Бесекерский (950612), страница 126
Текст из файла (страница 126)
Оценив качества нелинейных процессов управления 645 нужно в соответствуюшис передаточные функции подставить р.= Г ~ь)ог, что даст л,а Т,ю а„= 8 = агсг8— Т - ' 1+Т» (1+Т») - ' . 1 (аналогичные выражения получаются для а„и у). Сравнивая их с (18,149), приходим к выводу, что в формулах (18.151) п (18.152) вместо и, Т,со, аго, Тгю) должны быть по- ставлены соответственно выражения; 7гю 1е Тг» а Тго аю 1+ ТД 1+ 7;» 1е Тг» (20.50) В результате г) и г)' будут функциями всех трех величин: г7 (а, со, »); г!' (а, ю, »). Характеристическое уравнение вместо (18.155) примет вид Ьор" +Ьрз+Ьгр +р+)г (р — »)+67(аох»)=0, где Ьо=!0ТтТо !г~ = ТоТз ~ ТоТ4 ' !ЗТх Ьг То+ Тз + Тх, й= ИОЬА После подстановки р = » + !го 1ю формуле (20 19) получаем веьпсствсппую и мним- уюю части: Х-Ьг)(а,ю,»)е5|»зЬо» Ьг» +» (6Ьо» гЗЬ,»+2Ьг)ог Ього 0; У- Ьа (а, ох г) е (4ЬоГ'+ ЗЬ,»'+2Ьг»+1)ш- (4Ьо»-6Ь1)оэз-0.
Рис. 20ЛВ Рис. 20ЛБ Рис. 20Л4 646 Нелинейные системы автоматическогоуправления Отек>ла находим: Ьу(«,с>, ч) =/, (е>, ч), 4<у'(и,е>, ~) =/;(<о, Г) (20,51) Будем задаваться разными значениями ч и о> и строить на основании уравнений (20.51) линии равных значений Ч и <о на плоскости коорлинат Ь, и (рис. 20.14). Для этого лля заданных Г, е> сначала строится кривая отпошения <у (а)/<у' (<г) (рис. 20.15). Согласно (20,51) это отношение должно быть равно онрелеленному числу: <у (и)/<у' (а) =- =/>//з, чем определится значение и (рис.
20.15) лля данных Г, ц>. После этого для них вычисляется значение 4 =/</д. Таким путем цо точкам строится вся диаграмма кач<,- ства нелинейного переходного процесса (рис. 20.14). Линия Ч = 0 соотнетствуст зависимости ам плит увы установившихся автоколсбаний от коэффициента усиления Ь Г!ри любом заданном Ь изменение показателя затухания Г н изменение частоты ю во время цсрсхолцого процесса определится прямой Ь = сог>зг (рис.
20.14, пунктир), Результат показан ца рнс. 20,16. Это позволяет судить о быстроте»атуха<гия и о количестве колебаний за время персхолного процесса. Заметим, что решение задачи несколько упростится при малом Г. В оп>м случае, считая постоянные врсмспн измерителей Т, и Т>аостаточцо малылш, можем пренебречь цроизвелециями Т <,и Т><,в выражениях (20 50) и г<ользоваться прс>кпилш выражениями <у и у' (18.151) с подстановками (18.151) и (18.152). Кроме гого, в написанных вылив выражениях лля Х и У нужно сохранить только первую степень г: Х= 4<У(и,<о) е à — (ЗЬ<Г»-2Ьа)е>з е Ье<о" =0; У = 4<у' (а, ц>) е (2Ь>Г е 1)<о — (4Ьвч е 6Ь, )<оз -- О.
В принципе решение нс меняется. Изложснш гй метод решения залачи отличается тем, что оп одинаково пригоден к различным системам, описываемым уравнениями любого порялка, и не связан с ностроенисм голографов ца комплексной плоскости. Более цолробпо применение логичеп<их устройств, пел инейных шчгоритмов управления и нелинейных корректирующих средств рассмотрено в работах 174, 75, 941 и лр. Глава 21 ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Ф 21.1. Симметричные одночастотные вынужденные колебания Проблема анализа вынужденных колебаний нелинейных систем вообще является весьма сложной и многообразной.
Поскольку принцип наложения решений (суперпозиция) злесь неприменим, то, вообще говоря, нельзя складывать частные рс<вення цри Различных внешних воздействиях, найденных по <жлсльности, а также склалывать своболпыс и вынужденные колебания. Особое нелинейное сложение решений возможно в случае, если решения раздел я<отея по степени мсллснности протекания их во времени Глава 21. Вынужденные колебания нелинейных систем 647 ( г. с. по значению возможных частот колебаний), аналоги чпо тому, как эта делалось в главе 19.
При этом каждое из складываемых решений существенно зависело от другого, а нмснпо амплитуда автоколсбаний существенно зази осла от величины смещения, характер изукнцей медленно протекающие процессы. Такого жс рода раздслснис рсщенн й лля вынужденных колебаний будст рассмотрено ниже, где появится возможность рассмотрен ия нсли ней ных двух частотных колебани й с большой рази осгью частот. 11с касаясь сложных форм вынужденных колебаний нелинейных систем (хотя их исслсловацие также имеет большое практическое значение), ограничимся в данном параграфе определением олночастотных вынужденных колебаний, когда колебания системы происходят с частотой внешнего периодического воздействия. Форма колебаний, как и прсждс, па основании свойства фильтра будет считаться близкой к синусоидальпой лля переменной х, стояшсй пол знаком нслипсйной функпии.
При рассмотрении вынужденных колебаний во многих случаях возникают ограничения, пакладывасмыс на амплитуду и частоту внсшнсго периодического воздействия (зависяшис также и от параметров системы) и обусловливасошис сущсствованис олиочастотпых вынуждснпых колебаний в нелинейной системе. Будем их кратко называть условиями захеитывиния (в указанном широком смысло), Особое значение зти условия приобретают лля автоколсбатсльпых систем при частотах, близких к частоте автоколсбапий и вьппс, Итак, пусть имеется пскоторая нелинейная автоматическая система, в любом мсс.гс которой приложено впспшсе синусоидальнос воздействие у" (с) - В яп со„г.
(21.1) Пусть уравнение динамики системы при вслспо к виду Я (р) х ж Я (р) Г (х, рх) - 5 (р) / (г) (21,2) Выссолсссстис условий фильтра (ф 18.2), а также выволимых ниже условий захватывания (где это нсобходимо) позволяет в первом приблнжснии искать решение д:ся установившихся вынужденных колебаний системы в сипусоидальной форме (213) х = и„яп(со„! + ср), где искомыми неизвестными постоянными будут амгслнтуда и„и сдвиг фазы ср, в то время как частота ю„здесь уже задана выражением (21.1). В отличие от такой типичнойой постановки задачи можно будет, конечно, в дальнейшем решать и обратную задачу определения потребной частоты ю„или амплитуды В внешнего воздействия по заданнойй амплитуде вынужденных колебаний и„и т.
и. Чтобы иметь возможность применить тот жс обпсий подход к решению задачи, который был принят при отыскании автоколсбаний, выразим в уравнении (21,2) переменную гчсрсзх. Согласно (21.1) ) (с) = В я и 1(оз„г а. ср) — ср) = В соз ср зш (ю„г + ср) — В я и ср соз (со„г + ср). Отсюда, принимая во внимали< выражение(21.3) для хи выражсписдля его произвопной рх = и, ю, соз (ю г а ср), 646 Нелинейные системыавтоматическсгоулрааления окончательно получаем В ( лп1<р /(Е)= — говф- — р х.
(21А) Подставивато выражение взаданпоедифферспциальиоеуравнспиесистсмы(21.2), получим с В / з|п<р Я(р)-5(р) — ~ сощ- — р х+ В(р)Е(х, рх) = О. (21 5) ал( шл зк ~ Г(а„яп л~, а,е1„сощ)й~ = О. о (21.6) Итак, получив для определения вынужденных колебаний однородное уравнение (21.5), можно, каки в в 18.2, произвести гармоцичсскую липеаризапию нелинейности Е(х,рх) = ах+ — рх, гл (21.7) где 1 а= — ~Г(а„яплк а„ш„сову)з1пла(р,1 ла„л и = — ) Г(ал з1пц/, а„ген с051г') сов 1гй~~, (21.8) причем согласно (21.3) (21.9) а=шаг ~Р что, олпако, пс влияет иа результат вычисления д и д'. Поэтому при определении симметричных олнозиачных вынужденных колебаний можио целиком пользоваться гого- Таким образом, неоднородное цслипсйиос уравнение (21.2) при заданпом впсшпсм воздействии (21.1) и предполагаемой форме решении (21.3) сведено к одпородпому нелиисйпому уравнению(21.5), с одержащсмулобавочпый член аловой части.
Уравнение (21.5) апалогично прежнему уравпепшо Я 18.2) и отличается от него только заменой операторного м ногочлспа Ц (р) на новый операторный многочлсн, стояШий в (21.5) в квадратиых скобках. Применяя при отыскании синусоидальпого периодического решения формально тот жс метод, что и в главе 18, нужно потребовать выполнения свойства фильтра от этой новой системы. Задав ная пелипсйпость Г(х рх) должна допускать симметричные колебания, т, с, должно вьшолцяться условие Глава 21. Вынужденные колебания нелинейных систем 649 выми выражениями для д и 7', привслшшыми в главе 18, с заменой в ннх и, го па а„, гои, Таким образом, для каждой нелинейности в общем случае получакктся зависимости д (аи, Сои), д' (а„, От„), (21.! 0) а во многих частных случаях(см. главу!8)— д (аи), д, (аи).
(21.11) В результате из (21.5) и (21.7) получаем характеристическое уравнение лля псрво- гоприближспня В( з(пгр 1 ( !4(р) — Я(р) — 1 созгр- — 'р еК(р) д+ — р =О. (21.12) М гои В Я(7гои) — В(7гои) — (созгР-7в(пгР)+)с(7о,)(д+УУ )=О. (21 13) аи Замечая,что соз р -7' ей и гр = ечр, из уравнения (21.13) находим, что Ц( Гати) е Н( уши)(д е гг!') 5( уго„) (21.14) Возможны два метода дальнейшего рсгг!ения задачи.
Эти методы остаются справедшгвым и и Лля нелинейных систем с времспныги запаздыванием т, когда выражение (21.14) принимает вид гт( го ). В( )(д - ')е ~г"'" 5(!охи) (21Л5) или другой аналогичный вил, содержащий т. Графический метод. Лля каждого значения частоты при заданных параметрах системы на комплексной плоскости строится кривая (рис. 21.1) ~(7ыи)+ В(7ши)(г1+7г)') с(а„) =а, В()ьои ) (21.16) Эта кривая соответствует леной части равенства (21.14) '. 1!развя же часть (21.14) изобразится в вндс окружности радиуса В. Пересечение ее с кривой У(а„) лает 1)сшсиие заЛачи, причем в точке пересечения по Луге окружности определяется фазовый сленг гр, а по кривой й (гги) — величина амплитуды и„вынужденных колебаний.
' Лигмигичио рмииггси иииича и и гаучи заражении (2крвх ПодставлЯЯ сгода чисто м гнмое зпачспие Р --- )сои, что соо гвстствУет отысканию синусондального рсгпсння (21.3), получаем 650 Нелинейные системы автоматического управления Зависимость амплитуды вынужденных колебаний и„от частоты от, (рис. 21.2, 6) можно получить, если на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
