Бесекерский (950612), страница 127
Текст из файла (страница 127)
21.1 начертить серию кривых 7(и,) при разных постоянных значениях го„(рис. 21. 2, и). Таким же путем, строя кривые 7 (и„) прп разных постоянных значениях какого-нибудь параметра /г(рис. 21.2, а), можно определить зависимость а, от любого параметра системы гг (рцс. 21.2, е), входящего в выражение (21.16) для 7(а,). Для отыскания зависимости а„от амплитуды внешнего воздействия В нужно нанести ссри го конце птричсск их окружностей равных радиусов В (рис. 21.3, и). При атом возможны два случая: 1) когда имеется точка пересечения окружности с кривой 7(а„) при любой величине радиуса В, начиная от нуля, что даст зависимость и, (В), например, в виде рис. 213, Б; 2) когда точка пересечения окружности с кривой У(а,) существует только при значениях радиуса В, прсвьппающих некоторое пороговос зпачепнс Ва„е (рис.
21.3, и), что приводит к зависимости аь (В) типа рис. 21.3, е. Графическое определение В„„р ясно из чертежа. Можно построить зависимость пороговой амплитуды В„„внешнего воздействия от частоты оз„ при заданных параметрах снстсмьг (рис. 21.3, к) или от любого параметра я при данной частоте ат, (рпс. 21.3, г)). Послсдиюю зависимость можно найти с помошью рис. 21,3, а, построенного для серии !г)но вых 7 (а,), соотвстствуго~гтих различным )г, Рассмотренный второй случай, котла система псрсхо- Глана 21. Вынужденные колебания нелинейных систем 651 дит на одночастотиыс колебания с частотой ш„тогс око ссри В > В„„„, нас подастся засос вссс о н таких нелинейных системах, которые ло приложения внешнего с~сриодичсского воздействия работают в автоколебателыкгм режиме. При этом величина В„„л обращается н нуль атом случае, когда частота ш„совладаете частотой автоколсбапип ш„дассссссй системы (рис. 213, г).
В„„л равно нулю обы шо также н области отсутствия авгоколебаний (область устойчивости равновесия системы, рис. 21З, д). Тогда выше кривых на рнс. 21.3, г, д будут лежать значения амплитуды В внеспнего воздействия, прн которых существует одпочастотный режим вынужденных колебаний с частотой ш„(область захватынаппя), а при значениях, лежащих ниже кривой, будет иметь место более сложное вьвуждспнос дниженпс системы. Это п является определением (пока графическим) условий захнатынания, о которых говорилось выше. В лругих нелинейных системах может быть В„„л = О, как в случае рис. 21 3, б. Аналитический метод. Из равенства (21.14) нгш (21.15) можно получить аналитические выражения для определения амплитуды а„н сдвига фазы ср одночастотных вынужденных колебаний нслинсйштй системы.
Для этого выделим нссцсствснные и минмыс части числителя и знаменателя и запишем равенства для модулей и аргументов обеих частей уравнения (21.14) или (21,15): г Хг(а„,со„) е Уг(а„,со„) Х~ (со„) ь У~с (со„) (21.17) (21.18) где Хи У вЂ” вещественная и мнимая части числителя выражения (21.14) или (21.15); Х; и У; — вещественная и мнимая части знаменателя, т. е. 5(сш„). При этом Х и Усоотнетствуют левой части заданного нелинейного уранпения (21.2), т. с. являются теми жс самыми вьсражсн ням н Х и У, которые примснялпсь при исследовании автоколебапий Я 182), а Ху и У; янгсясстсся новыми выражениями, соответствуюппсксн праной части заданного пели неГшого уравнения (21,2), Как видим, выражение (21.17) может, вообще говоря, оказаться довольно сложным алгебраическим уравнением относительно а„.
Однако важно то, что это уравнение содержит лиясь одну неизвестную а„, которая, слелонатсльно, так или иначе может быть определена. После этого фазовый сдвиг со легко вычисляется по формуле(21.18). Паном ним, что и при отыскании автоколебапий (глава 18) часто получалось сложное относительно а уравнение, по зто не вызывало болыних затрулпени й, Действительно, в большинстве случаев интересу ются тем, как будет изменяться амплитуда вьспужлснпых колебаний а, в зависимости от частоты и амплнтулы внспшего воздействия, а также при изменении того или иного параметра системы.
Указанные параметры могут входить в уравнение (21,17) более с~ростым образом, челс амплитуда а„. Тогда уравнение (21.1? ) можно будет разрешить н явном виде относительно любого из этих параметров, а затем, задаваясь разными значениями а„и вычисляя по найденной формуле рассматринаемый параметр, можно построить нскомыс зависимости а„(В), а„(ш„) или а, ()г) и т.
их затеи по формуле (21. 18) ъюж но также вы числ ит ь лля каждого случая фазоный сдвиг Чс. 652 Нелинейные системыаатоматичеспуго управления Например, возможен слелующий простой прием решения уравнения (21.17). Для каждой залан ной частоты внспшего воздействия ш„буууеху залаваться разными значениями иь и вычислять кажлый раз вел ичииу В. По результатам этих вычислений легко строится график (рпс. 21 А), который и представляет собой искомос решение уравнения (21.17). Что касается условия захват ывапия, то оно может быть оцрслслспо аналитически как условие супуествоваиия всществсщюго положительного решения лля а, в уравцении (21.17).
Это условие автоматически выявится при построении графика типа рис. 21.4. Итак, получены амплитула и„и слвпг фазы ур выцужлсцных колебаний лля церемонной х, стоящей поп злаком пелинейпой функции. Г!осле этого можно попсчитать амплитуду и фазу первой гармопики вынужденных колебаний для любой другой перемен пой псслслуемой системы па основании соответствующих уравнений или перс Латочиых фуц кои й звеньев, с вяз ывшощих эту пером епнууо с переменной х. Частотпыйметод. Пусть пелипсйпосзвеновсистемсопределястсяуравпопием (21.19) у =Е(х).
Нахолим лля него приблпжецную амплитулцо-фэзовую характеристику И;,(и) согласно формулам (18.210) и (18.211) Рассмгп рим лва случая. П е р в ы й с л у ч а й. Перелаточиая фуикция худ', замкнутой системы такова, что х 1 М,( уто) / 1э ИУ„(ууо)ИУ„(а) М„(7со) е И'„(а) 1 гле Мэ (уьо) = -обратная амплитулцо-фазовая характеристика лцпейной части. И'„(Ещ) Изобразим характеристики М„(у)о) и — Иу„(а) на комплексиой плоскости (рис.
21.5). Лмуулитууга а, вьшужленпых колебаний величины хопределясг точку 27, а частотащ,— точку Е. Из формулы (21.20) и из чертежа (рис. 21.5) находим а„)М~(уш,)! ОЕ В )М.,(уш„)+ИУ„(и)~ 7)Е Глава 21. Вынужденные колебания нелинейных систем 653 откуда амплитуда В впсшпсго псриолнчсс кого воадессствияу получает значсппс РЕ и. ре 8' (21,21) х И',,(усе) (21.22) 1 1+ йС,(уСВ)Ь'„(а) М„(ЛВ)+ИСа(а) .
Тос да па основании атой формулы и чертежа (рис. 215) получаем сс н 1 1 В (М„(1то)+ 1)с„(сс)! ВЕ откуда  —. ОЕав. (21.23) В других случаях, когда передаточная функция не подходит под частные виды (21.20) и (21.22), построения усложссякстся. 9 21.2. Несимметричные вынужденные колебания с медленно меняющейся составляющей Выпуждсппысколебапнябулутнссиммсгрпчными вслсдуюспнхслучаях: 1) при несимметричных нелинейных характеристиках системы; 2) при наличии постоянного или медленно меняющегося внешнего воздействия (в статических системах); 3) при наличии постоянной илн медленно меняющейся скорости изменения внешнего возпсйствия (в астатичсскнх системах). В общем случае будем полагать, что к нелинейной системс приложены два внешних возлсйствия, вследствие чего ес уравнение вместо (21.2) имеет вид 12 (Р) "' В (Р) Е (х Ра) = Вс (Р)с с (с) с2 (Р)с2 (с) (21.21) ссричсмс'с (С) -- медленно меняющееся впсщпсс воздействие, аСа (с) — периодическое внешнее воздействие: (21.25) Л (с) = В з'щ ~„к Мссщснпо меняющееся воздсйствиеС с (с) считается мало изменяющимся за пери- 2п од Т„= —, т.
е. предполагается, что возможные частоты изменения,с, (с) значительно озв пижс частоты со„. Перемещая точку 0 вдоль кривой — Нс„(а), можно найти зависимость вел нчн ны а„ от В при заланпой частоте юе а перемещая точку Š— зависимость величипьс а„от частоты ос„. В т о р о й с л у ч а й. Передаточная фуссссцияхсссзамкпутой системы такова, что 654 Нелинейные системыавтоматическогоулравления Решение уравнения (21,24) будем искать в виде "- .яп( „1 р). (21.26) Г( х, рх) = Г~ + дх * е 7 рх', ш, (21.27) где 1 2л Г" = — ) Г(х~+а„япу, а„со,сощ)г)ас 2 1 2з д= — ')Г1х +а„япу, а„го„сову)ялур; о 1 г д = — ~" Г~~х +и„яппи, а„ш„сову)соза~г)~у, яа„/ (21.28) причем чг = ~р„е+ ~р. Из сравнениязтихформул с (19.6) видно, что при отыскании вынужденных колебаний можно целиком пользоваться всеми конкретными выражениями для Г, д и д', приведенными в главе е 19. Таким образом, для каждой конкретной нелинейности имеются готовыс выражения: гс(х,а„, ш„), д(х .
а„,га„), (21.29) ц' (х, а„го„), причем часто величина го„в них отсутствует. В качестве примера на рнс. 21.6 приведены зти зависимости Лля нелинейности типа насьпцснна, аналогичные приведенным в главе 19. По аналогии с формулой (21А) запи- шем 8( ядр Л = соМ Р )х (21,30) ац гон где х — медленно меняюшаяся составлявшая, ах* — колебательная составляющая, амплитуда а„и фаза <р которой в обгдем случае тоже медленно изменяются во времени Тогда гармоническая линеариза ни я нелинейности Р(х, рх) может производиться но формуле, аналогичной (! 9 5): Глава21,Вынужденныековебаниянелннейныхснстем 655 Полставив выражения для Р(х, рх),(з (г) их в заласшое дифференциальное уравнение нелинейной системы (21.24), получим уравнснис Я( р) (х" + х*) е Н( р) Е + сгх ' ч- — ггх * = ю В ( гйпср =5г(Р)Д(т)+5а(Р) — созсй- — Р ~хв, которос разбивается пслипейным образом (см.
главу 19) ца гсва уравнения соответственно лля мелле~но мсцякццихся н лля ксьасбатсл ьных составляющих: Ц(р)хо+Я(р) Ф" 5', (р)(, (с); (21.31) с Я(Р)+5т(Р) — созсй- — Р х*+гс(Р) с)+ — Р х*=О. (2132) и„~ ог„Ц озв Ц( гог„) + Я( гсо„)(сг+ гсг') 5г Осев) (21.33) в результате решения которого лкгбызс из двух методов (графическим или аналитическим), описанных в 6 21.1, определяются завгссн мости амплитулы и„и сдвига фазы ср от величины смсгцениях, т. е. о' ив(хо,сов, В), ср(хо,со„,В), (2134) гдех остается пока спсс неизвестным, Для применения графического метала 5 21.1 к отысканию зависимости и„(х ) по о уравнению (21.33) нужно на рис. 21.1 построить серию кривых l(и,) для разных значений хо — — сос1ац которые согласно (21,28) входят в выражения для с) и д'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
