальных помех, рассмотренный в 9 21.2. Результаты решения обеих задач аналогичны. Очевидно, что описанное специфическое для нелинейных систем влияние помех в некоторых случаях может и улучшать динамические качества системы Привлекательной стороной изложенного метода является то, что исследование качеств переходных процессов, всех частотных характеристик и других качеств системы управления по полезному (регулярному) сигналу производится лк>быми методами линейной теории автоматического управления цо уравпени>о (22 34).
Несмотря на эту лииеаризапию решения задачи, хороню выявляются н все важные для ирак гики специфические нелинейные явления благодаря описапному методу определения коэффициента й», учитывакпцему несправедливость принципа суперпоз инин для нелинейныхх систелс Важно иметь в виду еще следукппее.
Исследуя методами линейной теории управленияя по уравнению (22.34) изменение статических н динамических качеств системы по полезному сигналу с измененном структуры и параметров этой системы, надо обязательно учитывать при этом и изменение самого коэффициента Й„в>втекавшее из выражений (22.33) и (22.31) или (22,21). Ф 22.3. Пример исследования влияния случайных помех на динамику нелинейной системы На нелинейную систему автоматического управления (рис. 22. 10) действует случайная помеха / (Г), являющаяся высокочастотной по сравнению с медленно меняющимся полезным сигналом в данной системе. Проходя через нелинейное звено, помеха изменяет его коаффициспт усиления по отношению к полезному сигналу (вторая задача 5 22 2).
Требуется оценить влияние этого явления па динамические качества данной системы автоматического управления по полезному сигналу. Глава 22. Сл1чайиыепроцессывнеяинейиыхсистемах 679 Уравнение замкнутой системы (рис. 22.10) в пелом будет р (Тгр+1)х+(вгя р +ЙцТгр+ййа)Г=7«р~(Тгр+1)Г(с), (2236) где )с = )ггяг, Г (х) — заданная нелинейность (рис. 22.10, б). Прн атом заданы: я = 18, с яг= 60 lг«,-0 03 ее=0 5с', Т, =05с Тг=002с, — =4. Помеха имеет нормальный закон распределения и задана спектральной плотностью (рис.
22.11) (г гг)г гг (22.37) гдеа-005,6-1,39с ', ог~ =75с г,сс=ООЗс г, Меняя величину дисперсии помехи о~С, характеризуюпгую «уровень помехи», будем определятьдинамические качества системы в зависимости от величины ос. Произведя статистическую линеаризацию (22.3), разобьем уравнение системы (2236) на два, соответственно для регулярной и случайной составляюгдих: р (Тгр+1) х+()сгИ р +ййеТр+Йд)Г=О; ~ р (Тгр+1)+(йгй .р'+КТ1 и+Ы,)су'"~х" =7«р~(Т р+1) Е(с). (22.38) Поскольку передаточная функция линейной части системы г«щ7 ц %.(р)= """ рз(Тг р+ 1) 880 Нелинейныесистемыавтоматического управлений з 1 Я 5(?ш) 1 ( 6(Тс?ш+ 1) 2()а~ /' 2п ?~Я(?ш) ~ 2п У 7:,уш+1 (~~ азшз)з „сзсоз Чтобы привести этот интеграл ко гандартпому виду (8 11.6), преобразуем сначала знаменатель спсктральпой плотности, а именно; ( а 2 2) + 2 з ! 2( 2)+ ° 2( Тогла согласно обозпачс пням приложения 1 получим А (усо) --- ао (уело)з е и, (усо)з + аз (уст) -' аз, где ао-а Тз, ас =а Я-усТ,, из= шз Т,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
