Бесекерский (950612), страница 129
Текст из файла (страница 129)
21.6, о. а 21.3. Зависимость устойчивости и качества нелинейных систем от внешних вибраций После опрелелеиия функции смспгеппя Г» "Ф (хо) открьщаеп я возможность исследовать по уравиепи к> (21Л1) или по лппейиому урав лепик> (21А4) я юбыс меллеппо меняющиеся процессы в системе. Глава 21. Вынужденные колебания нелинейных систем 661 Устойчивость системы по медленно меняюгцсйся составлякяпсй можно рассматривать тоже пу гсм исследованияя нелинейного уравнения (2!.41) нли же линейного уравнения (21А4). На устойчивость системы существенно может влиять величина амплитулы В и частоты со„ннсгппего периодического воздействия, так каК от них зависят впл функпии смещения Ф (х ) и величина коэффициента /г„.
Это является совершенно новым и очень важным специфически нелинейным фактором, которьш в ггрслылуггцгх главах еще нс встречался. В линейных системах такое явление вообгпе отсутствует. При использовании липей>ого уравнения (21 А 4) можно применять обыч и ьгс критерии устойчивости линейных систем (Гурвица, Найквиста) и обьишью логарифмические частотные характеристики. Может оказаться. что область устойчивости системы по какому-либо параметру ! (рис, 21.9, а) сужается, как показано па рис.
2!.9, б, при увеличении амплитуды // внешних помех, иьгсюггц>х вид вибраций заданной частоты ш„. Вследствие этого лля каждого значения/г при лап п<гй частоте внешних вибраций может быть свое критическое значение нх амплитуды В, при котором система становится неустойчивой. Аггалогичпо, меняя частоту вибрации гоы можно определить для залап ного значения параметра 4 зависпмость критической ам ил итулы внешних вибраций от частоты (рис. 21 9, е)— грагпшу вибрационной помехоустойчивости системы. ,Важно при этом иметь в виду, что при изменении параметров системы меняется и коэффициент к„гг очертание функции смешения Ф (хо). Поэтому, строя области устойчивости системы по какому-нибудь параметру /г (рис. 21.9), нужно соответственно все время менять величину /г„в уравнении (21А4) или Ф (хо) в (21А1), т.
е. при построении области устойчивости нужно учитывать, что любой параметр системы /г может входить не только в состав /! (р) и Я(р), по также и в состав величины /г„. Зависимость же величины /го от любого параметра системы нетрудно найти предварительно согласнопо 9 21.2 (см., например, рнс, 21.8, е). Кроме исследования устойчивости нелинейной системы, можно по уравцспшо (21А1) или (21А4) провес> и полньш анализ всех динамических качеств не тнпсйной системы, гголвер>ксггггой вцсшппм внбрапиям (качество переходных нропсссов, статические и динамические ошибки), при любых меллсппо меняющихся по сравнснин> с вибрациями внешних возлсйствиях /; (г). Но указанным уравнениям могут определяться и вынужденные колебания системы на низких частотах, сели медленно мсняюгцссся возлегйствие /, (Г) изменяется периодическин, т, с. имеется возможность исследования двухчагтотных вьшужлегшьгх колебаний нелинейной системы при большой разнице частот.
Можно н здесь (как в 662 Нелинейные системы автоматического управления з !9.2) нроволитьраздслсннсобщего движения нелинейной системы не только на лва, но и на трн вида но стенени меЛленпости Лвиження во времени. В результате всех перечисленных расчетов булет выявлена специфическая для нслнпейных систем зависимость всех статических н динамических качеств и лаже ес устойчивости от величины амплитуды В и частоты го„внешнего периодического воздействия (вибраций), что в некоторых случаяхх на практике может оказаться решающим для создания качественной автоматической системы.
Изложе!н!ая общая теория поведения нелинейных автоматических систем нрн наличии внешнего периодического воздействия (вибраций) можстзначнтельно унрощаться в различных частных задачах. Г) ри ведем здесь вило изменение атой об~ней теории для следующих двух нанболсс типичных частных за!!ач: 1) приложение сцсциального вненшего периодического возлсйствия с целью внбрационного сглаживания нелинейности (с последу!ошей лннсарнзациси ггтажснной характеристики при расчете системы в целом); 2) исследование работы нелинейной автомапшсгкой системы при высокочастотных вненших вибрационнГях помехах, когда нс все звенья системы нропускают эти вибрации.
3 а д а ч а 1 . Когда в любой автоматической системс прикладывается внсн!нес периодическое воздействие /а (!) (риг. 21.10) специально для того, чтобы произвести внбраци онное сглаживание нелинейности, то обязательно с та вится условие, чтобы ца выходе амплитуда вынужденных колебаний ха была практически ничтожной. В результате этого н времен вы с хт и х, (рис.
21.10) и ракти чески не будут содержать колебательной сосгавляюн!ей, а будут определяться через медленно меняющесся воз;!сйствнс 7, (г) но уравнениям типа (2 ! А!) илн (21А4). 11озтому переменная х на входе нелинейногоо звена будет х г еа + х", х' = В ейп а,д (2 !.4(!) Следовательно, в данной задаче (вибрационцая линеаризация нелинейности цри номо!ци вьшужлснных колебаний) нет необходимости в решении уравнения (21.32) илн (21 33) д и определения колебательных составляющих, ибо, согласно (21.26), уже имеется готовое рсщспис (21А7) а„= В, ср-0. Поскольку внешнее периодическое воздействие /~ (г) предполагается приложенным к системе непосредственно там же, где и х (рнс.
21 10), то в уравнении (21.24), составленном для исследуемой части системы (не вк ночая пунктирной части ца рис. 21.10), будет (21А8) 5а(Р) "(2(Р). Глава21, Вынужденные колебания нелинейных систем 663 На осщ>ванин (21А7) цо первой из формул (21.28) находим 2» Е = — ~Г(х +Вз>л>р, Вш,созв>)>(>в, о 1, о 2" о что и дает некому>о сглаженную характеристику. При этом можно воспользоваться дчя всех типовых нслинейиостей готовыми формулами из главы 19 и их графиками тниа рис.
21.6, а, заменив незло а и а„ца величину В. Как видим, здесь совершенно отпадает описанное в 6 21.2 особое определение функции смещения Ф (х ), о В результате сглаженная характеристика г (х ) будет иметь крутизну, завися>цую о о в общем случае от амплитуды В и частоты со„вне>нних вибраций. Если >ке имеется нелинейность менее общего вида, а именно Е(х), то частота ш„ие войдет в выраженно лля г" ~, как, например, в случае рис. 21.6, а.
Олнак<> все же и в этом случае нужно потребовать, чтобы частота солер>калло ь в определенных нрслелах, позволя>о> ц» х сч и- тать воздействие/> (г) по сравнению с /а (г) медленно меняюн1имся, Определив таким образом сглаженную характеристику В (зл), можно затем но .о уранненшотица(21.31) или(21АА) с иснользованиемлинеаризацин (21А5) исследо- вать любыс медленно нротекаюн>и< нроцессы в системе в целом обычными моголами теории унравления.,'Заметим, что лицсарнзация но формуле (21А5) в лайной задаче справедлива лля любых форм нслицейностей, так как здесь частная производная цо>го совладает с полной цроизвоЛной.
Что касается уравнения лля колсбатсльнь>х составляющих (21.32) или, чтото >ко самое, (21.33), то его нужно использовать в ванной задаче только л>и определенна желательной величины частоты ш„внешнего»сриоличсского воздействия1а (1), об> с- вечина>ошей возможность нолучения решения (2! А7) лля вынужденных колебаний и выполнение слезал ного выше црслположення о малости вынужденных вибраций на выходе системы жз. С этой целью нодставнм равенства (21А7) и (2!АВ) в уравнение (2133), Тогда для удовлетворения псшлелнсго уравнения необходимо потребовать, чтобы модуль от>ю щения был очень мал.
Следовательно, частота вне>ннего периодического воздействия ю„должна лежать за пределами полосы пропускания всей линейяой части рассматриваемого участка системы (блоки 1 и 2). Кроме того, чтобы амплитуда в>лнужденных вибраций на выходе системы >гз была ничтожна, нужно взять частоту ш„также и за нредслами полосы цроцускания отдельного блока 2 исследуемой системы (рнс. 21.10). 3 а л а ч а 2.
!1усть на какую-нибудь систему автоматического управления (рис. 21.11) возлсйствуст впсн> няя вибрацион ная помеха /з (г) = В э>'л ш,г 664 Непинейиыесистемыавтоматического управления (21Л9) практически ис иропускает вибраций с заданной частотой о>„, уравнение (21.33) можно зал исать в ниде Тогда амплитуда вибраций иа входе полицей>ного звена булет определяться фор- мулой дг Хг(о>„)ту,(ю„)Вг Хц(<о )ч-Уц(о> ) (21.50) гле через хг(о>1>), Уг (о>,) и хт1 (ы»), Ут) (о>„) ооозиачеиы ве>цествсицые и мцпмыс части соответствениолля выражсиийзг(~о>„) и Я(>ы„). Формула (21.50) лает лиисицую зависимость ао (В) с разными коэффи циси>ахти пропорциональностити лля разных частот вибраций о>„(рис. 21.12).
В частности, лля схемы рис. 21.11 они будут оп рслсляться структурой лиисйцых блоков 1 и 2. 11о срависшно с об>цей теорисй злесь су>аествеиио то, >то амплитула вибраций а„пт> вхолс нелинейного звена в этом случае пе зависит от всличииы В полезного сигналах . Поэтов>узлссь, ка« .о и, кроме того, внешнее залаюшсе или возмущающее нозлействие > > (Г), которое цо отношения> к помехе является мсдлеино мсияк>щимся.
Уравнение лииамики системы ириволигся к виду (21.24). Рсщсцие уран нсиия (21.24) ищется в визе (21.26), тле х — полезный сш.- о пал управления, а х' — вибрациоииая иомеха иа входе пелицсйиого звона, 1азбивурависпис(21.24) падва,аимс»- ио на (21.31) и (21.33), исобхолимо, согласно развитому вьцпс обц>ему м столу онрслсл ить сначала с помощь н> (21.33) и (21.29) фуик ли >о смещения )>о = Ф (х ), восле чего можно решать дифферс>щиал ьиое уравнен>- ит>е (21.31) относительно иеРемсииой х (Г) пРи заданной фУпкции >г (г).
Олиако в о данной задаче этот общий метод рсп>синя можно упростить. Рассмо грим два случая. В том случае, котла вся приведенная линсйная часть систсмы (рги . 21.11), оцрслеляемая перслаточиой функцией Глава 21. Вынужденные колебания нелинейных систем 665 и в залачс 1, отпалает необходимость отыскания функции смс>пения Ф (х ) л и характерис.гика нелинейного звспа по полезному сигналу х' (х ) будет определяться непосредственно первой <рорлсулоГ> (21.29), представленной графически, например, ца рис.
21.6, а. Олцак<>здесь нужно подставить в выражение г" о или взять на графике рис. 21.6, а зпачспис а„, определяемое по формуле (21.50) или графиком рис. 21.12. Поэтому, в отличис от задачи 1, здесь лаже для прс>гтейщих полицей постой очертание характеристики нелинейного звена по полезному сигналу го (х ) и ес крутизна будут зависеть нс только от амплитуды В, по и от частоты о>„в<сб>ра>сиоицьсх помех, а также, конечно, и от параметров линейных блоков т и 2 (рис. 21.11), входящих в формулу (21.50).
Рассмотрим лалсс другой случай, когда первая гармоника вибрапий с заданной частотой о>„пропускается линейной часть к> системы с передаточной функцией (21.Л9). ио все жс пе пропускается каким-либо оссвим блоком системы. 11усть, например. в схеме ца рис. 21.11 вибрации ис пропуска к>те я вовсс только управляемым обьекгом, а по внутренней обратной связи первая гармоника вибраций с частотой ю„прохо>ссст. Тогда, вообще говоря, уже пел> зя ис очитаться с зависимостьк> (21.34) амплитуды вибраций аа переменной х от величины полезного сигнала х . Однако и в этом случае о возможно упрощение решения задачи по сравнению с осиной теорией, состощпее в том, что при определении функции смс>цспия выбрасывается часть системы, пс пропускающая вибраций (рис. 21.13, а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
